角運動量保存則とフィギュアスケートで回転が速くなる理由

腕を広げて回っているスケーターが腕をたたむと、回転が速くなります。氷は押していないし、誰も背中を押していない。

外から回転の力が加わらないかぎり、慣性モーメント $I$ と角速度 $\omega$ の積は変わりません^[1]。

$$L=I\omega =\text{一定}$$

$I$ が $\frac{1}{4}$ になれば $\omega$ は $4$ 倍。腕をたたむという内側の動作が、回転の速さを書き替えます。

以下では角運動量の定義から始め、速くなったぶんのエネルギーがどこから出てくるのか、同じ法則が惑星や中性子星でどう効くのかまで見ます。

角運動量とは何か

回転軸のまわりを速さ $v$ で回る質量 $m$ の質点があるとします。軸からの距離を $r$ として、角運動量は次の量です。

$$L=mvr$$

正確には、速度のうち $r$ に垂直な成分だけが効きます。ベクトルで書けば $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$ となり、大きさは $mvr\sin \theta$ です^[2]。

軸に向かってまっすぐ飛び込む質点は、$\sin \theta =0$ なので角運動量を持ちません。回り込む成分だけが回転の勢いになる。

物体が広がりを持つときは、各部分の寄与を足します。全体が同じ角速度 $\omega$ で回っていれば、次の形にまとまる。

$$L=\left(\sum _i{m}_i{r}_i^2\right)\omega =I\omega$$

括弧の中が慣性モーメント $I$ です^[2]。距離が二乗で効くので、外側の質量ほど重く数えられます。

変えられるのは外からのモーメントだけ

角運動量の時間変化は、外から加わる力のモーメント $N$ に等しくなります^[2]。

$$\frac{dL}{dt}=N$$

$N=0$ なら $L$ は動きません。これが角運動量保存則です。運動量に対する運動方程式と、そっくり同じ構造をしている。

大事なのは、内側でどれだけ力をやりとりしても $L$ が変わらないこと。腕を引き寄せる筋肉の力は、体と腕のあいだで向きが逆の対になっていて、モーメントが打ち消し合います。

スケーターの場合、氷からの摩擦がわずかな外部モーメントになります。数秒のスピンなら無視できる大きさで、実際にスピンは徐々にしか遅くなりません。

例：慣性モーメントが 4 分の 1 になる

腕を広げた姿勢で $I_1=4.0\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$、毎秒 $1$ 回転していたとします。${\omega }_1=2\pi \fallingdotseq 6.28rad/s$ です。

腕と脚を軸に引き寄せて $I_2=1.0\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ になったとしましょう。

$${\omega }_2=\frac{I_1}{I_2}{\omega }_1=4\times 6.28=25.1rad/s$$

毎秒 $4$ 回転。腕をたたむのにかかる時間は $1$ 秒足らずなので、見ている側には一気に加速したように映ります。

速くなったぶんのエネルギーはどこから来たのか

ここが引っかかりやすいところです。回転の運動エネルギーを計算してみます。

$$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$$

腕を広げた状態では $K_1=\frac{1}{2}\times 4.0\times 6.28^2\fallingdotseq 79\mathrm{J}$。たたんだ状態では $K_2=\frac{1}{2}\times 1.0\times 25.1^2\fallingdotseq 316\mathrm{J}$ です。

$4$ 倍に増えました。角運動量は保存しているのに、エネルギーは保存していない。

$L=I\omega$ を使って書き直すと、増え方の理由が見えます。

$$K=\frac{L^2}{2I}$$

$L$ が一定なら、$K$ は $I$ に反比例する。$I$ が $\frac{1}{4}$ になれば $K$ は $4$ 倍です。

増えたぶんの $237\mathrm{J}$ は、スケーターが腕を引き寄せる仕事から出ています^[1]。回っている腕を内側へ動かすには、遠心力に逆らって引く必要がある。

腕を広げれば $K$ はもとの $79\mathrm{J}$ に戻ります。氷の摩擦を無視するかぎり、この往復に損はない。

例：回転いすとダンベル

回転いすに座り、両手に $2.0\mathrm{kg}$ のダンベルを持って回ります。人といすの慣性モーメントを $3.0\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ としましょう。

腕を伸ばして軸から $0.80\mathrm{m}$ の位置にダンベルがあるとき、ダンベルの寄与は $2\times 2.0\times 0.80^2=2.56\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$。合計 $5.56\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$ です。

胸に引き寄せて $0.20\mathrm{m}$ にすると、寄与は $2\times 2.0\times 0.20^2=0.16$ に落ちます。合計 $3.16\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$。

$$\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}=\frac{5.56}{3.16}\fallingdotseq 1.8$$

$1.8$ 倍にしかなりません。人といす自身の慣性モーメントが動かないので、そのぶん効果が薄まる。スケーターほど劇的にならない理由がここにあります。

大学の講義でも、回転台と自転車の車輪を組み合わせた実演が定番になっています^[3]。回っている車輪を横に倒すと、台のほうが回り出す。

面積速度が一定になるのも同じ話

中心を向く力だけを受けて動く物体は、その中心のまわりの角運動量が保存します。力の作用線が中心を通るので、モーメントが $0$ になるためです^[2]。

極座標で書くと $L=m{r}^2\dot{\theta }$ なので、次の量が一定になります。

$$r^2\dot{\theta }=\frac{L}{m}=\text{一定}$$

左辺は、動径が単位時間に掃く面積の $2$ 倍です。つまり面積速度が一定になる。

ケプラーの第二法則は、この一行から出てきます。万有引力に固有の性質ではなく、中心力なら何でも成り立つ^[2]。近日点で速く、遠日点で遅くなるのは、$r$ が小さいときに $\dot{\theta }$ が大きくならないと積が保てないからです。

例：中性子星はなぜ速く回るのか

星が燃え尽きて中心部が一気につぶれると、半径が数万分の $1$ になります。角運動量が保存するなら、$I\propto R^2$ から $\omega \propto R^{-2}$。

太陽の自転周期は約 $25$ 日、半径は約 $7.0\times 10^5\mathrm{km}$ です。これが半径 $10\mathrm{km}$ までつぶれたとして計算します。

$${\left(\frac{7.0\times 10^5}{10}\right)}^2\fallingdotseq 4.9\times 10^9$$

周期は $25$ 日 $=2.2\times 10^6$ 秒を $4.9\times 10^9$ で割って、およそ $0.45$ ミリ秒。

実際のかに星雲のパルサーは毎秒 $30$ 回転、周期にして $33$ ミリ秒です^[4]。見積もりは $70$ 倍ほど速すぎました。

ずれるのは、つぶれるときに外層が吹き飛ばされ、質量と角運動量をいっしょに持ち去るためです。それでも、けた違いの速さになる理由としては $\omega \propto R^{-2}$ で足ります。

保存するのは軸まわりの成分

外部モーメントが完全に $0$ になる場面は多くありません。それでも使える場合があります。

重力を受けて落ちている飛び込み選手を考えます。重力は重心にはたらくので、重心まわりのモーメントは $0$。だから重心まわりの角運動量は保存します。

体を丸めれば回転が速くなり、伸ばせば遅くなる。着水の瞬間に姿勢を止められるのは、この調整が効くためです。

もう一つ、ある軸まわりの成分だけが保存する場合もあります。回転台に立った人が持つ車輪を傾けると、鉛直方向の成分だけが台へ移る^[3]。台の軸受けが水平方向のモーメントを受け止めるので、鉛直成分だけが自由に残ります。

まちがえやすい点

回転の勢いを $I$ と $\omega$ の積という一つの量にまとめておくと、内側で形を変えるだけの現象がひととおり説明できます。

参考文献