正定値行列と半正定値行列

正定値行列と半正定値行列は、二次形式の符号と密接に関係する行列のクラスである。最適化問題や統計学で頻繁に現れ、実用上も重要である。

正定値行列の定義

実対称行列 $A$ が正定値であるとは、すべての非零ベクトル $x \neq = 0$ に対して

$x^{T} A x > 0$

が成り立つことをいう。 $x^{T} A x$ は $A$ に付随する二次形式であり、正定値とはこの値が常に正であることを意味する。

$x^{T} A x \geq 0$ が成り立つ（等号も許す）とき、 $A$ を半正定値（非負定値）と呼ぶ。

対称行列 $A$ が正定値であることは、以下の条件と同値である。

A

のすべての固有値が正

A

のすべての首座小行列式が正（シルベスターの判定法）

A = B^{T} B

と分解できる正則行列

B

が存在

A

のコレスキー分解

A = L L^{T}

が存在

半正定値の場合は、固有値が非負であること、首座小行列式が非負であることなどが条件となる。

$n$ 次対称行列 $A$ の首座小行列式とは、左上から順に $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , …, $n \times n$ の小行列の行列式である。

$D_{1} = a_{11}, D_{2} = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}, \dots, D_{n} = det A$

$A$ が正定値であることと $D_{1} > 0, D_{2} > 0, \dots, D_{n} > 0$ は同値である。

次の行列が正定値かどうか判定する。

$A = (2113)$

$D_{1} = 2 > 0$ 、 $D_{2} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5 > 0$ なので正定値である。固有値を計算すると $(5 \pm 5) /2$ でどちらも正である。

正定値行列は様々な分野で現れる。

最適化

二次計画問題では、目的関数のヘッセ行列が正定値なら極小点が存在し、それが大域的最小となる。

統計学

分散共分散行列は半正定値である。多変量正規分布のパラメータとして現れる。

数値計算

連立方程式 $A x = b$ で $A$ が正定値対称なら、コレスキー分解を用いて効率的に解ける。

負定値、半負定値、不定値なども同様に定義され、二次形式の符号によって分類される。