座標が内積だけで出る〜正規直交基底とフーリエ係数

基底が正規直交なら、ベクトルの座標は内積を計算するだけで出る。連立方程式は要らない^[1]。

${\mathbb{R}}^2$ で $v=(3,1)$、基底を $u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$、$u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ とする。

座標は $⟨v,u_1⟩=2\sqrt{2}$ と $⟨v,u_2⟩=\sqrt{2}$ である。掛けて足すだけで出た。

この手軽さがどこから来るのか、そして座標以外に何が簡単になるのかを見ていく。

正規直交系

内積空間 $V$ のベクトルの組 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ が正規直交系であるとは、次を満たすことをいう^[3]。

$$⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}$$

条件は 2 つに分かれる。異なるベクトルどうしが直交すること、各ベクトルの長さが $1$ であること。

正規直交系が基底にもなっているとき、正規直交基底と呼ぶ。

一次独立は確かめなくてよい

正規直交系は、それだけで一次独立になる^[1]。基底かどうかを調べるとき、あとは本数を数えるだけで済む。

証明は短い。$c_1{e}_1+\cdots +c_n{e}_n=0$ とおき、両辺と $e_j$ の内積をとる。

$$0=⟨\sum _i{c}_i{e}_i,e_j⟩=\sum _i{c}_i⟨e_i,e_j⟩=c_j$$

$i\ne j$ の項が全部消えて、$c_j$ だけが残る。$j$ は何でもよいので、係数はすべて $0$ である。

$n$ 次元空間で $n$ 本の正規直交系が見つかれば、その時点で基底になっている。

座標は内積で出る

$\{e_1,\dots ,e_n\}$ を正規直交基底とし、$v={\sum }_i{c}_i{e}_i$ と書く。両辺と $e_j$ の内積をとると、上と同じ消え方をする。

$$⟨v,e_j⟩=\sum _i{c}_i⟨e_i,e_j⟩=c_j$$

つまり係数は内積そのもの。これを $v$ のフーリエ係数と呼ぶ^[4]。

$$v=\sum _{i=1}^n⟨v,e_i⟩e_i$$

例：$45$ 度回した基底で座標を出す

$u_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$、$u_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ は正規直交基底になる。長さはどちらも $1$ で、内積は $\frac{1\cdot 1+1\cdot (-1)}{2}=0$。

$v=(3,1)$ の座標を出す。

$$⟨v,u_1⟩=\frac{3+1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2},⟨v,u_2⟩=\frac{3-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$

足し戻すと $2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)+\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)=(2,2)+(1,-1)=(3,1)$ で、確かに $v$ に戻る。

例：正規直交でない基底と比べる

$b_1=(1,1)$、$b_2=(1,2)$ を基底にとる。この 2 本は直交していない。

内積をそのまま係数だと思うと $⟨v,b_1⟩=4$、$⟨v,b_2⟩=5$。ところが $4b_1+5b_2=(9,14)$ で、$v$ とはまるで違う。

正しい座標は連立方程式から出す。

$$\begin{array}{rl}{c}_1+c_2& =3\\ c_1+2c_2& =1\end{array}$$

解いて $c_1=5$、$c_2=-2$。次元が上がれば、この連立方程式も大きくなる。

長さと内積が成分の計算に落ちる

正規直交基底で書くと、内積は座標の積和になる。$u=\sum a_i{e}_i$、$v=\sum b_i{e}_i$ とおいて展開すればよい。

$$⟨u,v⟩=\sum _{i,j}{a}_i{b}_j⟨e_i,e_j⟩=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

$⟨e_i,e_j⟩$ が $i=j$ のときだけ $1$ なので、二重和が一重和につぶれる。

$u=v$ とおけば長さの式になる。これをパーセバルの等式と呼ぶ^[4]。

$$\Vert v{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n|⟨v,e_i⟩{|}^2$$

上の例で確かめると $\Vert v{\Vert }^2=9+1=10$、右辺は $(2\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=8+2=10$ で合う。

例：${\mathbb{R}}^3$ で座標を出す

次の 3 本は正規直交基底になる。

$$u_1=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right),u_2=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -2\end{array}\right),u_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ -1\end{array}\right)$$

長さはどれも $\frac{1}{3}\sqrt{4+1+4}=1$。内積は $u_1\cdot u_2=\frac{2+2-4}{9}=0$ のように、3 組とも $0$ になる。

$v=(3,0,3)$ の座標を出す。

$$⟨v,u_1⟩=\frac{6+0+6}{3}=4,⟨v,u_2⟩=\frac{3+0-6}{3}=-1,⟨v,u_3⟩=\frac{6-0-3}{3}=1$$

パーセバルで確かめると $\Vert v{\Vert }^2=9+0+9=18$、$4^2+(-1{)}^2+1^2=18$ で一致する。

途中で切ると足りなくなる

$n$ 本そろっていない正規直交系でも、係数は同じ式で出る。ただし足し戻しても $v$ には届かない。

$m<n$ 本しか使わないと、長さの二乗は不等式になる。ベッセルの不等式と呼ぶ^[5]。

$$\sum _{i=1}^m|⟨v,e_i⟩{|}^2\le \Vert v{\Vert }^2$$

上の ${\mathbb{R}}^3$ の例で $u_1$ と $u_2$ だけを使うと $16+1=17$ で、$18$ に届かない。差の $1$ が $u_3$ 方向に残った成分である。

等号が成り立つのは $v$ が $e_1,\dots ,e_m$ の張る空間に入っているときに限る^[5]。すべての $v$ で等号になるなら、その正規直交系は完全、つまり基底になっている。

行列として見ると直交行列になる

正規直交基底を列に並べた行列を $Q$ とおく。$Q^{\mathsf{T}}Q$ の $(i,j)$ 成分は、第 $i$ 列と第 $j$ 列の内積である^[2]。

$$Q^{\mathsf{T}}Q=I$$

正方行列なら $Q^{-1}=Q^{\mathsf{T}}$ になり、逆行列を転置だけで書ける。これが直交行列である。

長さも保たれる。$\Vert Qx{\Vert }^2=(Qx{)}^{\mathsf{T}}(Qx)=x^{\mathsf{T}}{Q}^{\mathsf{T}}Qx=x^{\mathsf{T}}x=\Vert x{\Vert }^2$ となるためだ。

例：関数の正規直交系

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上の連続関数に、次の内積を入れる。

$$⟨f,g⟩={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx$$

このとき三角関数の族が正規直交系になる^[3]。

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\cos nx}{\sqrt{\pi }},\frac{\sin nx}{\sqrt{\pi }}(n=1,2,\dots )$$

長さが $1$ になるのは ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nxdx=\pi$ だからで、$\sqrt{\pi }$ で割ってちょうど $1$。

このときフーリエ係数は、まさにフーリエ級数の係数になる。名前が同じなのは偶然ではなく、有限次元の話をそのまま無限次元へ伸ばした結果である^[5]。

例：${\mathbb{R}}^2$ の別の正規直交基底

$e_1^{\prime }=\frac{1}{5}(3,4)$、$e_2^{\prime }=\frac{1}{5}(-4,3)$ も正規直交基底になる。$3$-$4$-$5$ の直角三角形から作った組である。

$v=(5,0)$ の座標は $⟨v,e_1^{\prime }⟩=3$、$⟨v,e_2^{\prime }⟩=-4$。

二乗の和は $9+16=25$ で $\Vert v{\Vert }^2=25$ に一致する。基底を回しても長さが変わらない、という事実がここに出ている。

正規直交でないとどうなるかも確かめる。

直交させて長さをそろえる。この下ごしらえを済ませておくと、座標も長さも内積の計算だけで片づく。

参考