複素数平面上の回転移動は、複素数の積で表現できる。これは複素数平面の最も強力な応用の一つである。 原点中心の回転 点 $z$ を...

実数係数の二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）の解は、解の公式 \[ x = \frac{...

$z^n = 1$ を満たす複素数 $z$ を1の $n$ 乗根という。1の $n$ 乗根は複素数平面上で正 $n$ 角形の頂点...

ド・モアブルの定理は、複素数の累乗を計算するための基本公式である。 $n$ を整数とするとき、 \[ (\cos\theta +...

複素数の積と商は、複素数平面上で回転と拡大・縮小として解釈できる。これは極形式を用いると明確になる。 積の幾何学的意味 $z_1...

複素数を表す方法として、$a + bi$ という直交形式のほかに、絶対値と偏角を用いた極形式がある。 複素数 $z = a + ...

複素数 $z = a + bi$ を平面上の点 $(a, b)$ と対応させることで、複素数を幾何学的に扱えるようになる。この平...

2つの複素数 $z_1 = a + bi$ と $z_2 = c + di$（$a, b, c, d$ は実数）が等しいための条...

複素数 $z = a + bi$ に対して、虚部の符号を反転させた $\bar{z} = a - bi$ を $z$ の共役複素...

複素数 $z_1 = a + bi$ と $z_2 = c + di$（$a, b, c, d$ は実数）に対して、四則演算は次...

虚数単位 $i$ は、2乗すると $-1$ になる数として定義される。 \[ i^2 = -1 \] 実数の範囲では、どんな数を...

行列が対角化可能かどうかは、各固有値の代数的重複度と幾何的重複度が一致するかで判定できる。 問題1 次の行列が対角化可能かどうか...

正定値性の判定には、固有値の符号を調べる方法と、シルベスターの判定法（首座小行列式）を用いる方法がある。 問題1 次の行列が正定...

二次形式の標準化は、適切な変数変換により交差項を消去して、平方の和の形にすることである。 問題1 次の二次形式を標準化せよ。 \...

ジョルダン標準形は、対角化できない行列に対しても定義できる標準形である。固有値の重複度と固有空間の次元を調べて構成する。 問題1...

特異値分解は $A = U\Sigma V^T$ の形で、$A^T A$ と $AA^T$ の固有値問題に帰着して計算する。 問...

行列の指数関数 $e^A$ はべき級数で定義されるが、対角化やジョルダン標準形を用いて計算できる。 問題1 次の行列の $e^A...

行列の累乗は、対角化できる場合は対角行列の累乗に帰着できる。対角化できない場合はジョルダン標準形やケイリー・ハミルトンの定理を用...

正規直交基底を用いると、座標は内積で直接計算できる。連立方程式を解く必要がない。 問題1 $\mathbb{R}^2$ の正規直...

直交射影は、ベクトルを部分空間に垂直に射影したものである。正規直交基底があれば計算は簡単になる。 問題1 ベクトル $v = (...

グラム・シュミットの正規直交化は、与えられた一次独立なベクトルから正規直交系を構成するアルゴリズムである。 問題1 次のベクトル...

固有多項式は $p_A(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ で定義される $n$ 次多項式である。展...

行列の対角化は、固有ベクトルを列に並べた行列 $P$ を用いて $P^{-1}AP$ が対角行列になるように変換することである。...

固有値は固有方程式 $\det(\lambda I - A) = 0$ を解いて求め、固有ベクトルは各固有値に対して $(\la...