基底と座標ベクトル｜定義・求め方・次元が取り方によらない理由

基底を 1 つ決めると、空間のどのベクトルにも数の組がただ 1 つ割り当てられます。この数の組が座標です。

$$3-x+4x^2⟷\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$$

多項式でも行列でも、基底さえ入れておけば数ベクトルとして計算できます。抽象的に定義された空間を具体的な数の世界へ引き写す仕掛けが、基底と座標です。

基底の定義

$V$ をベクトル空間とします。$V$ のベクトルの組 $B=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ が $V$ の基底であるとは、次の 2 つを満たすことです。

張ることは足りている条件、一次独立は余分がない条件です。基底は、その両方を同時に満たす過不足のない組を指します。

基底を持つ空間を有限次元といいます。この記事で扱うのは有限次元の空間で、そうでない場合には最後に触れます。

基底の言い換え

基底には同じ内容の言い換えがいくつかあります。どれを定義に採っても、指しているものは変わりません。

見た目は違いますが、どれか 1 つが成り立てば残りも成り立ちます。証明のたびに都合のよい言い換えを選べる、というのがこの同値性の利点です。

基底は順番まで込みで決める

座標を並べるには、どのベクトルが第 1 成分を担うのかが決まっている必要があります。そこで基底は集合ではなく、順番のついた組として扱います。

$(v_1,v_2)$ と $(v_2,v_1)$ は、集合としては同じでも基底としては別物です。同じベクトルの座標が、成分を入れ替えた形で出てきます。

順番を強調したいときは順序基底と呼びます。以下で基底といえば、順番まで固定したものを指しています。

座標ベクトル

基底 $B=(v_1,\dots ,v_n)$ を固定します。$V$ のベクトル $v$ は一次結合で書けて、その書き方はただ 1 通りです。

$$v=c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_n{v}_n$$

この係数を縦に並べたものを、$B$ に関する $v$ の座標ベクトルといい、$[v{]}_B$ と書きます。

$$[v{]}_B=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$$

書き方が 1 通りに決まるのは、一次独立性のおかげです。2 通りに書けたとして差を取れば、係数がすべて $0$ になるほかありません。

$V$ が何であっても、$[v{]}_B$ は ${\mathbb{R}}^n$ のベクトルです。多項式にも行列にも、同じ形をした数の組が割り当てられます。

例：多項式の空間で座標を取る

2 次以下の実係数多項式全体を $P_2$ と書きます。次の 3 本が基底になります。

$$B=(1,x,x^2)$$

どの多項式も $a+bx+c{x}^2$ の形に書け、しかもこの書き方は 1 通りです。したがって座標は、係数をそのまま並べたものになります。

$$[3-x+4x^2{]}_B=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 4\end{array}\right)$$

$P_2$ の次元は 3 です。多項式という見た目をしていても、座標を通してしまえば 3 次元の数ベクトルと変わりません。

例：基底を変えて同じ多項式の座標を出す

同じ $P_2$ に、別の基底を入れてみます。

$$C=(1,1+x,1+x+x^2)$$

$p(x)=3-x+4x^2$ の座標を求めます。$c_1\cdot 1+c_2(1+x)+c_3(1+x+x^2)=p(x)$ とおいて、次数の高いほうから係数を比べます。

$x^2$ の係数から $c_3=4$ です。$x$ の係数は $c_2+c_3=-1$ なので $c_2=-5$、定数項は $c_1+c_2+c_3=3$ なので $c_1=4$ となります。

$$[p{]}_C=\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 4\end{array}\right)$$

検算すると $4-5(1+x)+4(1+x+x^2)$ の定数項は $4-5+4=3$、$x$ の係数は $-5+4=-1$ で、たしかに $p(x)$ に戻ります。

同じ多項式が、基底を変えると別の数の組で呼ばれました。座標はベクトルだけでは決まらず、基底とセットで初めて意味を持ちます。

例：行列の空間の基底

$2\times 2$ の実行列全体を $M_2$ と書きます。成分が 1 か所だけ $1$ の行列を並べたものが基底です。

$$E_{11}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{12}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{21}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),E_{22}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

どの行列も $a{E}_{11}+b{E}_{12}+c{E}_{21}+d{E}_{22}$ と一意に書けます。座標は成分を読む順に並べたものになるので、成分が $2,-3,0,5$ の行列なら次のとおりです。

$$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\\ 5\end{array}\right)$$

$M_2$ の次元は 4 です。$m\times n$ 行列全体なら、同じ数え方で $mn$ になります。

例：対称行列のなす空間

2 次の実対称行列全体は、$M_2$ の部分空間をなします。基底には次の 3 本が取れます。

$$S_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),S_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),S_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

対称行列は主対角線とその上側だけで決まります。$n$ 次なら自由に選べる成分は $n(n+1)/2$ 個で、その個数がそのまま次元です。

2 次なら 3、3 次なら 6 になります。$M_2$ の 4 次元のうち 3 次元ぶんが対称行列で占められている、という読み方もできます。

座標は和とスカラー倍を保つ

座標を取る操作は、足し算とスカラー倍をそのまま通します。

$$[u+v{]}_B=[u{]}_B+[v{]}_B,[cv{]}_B=c[v{]}_B$$

証明は展開するだけです。$u=\sum a_i{v}_i$、$v=\sum b_i{v}_i$ と書けば、和は次のようにまとまります。

$$u+v=\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)v_i$$

書き方が 1 通りであることから、これが $u+v$ の座標にほかなりません。係数どうしが足された形なので、$[u{]}_B+[v{]}_B$ と一致します。

スカラー倍も同じ筋です。$cv=\sum (c{a}_i)v_i$ となるので、座標は丸ごと $c$ 倍されます。

この性質があるおかげで、$V$ の中の計算を座標の側へ移して済ませられます。多項式の足し算が、数ベクトルの足し算になるわけです。

座標は 1 対 1 の対応になる

$v$ に $[v{]}_B$ を割り当てる対応は、$V$ と ${\mathbb{R}}^n$ を 1 対 1 に結びます。

違うベクトルが同じ座標を持つことはありません。$[u{]}_B=[v{]}_B$ なら係数がすべて等しく、$u$ と $v$ は同じ一次結合を指すからです。

取りこぼされる数の組もありません。$(c_1,\dots ,c_n)$ を渡されたら $\sum c_i{v}_i$ を作れば、それが座標として $(c_1,\dots ,c_n)$ を持つベクトルです。

<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="125" y="32" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">2 次以下の多項式</text>
	<text x="355" y="32" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">3 つの数の組</text>
	<rect x="40" y="45" width="170" height="140" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="290" y="45" width="130" height="140" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="125" y="85" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">3 - x + 4x<tspan font-size="9" dy="-4">2</tspan></text>
	<text x="125" y="125" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">x</text>
	<text x="125" y="165" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="355" y="85" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">(3, -1, 4)</text>
	<text x="355" y="125" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">(0, 1, 0)</text>
	<text x="355" y="165" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">(1, 0, 0)</text>
	<line x1="220" y1="81" x2="272" y2="81" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="272,77 280,81 272,85" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="220" y1="121" x2="272" y2="121" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="272,117 280,121 272,125" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="220" y1="161" x2="272" y2="161" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="272,157 280,161 272,165" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="230" y="207" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">基底を 1 つ決めると、対応が 1 対 1 に定まります</text>
</svg>

つまり基底を選ぶことは、$V$ に ${\mathbb{R}}^n$ の目盛りを入れる作業です。多項式の空間も行列の空間も、目盛りを入れたあとは同じ顔つきになります。

この対応には正式な名前がついていて、線形写像の記事で改めて扱います。ここでは、和とスカラー倍を保つ 1 対 1 の対応だという事実だけ押さえておけば十分です。

例：多項式の一次独立性を座標で判定する

座標に移すと、抽象空間の問いが数ベクトルの計算に変わります。$P_2$ の次の 3 本を調べます。

$$q_1=1+x,q_2=1-x,q_3=x+x^2$$

基底 $B=(1,x,x^2)$ で座標を取ります。係数を読み取るだけです。

$$[q_1{]}_B=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),[q_2{]}_B=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),[q_3{]}_B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

3 本を列に並べて行列式を計算します。

$$\det \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=-2$$

$0$ でないので 3 本は一次独立です。$P_2$ は 3 次元なので、この 3 本もまた $P_2$ の基底になっています。

多項式のままでは見通しの悪い問いが、行列式ひとつで片づきました。座標を取る手間の見返りが、ここにはっきり出ています。

次元は基底の取り方によらない

基底の取り方はいくらでもありますが、含まれるベクトルの本数はどれも同じになります。この本数を次元といい、$\dim V$ と書きます。

理由は、独立な組と張る組の本数を比べる補題にあります。$V$ が $m$ 本のベクトルで張られているとき、$V$ の一次独立な組は $m$ 本を超えられません。

証明の筋は入れ替えです。独立な組から 1 本を張る組へ持ち込み、代わりに張る組から 1 本を抜きます。うまく選べば張る性質が保たれるので、この操作を続けられます。

独立な組のほうが多いと、抜くベクトルが先に尽きて矛盾します。これをシュタイニッツの交換補題といいます。

2 つの基底 $B$ と $C$ に、この補題を当てはめます。$B$ を独立な組、$C$ を張る組と見れば $B$ の本数は $C$ 以下、役を入れ替えれば $C$ の本数は $B$ 以下です。

両方が成り立つ以上、本数は等しくなります。次元という言葉が意味を持つのは、この一致に支えられているからです。

本数がそろえば片方だけ確かめればよい

$\dim V=n$ が分かっていれば、$n$ 本の組を調べる手間が半分で済みます。

$n$ 本の組が一次独立なら、それだけで基底です。張れないとすると、作れないベクトルを 1 本足して $n+1$ 本の独立な組ができてしまい、補題に反するからです。

逆に $n$ 本の組が $V$ を張るなら、やはりそれだけで基底です。従属だとすれば 1 本を他で表せるので $n-1$ 本で張れることになり、これも補題に反します。

本数が $n$ でない組に、この近道は使えません。少なければ張れず、多ければ独立になれないので、そもそも基底の候補から外れます。

<svg viewBox="0 0 460 175" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">本数が次元とそろっているかどうかで、起こることが決まります</text>
	<text x="105" y="58" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">n 本より少ない</text>
	<text x="230" y="58" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">ちょうど n 本</text>
	<text x="355" y="58" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">n 本より多い</text>
	<rect x="40" y="70" width="130" height="50" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="170" y="70" width="120" height="50" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="290" y="70" width="130" height="50" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="105" y="100" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">張れない</text>
	<text x="230" y="100" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">基底になれる</text>
	<text x="355" y="100" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">一次従属</text>
	<text x="230" y="150" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">ちょうど n 本のときだけ、一次独立と張ることが同時に成り立ちます</text>
</svg>

例：本数が足りない組と余る組

$P_2$ で $(1,x)$ の 2 本を取ります。この 2 本は一次独立ですが、$x^2$ をどうやっても作れません。

張れるのは 1 次以下の多項式だけで、$P_2$ 全体には届きません。足りない組は、独立であっても基底になれません。

こんどは $(1,x,x^2,1+x)$ の 4 本を取ります。$P_2$ を張ることは確かですが、最後の 1 本が前の 2 本の和なので一次従属です。

3 次元の空間では、本数が 3 でないかぎり基底になりません。足りなければ張れず、余れば独立性が壊れます。

生成系から間引く、独立な組を延長する

基底は、多すぎる組を削るか、少なすぎる組を足すかで作れます。どちらの向きからでもたどり着けます。

$V$ を張る組が手元にあるなら、従属なものを 1 本ずつ捨てていきます。他で表せる 1 本を抜いても張る性質は変わらないので、独立になるまで続ければ基底が残ります。

一次独立な組が手元にあるなら、まだ作れないベクトルを 1 本ずつ足します。作れないベクトルを足しても独立性は保たれ、次元に達したところで打ち止めになります。

後者を基底の延長定理といいます。部分空間の基底を全体の基底まで伸ばせる、という形でよく使われる定理です。

例：部分空間の基底を取る

${\mathbb{R}}^4$ の中で、成分の和が $0$ になるベクトル全体を $W$ とします。条件が 1 本しかないので、自由に決められるのは 3 成分です。

$x_2,x_3,x_4$ のどれか 1 つを $1$、残りを $0$ とおいて、$x_1$ を条件から決めます。

$$w_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right),w_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),w_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

どれも成分の和が $0$ なので $W$ に属しています。この 3 本が $W$ を張ることは、$x_2{w}_1+x_3{w}_2+x_4{w}_3$ を計算すれば見えます。

第 1 成分は $-(x_2+x_3+x_4)$ で、条件からこれは $x_1$ に等しい値です。下の 3 成分は $x_2,x_3,x_4$ そのものなので、$W$ のどのベクトルもこの形で出てきます。

一次独立性は下 3 成分だけで済みます。そこに単位行列が現れているので、係数のどれかが $0$ でなければ和は $0$ になりません。よって $\dim W=3$ です。

理解の確認

無限次元の空間

有限個のベクトルではどうしても張れない空間もあります。次数に制限をつけない多項式全体 $P$ がその例です。

有限個で張れると仮定すると、そのなかで最大の次数を超える多項式が作れなくなります。$P$ に基底を入れるには、$1,x,x^2,\dots$ を無限に並べるしかありません。

無限に並べても、一次結合として認めるのは有限個の和だけです。どの多項式も次数が有限なので、この約束のもとできちんと書けます。

無限級数まで許すと収束を論じることになり、扱う理論が変わります。この記事の議論はすべて有限次元のものです。

他の話題とのつながり

基底を取り替えると座標がどう動くかは、次の記事の主題です。取り替えを表す行列と、座標が逆行列の側へ移る仕組みを扱います。

長さや角度まで込みで測りたいときは、正規直交基底を選びます。座標が内積の計算だけで求まるようになり、その作り方はグラム・シュミットの記事にあります。

基底を選ぶと、写像のほうも行列で書けるようになります。線形写像の表現行列がその話題で、この記事の座標の対応が土台になっています。

空間を部分空間へ分けたときは、それぞれの基底を寄せ集めると全体の基底になります。直和の記事で扱う内容です。

よくある誤り

参考文献