行列のランク（階数）は、行基本変形で行階段形に変換したときのピボット（主成分）の個数である。ランクは列ベクトルの一次独立な最大個...

掃き出し法（ガウスの消去法）は、拡大係数行列に行基本変形を施して連立方程式を解く手法である。被約行階段形まで変形すれば、解を直接...

逆行列は行列式が 0 でないとき存在する。2次行列では公式があり、3次行列では余因子行列を用いるか掃き出し法を使う。 問題1（2...

行列式は正方行列に対して定義されるスカラー量である。2次では対角成分の積から反対角成分の積を引き、3次ではサラスの方法や余因子展...

行列の積は、左の行列の行と右の行列の列の内積を並べたものである。計算ミスを防ぐには、成分を一つずつ丁寧に求めることが大切である。...

行列のノルムは、行列の「大きさ」を測る尺度である。数値解析において誤差の評価や収束性の議論に欠かせない概念である。 ノルムの定義...

行列の指数関数は、スカラーの指数関数を行列に拡張したものである。連立線形微分方程式の解を表現する際に本質的な役割を果たす。 定義...

二次形式は、変数の二次の項からなる斉次多項式である。行列と密接に関係し、その標準形への変換は分類や最適化において重要な役割を果た...

双対空間は、ベクトル空間上の線形汎関数（スカラー値をとる線形写像）の全体がなす空間である。抽象代数や関数解析で基本的な概念であり...

ケイリー・ハミルトンの定理は、行列がその固有多項式を零化することを主張する。一見自明に見えるが、行列を変数に代入する操作を含むた...

最小多項式と固有多項式は、行列の固有値に関連する2つの多項式である。ケイリー・ハミルトンの定理によって結びつけられ、行列の構造を...

ジョルダン標準形は、対角化できない行列に対しても定義できる標準的な形である。固有値の重複や固有空間の次元不足を、ジョルダン細胞と...

特異値分解（SVD）は、任意の行列を3つの行列の積に分解する手法である。正方行列に限らず適用でき、データ解析や数値計算で広く用い...

スペクトル分解は、対称行列（または正規行列）をその固有値と固有ベクトルを用いて分解する手法である。行列のスペクトル（固有値の集合...

正定値行列と半正定値行列は、二次形式の符号と密接に関係する行列のクラスである。最適化問題や統計学で頻繁に現れ、実用上も重要である...

ユニタリ行列と直交行列は、それぞれ複素数体と実数体における「内積を保存する行列」である。幾何学的には回転や鏡映に対応し、固有値分...

正規直交基底は、互いに直交し長さが 1 のベクトルからなる基底である。計算が簡潔になり、内積空間の解析において中心的な役割を果た...

内積空間は、ベクトル空間に長さと角度の概念を導入した構造である。幾何学的な直観を抽象化し、関数空間など幅広い対象に適用できる。 ...

グラム・シュミットの正規直交化法は、一次独立なベクトルの組から正規直交基底を構成するアルゴリズムである。内積空間において基本的な...

同じベクトル空間でも、基底の選び方によって座標は異なる。基底の変換行列は、2つの基底の間の座標変換を記述する。 基底の変換行列の...

基底はベクトル空間を記述するための骨格であり、座標は基底を用いてベクトルを数の組として表現する仕組みである。 基底の定義 ベクト...

次元定理は、線形写像の核と像の次元の関係を述べる定理である。rank-nullity theorem とも呼ばれ、線形代数の基本...

線形写像の核と像は、その写像の構造を理解する上で最も重要な概念である。核は写像で 0 に潰れる部分を、像は写像の到達範囲を表す。...

線形写像（一次写像）は、ベクトル空間の間の構造を保つ写像である。線形代数において中心的な役割を果たし、行列はその具体的な表現と考...