最小多項式と固有多項式｜割り切れる関係と対角化の判定

次の 2 つは、固有多項式がどちらも $(T - 1)^{2}$ です。片方は対角行列、もう片方は対角化できません^[1]。

$I_{2} = (1001), U = (1011)$

固有多項式では区別が付かない。最小多項式なら $T - 1$ と $(T - 1)^{2}$ に分かれます。

同じ固有値を持つ行列の中で、何が違うのかを測る道具。それが最小多項式です。

固有多項式

$n$ 次正方行列 $A$ に対して、 $χ_{A} (T) = det (T I - A)$ を固有多項式と呼びます。 $T$ の $n$ 次式で、最高次の係数は $1$ 。

$χ_{A} (T) = T^{n} - (tr A) T^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} det A$

根はちょうど固有値です。次数が行列の大きさで決まるので、 $n$ が同じなら次数も同じになります。

最小多項式

$m_{A} (A) = O$ を満たす多項式のうち、最高次の係数が $1$ で次数が最小のものを最小多項式と呼びます^[1,3]。

固有多項式と違い、次数は行列ごとに変わる。 $n$ 次行列でも、最小多項式が 1 次で終わることがあります。

$A = 3 I$ なら $A - 3 I = O$ なので、 $m_{A} (T) = T - 3$ 。 $A$ が何次でも同じです。

一意に決まる

同じ次数の候補が 2 つあると困るので、まず一意性を確かめます。 $f$ と $g$ をどちらも最小次数のモニック多項式とする。

差 $f - g$ を考えると、最高次が消えるので次数が下がります。 $(f - g) (A) = O$ も成り立つ。

最小次数より低い次数で $A$ を消す多項式は $0$ しかないので、 $f - g = 0$ 。 $f = g$ です。

消す多項式はすべて最小多項式の倍数

$f (A) = O$ なら、 $f$ は $m_{A}$ で割り切れます^[1]。この事実が最小多項式の使いどころを決めています。

証明は多項式の割り算です。 $f = m_{A} q + r$ と書き、 $de g r < de g m_{A}$ とする。

$O = f (A) = m_{A} (A) q (A) + r (A) = r (A)$

$r$ が $A$ を消していて、次数は $m_{A}$ より低い。最小性から $r = 0$ となり、 $f = m_{A} q$ が出ます。

固有多項式は最小多項式で割り切れる

ケイリー・ハミルトンの定理は $χ_{A} (A) = O$ を主張します^[4]。行列は自分の固有方程式を満たす、という形。

上の割り切れる性質を $f = χ_{A}$ に当てると、次が出ます。

$m_{A} (T) ∣ χ_{A} (T)$

とくに $de g m_{A} \leq n$ 。最小多項式を探すときは、固有多項式の因数だけ見れば足ります。

根は同じ

割り切れるので、 $m_{A}$ の根は $χ_{A}$ の根、つまり固有値です。逆も成り立ちます^[1]。

$λ$ を固有値、 $v \neq = 0$ を固有ベクトルとすると $A^{k} v = λ^{k} v$ 。どんな多項式 $f$ でも $f (A) v = f (λ) v$ になります。

$f = m_{A}$ とおくと左辺は $0$ 。 $v \neq = 0$ なので $m_{A} (λ) = 0$ です。

固有多項式

次数は必ず $n$ 。重複度は代数的重複度そのまま

最小多項式

次数は行列ごとに変わる。重複度はジョルダン細胞の最大サイズ

2 つの多項式は根の集合が同じで、違うのは各根の指数だけ。ここに行列の細かい構造が入っています。

例：固有多項式が同じ 2 つ

$B = 200020003, C = 200120003$

どちらも $χ (T) = (T - 2)^{2} (T - 3)$ 。候補は $(T - 2) (T - 3)$ と $(T - 2)^{2} (T - 3)$ の 2 つです。

$B$ で $(B - 2 I) (B - 3 I)$ を計算すると、 $diag (0, 0, 1) \cdot diag (- 1, - 1, 0) = O$ 。よって $m_{B} (T) = (T - 2) (T - 3)$ 。

$C$ では $(C - 2 I) (C - 3 I)$ の $(1, 2)$ 成分が $- 1$ で、零行列になりません。 $m_{C} (T) = (T - 2)^{2} (T - 3)$ です。

$B$ は対角行列、 $C$ は対角化できない。この違いが指数に出ています。

例：3 次で最小多項式を求める

$A = 011 - 1 21 1 - 1 0$

固有多項式を計算すると $χ_{A} (T) = T^{3} - 2 T^{2} + T = T (T - 1)^{2}$ です^[1]。

根が $0$ と $1$ なので、最小多項式は $T$ と $T - 1$ の両方を因数に持ちます。いちばん低い候補は $T (T - 1)$ 。

$A (A - I) = 011 - 1 21 1 - 1 0 - 1 11 - 1 11 1 - 1 - 1 = O$

零行列になったので $m_{A} (T) = T (T - 1) = T^{2} - T$ 。 $χ_{A}$ より 1 次低い。

根が $0$ と $1$ で重なっていないので、 $A$ は対角化できると分かります。固有多項式に重根があっても、対角化できる例です。

対角化の判定

最小多項式が 1 次式の積に分かれ、しかも重根を持たないこと。これが対角化できるための必要十分条件です^[1,2]。

$A が対角化可能 ⟺ m_{A} (T) = (T - λ_{1}) \dots (T - λ_{r}), λ_{i} は相異なる$

必要性は簡単です。 $A = P diag (λ_{1}, \dots) P^{- 1}$ なら、相異なる固有値を $μ_{1}, \dots, μ_{r}$ として $\prod_{i} (A - μ_{i} I)$ を作る。

対角成分ごとに見ると、どの位置でもいずれかの因数が $0$ になります。積は零行列で、この多項式は重根を持ちません。

十分性は固有空間の直和分解から出ます。 $m_{A}$ が相異なる 1 次式の積なら、空間が固有空間の直和になり、固有ベクトルの基底がとれます。

指数はジョルダン細胞の最大サイズ

固有値 $λ$ の細胞が $J_{2}, J_{1}, J_{3}$ のように並んでいるとします。 $m_{A}$ に現れる $(T - λ)$ の指数は、いちばん大きい細胞のサイズです。

細胞 $J_{k} (λ)$ は $λ I + N$ の形で、 $N^{k} = O$ かつ $N^{k - 1} \neq = O$ 。だから $(J - λ I)^{k}$ で初めて消えます。

全部の細胞を同時に消すには、最大サイズまで指数を上げる必要があります。それより低いと、大きい細胞が残る。

細胞が全部 1 次

指数は 1、重根なし

対角化できる

対角化できるかどうかは、細胞が全部 $1$ 次かどうかと同じこと。最小多項式の指数は、それを 1 つの式で言い表しています。

例：射影の最小多項式

$P^{2} = P$ を満たす行列を射影と呼びます。 $T^{2} - T$ が $P$ を消すので、最小多項式はその因数です^[1]。

候補は $T$ 、 $T - 1$ 、 $T^{2} - T$ の 3 つ。 $P = O$ なら $T$ 、 $P = I$ なら $T - 1$ 、それ以外なら $T^{2} - T = T (T - 1)$ です。

3 つ目の場合、根は $0$ と $1$ で重なりません。よって射影はつねに対角化できます。

固有値も $0$ と $1$ だけ。動かない方向と、つぶれる方向に分かれる、という幾何がここに出ています。

例：べき零行列

$N^{k} = O$ を満たす行列では、 $T^{k}$ が $N$ を消します。最小多項式は $T^{j}$ （ $j \leq k$ ）の形です。

根は $0$ ただ 1 つ。 $j \geq 2$ なら重根なので、対角化できません。

$j = 1$ 、つまり $N = O$ のときだけ対角化できる。零行列以外のべき零行列は、どれも対角化を拒みます。

求め方

固有多項式を先に出し、その因数を次数の低いほうから試すのが基本です。根は固有値と一致するので、各固有値の因数は必ず 1 個以上入ります。

指数の組み合わせを小さいほうから当てて、 $A$ を消す最初のものが最小多項式。 $χ_{A} = (T - 2)^{2} (T - 3)^{3}$ なら、候補は 6 通りです。

I, A, A^{2}, \dots

を並べ、最初に一次従属になる場所を探す方法もあります。

A^{k}

が

I, \dots, A^{k - 1}

の一次結合で書ければ、そこから最小多項式が出ます。

成分を並べたベクトルとして見れば、掃き出し法で従属関係を出せます。

固有値が分かっていない段階でも使えるのが、この方法の利点です。

最小多項式は連続に動かない

固有多項式は成分の多項式なので、成分を少し動かすと少しだけ変わります。最小多項式はそうなりません^[1]。

$A_{ε} = (1 + ε 0 01)$

$ε \neq = 0$ なら固有値が 2 つあるので、最小多項式は 2 次で $(T - 1 - ε) (T - 1)$ 。

$ε = 0$ ではこの行列が $I$ になり、最小多項式は $T - 1$ の 1 次に落ちます。次数が急に変わる。

重複度が変わる瞬間に飛ぶので、数値計算で最小多項式を求めるのは難しい。理論では強力でも、計算では扱いにくい対象です。

$χ_{A} (T) = (T - 5)^{3}$ で、 $A$ が対角化できるとき、最小多項式はどれですか。

$T - 5$
$(T - 5)^{2}$
$(T - 5)^{3}$

__RESULT__

対角化できるなら最小多項式は重根を持ちません。根は固有値の $5$ だけなので、残る形は $T - 5$ の 1 次だけです。このとき $A - 5 I = O$ 、つまり $A = 5 I$ になります。

割り切れる向きも確かめます。

$f (A) = O$ を満たす多項式 $f$ について、正しいのはどれですか。

$f$ は固有多項式で割り切れる
$f$ は最小多項式で割り切れる
$f$ は固有多項式に等しい

__RESULT__

割り算の余りが最小性に反することから、 $m_{A} ∣ f$ が出ます。固有多項式で割り切れるとは限りません。 $A = I_{2}$ なら $f = T - 1$ が $A$ を消しますが、 $χ_{A} = (T - 1)^{2}$ では割り切れません。

固有多項式は大きさを、最小多項式は形を測る。次数が $n$ に届かない行列ほど、中身が対角行列に近いという読み方ができます。

参考文献

Keith Conrad. *The Minimal Polynomial and Some Applications*. University of Connecticut.

Minimal polynomial of a matrix. StatLect.

Minimal polynomial of a matrix. Encyclopedia of Mathematics.

Cayley-Hamilton theorem. Encyclopedia of Mathematics.

$I_2$ と $(1,1;0,1)$ は固有多項式がどちらも $(T-1)^2$ で、片方だけが対角化できます。区別が付くのは最小多項式のほうで、$T-1$ と $(T-1)^2$ に分かれる。$A$ を消す多項式はすべて最小多項式の倍数になり、ケイリー・ハミルトンからその特別な場合として $m_A \mid \chi_A$ が出ます。2 つの多項式は根が完全に一致し、違うのは指数だけ。その指数がジョルダン細胞の最大サイズで、$1$ なら対角化できる。$\chi_A = T(T-1)^2$ でも $m_A = T(T-1)$ になる 3 次の例、射影とべき零行列の場合、最小多項式が連続に動かない話まで。