運動方程式 ma=F - 力は速度ではなく加速度を決める

物体に働く力の合計と、その物体に生じる加速度を結ぶのが運動の第二法則です。

$$m\vec{a}=\vec{F}$$

$m$ は質量、$\vec{a}$ は加速度、$\vec{F}$ は働く力の合計を表す。この式を運動方程式といいます。

読み方は $2$ 通りある。力がわかっているとき加速度を出す式であり、加速度がわかっているとき力を出す式でもある。

決まるのは速度ではなく加速度

力を加えると速くなる、という言い方は不正確です。力が決めているのは速度そのものではなく、速度の変わり方のほう。

同じ力を加え続ければ、速度は増え続ける。力をやめた瞬間に速度が $0$ に戻ることはない。

止まっている物体に力を加えた瞬間、速度はまだ $0$ です。加速度だけが先に立ち上がっている。

単位ニュートンはこの式で決まる

力の単位ニュートンは、運動方程式から定められています。

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2$$

質量 $1\mathrm{kg}$ の物体に $1m/{\mathrm{s}}^2$ の加速度を生じさせる力が $1\mathrm{N}$ です。力を独立に定義してから式を立てたのではなく、式のほうが単位を決めている。

日常で使うキログラム重とは別の量。$1\mathrm{kg}$ の物体に働く重力は $9.8\mathrm{N}$ になる。

例：力から加速度を出す

$2.0\mathrm{kg}$ の物体に $10\mathrm{N}$ の力が働いています。

$$a=\frac{F}{m}=\frac{10}{2.0}=5.0m/{\mathrm{s}}^2$$

$1$ 秒ごとに速さが $5.0m/s$ ずつ増えていく。静止から始めれば、$2$ 秒後は $10m/s$ です。

力を $2$ 倍にすれば加速度も $2$ 倍になります。同じ質量なら、力と加速度は比例する。

例：加速度から力を出す

$1000\mathrm{kg}$ の車を $2.0m/{\mathrm{s}}^2$ で加速させたい場合を考える。

$$F=ma=1000\times 2.0=2000\mathrm{N}$$

これは駆動力の話で、走行の抵抗に打ち勝つぶんは別に要ります。抵抗が $300\mathrm{N}$ あるなら、必要な駆動力は $2300\mathrm{N}$ になる。

運動方程式には合計の力だけが入る。個々の力ではない。

ベクトルの式である

運動方程式は、大きさだけでなく向きも含んだ式です。加速度は、合力と同じ向きに生じる。

速度と同じ向きとは限りません。ブレーキをかけた車では、速度が前向きで加速度は後ろ向きになる。

投げ上げたボールも同じです。上昇中でも加速度は下向きで、最高点でも下向きのまま。

成分に分けて立てる

$2$ 次元の問題では、座標軸を決めて軸ごとに式を立てます。ベクトルの等式は、成分ごとの等式に分かれる。

$$\begin{array}{rl}m{a}_x& =F_x\\ m{a}_y& =F_y\end{array}$$

軸のとり方は自由です。未知数が減る向きに選ぶと計算が短くなる。

斜面の問題なら、斜面に沿った向きと斜面に垂直な向きを軸にとる。垂直方向の加速度が $0$ になり、式が $1$ 本減る。

例：なめらかな斜面を滑る

傾き $30$ 度の斜面に置いた物体が滑り出します。摩擦はないものとする。

斜面方向の力は重力の成分 $mg\sin \theta$ だけです。垂直抗力は斜面に垂直なので、斜面方向には効かない。

$$ma=mg\sin \theta ⟹a=g\sin \theta$$

$\sin 30^{\circ }=0.5$ なので $a=4.9m/{\mathrm{s}}^2$ になります。質量が消えるため、重い物体も軽い物体も同じ加速度で滑る。

垂直方向は $N=mg\cos \theta$ でつり合っている。この $N$ は、摩擦を考えるときに効いてくる。

合力を先に求める

力が複数あるときは、まず合計を出してから代入します。$1$ つずつ代入して足すのではない。

向きが逆の力は符号を変えて足す。同じ直線上にない力は、成分に分けてから軸ごとに足します。

合力が $0$ なら加速度も $0$ です。静止か等速直線運動が続き、第一法則と同じ結論になる。

例：逆向きの 2 力

$2.0\mathrm{kg}$ の物体に、右へ $12\mathrm{N}$、左へ $8.0\mathrm{N}$ が働いています。右を正にとる。

$$F=12-8.0=4.0\mathrm{N}$$

$$a=\frac{4.0}{2.0}=2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

加速度は右向きに $2.0m/{\mathrm{s}}^2$ です。$12$ と $8.0$ を別々に代入して足しても同じ値になりますが、向きの扱いを間違えやすい。

質量は比例定数である

同じ力を加えたとき、加速度は質量に反比例する。質量が大きいほど加速しにくい。

この意味で、質量は慣性の大きさを測る量になる。物質の量というより、速度の変えにくさの度合いを表している。

例：質量を変えて比べる

$6.0\mathrm{N}$ の力を、$2.0\mathrm{kg}$ と $6.0\mathrm{kg}$ の物体に加えます。

$$a_1=\frac{6.0}{2.0}=3.0m/{\mathrm{s}}^2,a_2=\frac{6.0}{6.0}=1.0m/{\mathrm{s}}^2$$

質量が $3$ 倍で加速度は $3$ 分の $1$ になる。積 $ma$ はどちらも $6.0$ で変わりません。

例：糸でつないだ 2 つの台車

質量 $3.0\mathrm{kg}$ と $2.0\mathrm{kg}$ の台車を糸でつなぎ、$3.0\mathrm{kg}$ のほうを $10\mathrm{N}$ で引きます。摩擦はないものとする。

全体を $1$ つの物体と見ると、糸の張力は内力になって消える。

$$a=\frac{10}{3.0+2.0}=2.0m/{\mathrm{s}}^2$$

張力を知りたいときは、後ろの台車だけに着目します。働く力は張力だけなので、式が $1$ 本で済む。

$$T=2.0\times 2.0=4.0\mathrm{N}$$

前の台車で確かめると、合力は $10-4.0=6.0\mathrm{N}$ で、$6.0÷3.0=2.0m/{\mathrm{s}}^2$ と一致する。

より正確な形

ニュートン自身は、力を運動量の変化で定義しました。

$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

$\vec{p}=m\vec{v}$ を代入し、$m$ が一定なら $m$ が外へ出て $m\vec{a}=\vec{F}$ に戻ります。$F=ma$ は、質量が変わらない場合の形にすぎない。

質量そのものが変わる場面では、こちらを使う必要がある。燃料を噴射しながら軽くなっていくロケットが代表例。

立て方の手順

問題を解く順序を決めておくと、力の数が増えても崩れない。

$2$ 番目が最大の関門になる。相手の物体に働く力を混ぜたり、存在しない力を足したりすると、そこから先はすべて崩れる。

加速度から先へつなぐ

運動方程式が与えるのは加速度までです。速度や位置を知りたければ、そこから積分する。

加速度が一定なら、等加速度運動の式がそのまま使える。

$$\begin{array}{rl}v& =v_0+at\\ x& =v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2\end{array}$$

加速度が変わる場合は、時間ごとに積分し直す必要がある。ばねの単振動が、その典型です。

成り立たなくなる範囲

光の速さに近づくと、この形では合わなくなります。原子や電子の世界でも、そのままでは使えない。

高校物理で扱う速さと大きさの範囲では、十分な精度で成り立つ。日常のほとんどの現象がその範囲に入る。