運動量と力積（衝突、はねかえり係数など）

質量 $m$ の物体が速度 $v$ で動いているとき、その積を運動量といいます。記号は $p$ を使う。

$$p=mv$$

単位は kg·m/s です。ニュートン秒 N·s と書いても同じ量になる。

重いほど、そして速いほど大きくなる量。止めにくさ、あるいは動かしにくさの目安と考えると使いやすい。

運動量は向きを持つ

速度がベクトルなので、運動量もベクトルです。$1$ 直線上の運動なら、正の向きを決めて符号で表せば足りる。

右向きを正にとると、左へ動く物体の運動量は負になる。大きさが同じでも向きが逆なら、$2$ つの運動量は打ち消し合う。

向きを決めずに数値だけ足すと合いません。運動量の計算では、符号をそろえる作業が半分を占める。

例：運動量を数値で出す

$3.0\mathrm{kg}$ の物体が右へ $4.0m/s$ で動いています。

$$p=3.0\times 4.0=12\mathrm{kg}\cdot m/s$$

同じ物体が左へ同じ速さで動けば $-12\mathrm{kg}\cdot m/s$ になる。速さは同じでも運動量は別の値です。

質量 $1.0\mathrm{kg}$ の物体が右へ $12m/s$ で動いても $12\mathrm{kg}\cdot m/s$。運動量が同じでも運動エネルギーは違う。

運動方程式を運動量で書き直す

$p=mv$ を時間で微分します。質量が変わらなければ、$m$ は外へ出る。

$$\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}=ma$$

右辺は運動方程式の左辺そのものです。したがって力は運動量の変化する速さに等しい。

$$F=\frac{dp}{dt}$$

ニュートン自身はこちらの形で書きました。$F=ma$ は質量が一定という条件を付けた特別な場合にあたる。

質量そのものが変わるロケットのような場合には、$F=dp/dt$ のほうを使う必要がある。

力積の定義

$F=\frac{dp}{dt}$ を時間について積分すると、運動量の変化が出る。

$$\Delta p={\int }_{t_1}^{t_2}Fdt$$

この積分を力積といいます。力が一定なら、単に力と時間の積になる。

$$\Delta p=F\Delta t$$

単位は N·s で、運動量と同じです。力積と運動量は、同じものを別の側から見た量にすぎない。

力積と運動量の関係

前節の式は、力積を与えれば運動量がそのぶん変わることを表しています。力積・運動量定理と呼ばれる関係。

$$F\Delta t=m{v}^{\prime }-mv$$

左辺は「どれだけの力を、どれだけの時間かけたか」。右辺は「運動量がどれだけ変わったか」です。

大きな力を短く与えても、小さな力を長く与えても、積が同じなら結果は同じになる。ロケットが小さな推力で速度を稼げる理屈もここにある。

例：打ち返したボールが受けた力

$0.15\mathrm{kg}$ のボールが $40m/s$ で飛んできて、逆向きに $50m/s$ で打ち返されました。打ち返す向きを正にとる。

$$\Delta p=0.15\times 50-0.15\times (-40)=13.5\mathrm{kg}\cdot m/s$$

来たときの運動量が負なので、引き算で足し算になる点が要です。速さの差 $10m/s$ で計算すると答えが合わない。

接触していた時間を $0.0050\mathrm{s}$ とすると、平均の力が出る。

$$F=\frac{13.5}{0.0050}=2700\mathrm{N}$$

$270\mathrm{kg}$ の物体を支えるほどの力です。短い接触時間が、この大きさを生んでいる。

力が一定でないときは面積で読む

現実の衝突では、力は $0$ から立ち上がって最大を過ぎ、また $0$ へ戻る。時間とともに変わる力を式で書くのは難しい。

それでも力積は求まります。力と時間のグラフを描けば、曲線の下の面積がそのまま力積になる。

同じ面積を持つ長方形の高さが平均の力です。実際の計算では、この平均の力を使うと話が早い。

例：接触時間を伸ばすと力が減る

$60\mathrm{kg}$ の人が $5.0m/s$ で着地します。止まるまでの運動量の変化は決まっている。

$$\Delta p=60\times 5.0=300\mathrm{kg}\cdot m/s$$

膝を曲げて $0.50\mathrm{s}$ かけて止まれば、平均の力は $600\mathrm{N}$ です。

脚を伸ばしたまま $0.050\mathrm{s}$ で止まると $6000\mathrm{N}$ になる。運動量の変化は同じでも、力は $10$ 倍に跳ね上がる。

受け身、エアバッグ、車のつぶれる車体。どれも同じ理屈で、時間を稼いで力を下げる仕掛けです。

2 つの物体がぶつかるとき

物体 $1$ と物体 $2$ が衝突したとします。互いに力を及ぼし合う。

このとき $2$ つの力は、大きさが等しく向きが逆です。作用反作用の法則がそう決めている。

物体 $1$ が受ける力を $-F$、物体 $2$ が受ける力を $F$ とする。同じ時間 $\Delta t$ だけ働くので、力積も大きさが等しく符号が逆になる。

運動量保存則の導出

それぞれの運動量の変化を書き出す。

$$\begin{array}{rl}{m}_1{v}_1^{\prime }-m_1{v}_1& =-F\Delta t\\ m_2{v}_2^{\prime }-m_2{v}_2& =F\Delta t\end{array}$$

$2$ 式を足すと右辺が消えます。残るのは合計の運動量だけ。

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1^{\prime }+m_2{v}_2^{\prime }$$

衝突の前と後で、合計の運動量が変わらないという式です。これを運動量保存則という。

内部で働く力は必ず対になって現れ、合計には効かない。外から力が加わらない限り、合計は動かない。

系という言葉

いくつかの物体をまとめて考えるとき、そのまとまりを系と呼びます。

保存則が成り立つのは、系の外から力が働かない場合です。系の中で互いに押し合うぶんには、いくら激しくても合計は変わらない。

摩擦や重力があっても、衝突の一瞬に限れば無視できることが多いところです。衝突の力に比べて外力が小さければ、保存則は近似としてよく効く。

例：合体して一緒に動く

$2.0\mathrm{kg}$ の物体が $3.0m/s$ で走り、静止した $1.0\mathrm{kg}$ の物体にぶつかって一体になりました。

$$2.0\times 3.0+1.0\times 0=(2.0+1.0)v^{\prime }$$

解くと $v^{\prime }=2.0m/s$ です。合計の質量が増えたぶん、速さは落ちる。

運動エネルギーも見ておきます。衝突前は $\frac{1}{2}\times 2.0\times 3.0^2=9.0\mathrm{J}$、衝突後は $\frac{1}{2}\times 3.0\times 2.0^2=6.0\mathrm{J}$。

$3.0\mathrm{J}$ が消えています。変形や熱や音に変わったぶんで、運動量は保存されてもエネルギーは保存されない。

例：静止から分かれる

$50\mathrm{kg}$ の人が氷の上で静止し、$2.0\mathrm{kg}$ の球を $6.0m/s$ で投げます。最初の合計運動量は $0$ です。

$$0=2.0\times 6.0+50\times v^{\prime }$$

人の速度は $v^{\prime }=-0.24m/s$ になる。球と逆向きに滑り出す。

ロケットが進む理屈も同じです。燃焼ガスを後ろへ投げ、その反動で前へ出る。

弾性衝突と非弾性衝突

運動量はどちらの衝突でも保存されます。分かれ目は運動エネルギーのほう。

完全に弾性的な衝突は、気体の分子や中性子のような小さな相手でよく成り立つ。日常の球や車の衝突は非弾性衝突。

例：質量が等しい弾性衝突

同じ質量の球が正面から弾性衝突すると、速度が入れ替わります。$m_1=m_2$ を代入して確かめる。

$$v_1^{\prime }=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{v}_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}{v}_2$$

$m_1=m_2$ なら第 $1$ 項が $0$、第 $2$ 項の係数が $1$ です。したがって $v_1^{\prime }=v_2$ となる。

$4.0m/s$ で走る球が静止した同じ球に当たると、当てた球が止まり、当てられた球が $4.0m/s$ で走り出す。ビリヤードで見慣れた動き。

はねかえり係数

衝突後に離れる速さと、衝突前に近づく速さの比をはねかえり係数といいます。記号は $e$ を使う。

$$e=\frac{v_2^{\prime }-v_1^{\prime }}{v_1-v_2}$$

弾性衝突では $e=1$、完全非弾性衝突では $e=0$ です。間の値をとるのが現実の衝突。

床に落として跳ね返る場合は、床が動かないので式が簡単になる。落とした高さ $h$ と跳ね返った高さ $h^{\prime }$ から求まる。

$$e=\sqrt{\frac{h^{\prime }}{h}}$$

例：跳ね返る高さから e を出す

$1.0\mathrm{m}$ から落としたボールが $0.64\mathrm{m}$ まで跳ね返りました。

$$e=\sqrt{\frac{0.64}{1.0}}=0.80$$

次に跳ね返る高さは $0.64\times 0.64=0.41\mathrm{m}$ です。跳ねるたびに高さは $e^2$ 倍になっていく。

運動量とエネルギーは別の量

$2$ つを混同すると計算が合いません。速度への依存の仕方が違う。

速さを $2$ 倍にすると、運動量は $2$ 倍、運動エネルギーは $4$ 倍になる。同じ運動量を持つ $2$ つの物体でも、軽くて速いほうが大きな運動エネルギーを持つ。