行列の指数関数

行列の指数関数は、スカラーの指数関数を行列に拡張したものである。連立線形微分方程式の解を表現する際に本質的な役割を果たす。

定義

正方行列 $A$ に対して、行列の指数関数 $e^A$ を次のべき級数で定義する。

$$e^A=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{k!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

この級数は任意の正方行列に対して収束する。$A=O$ のとき $e^O=I$ である。

パラメータ $t$ を含む形 $e^{tA}$ も同様に定義される。

$$e^{tA}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(tA{)}^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k{A}^k}{k!}$$

基本的な性質

行列の指数関数は以下の性質をもつ。

注意すべきは、一般に $e^{A+B}\ne e^A{e}^B$ であることである。等式が成り立つのは $AB=BA$ のときに限る。

対角行列の場合

$A=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ が対角行列なら

$$e^A=\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_1},\dots ,e^{{\lambda }_n})$$

となる。各対角成分に通常の指数関数を適用するだけでよい。

$A$ が対角化可能で $A=PD{P}^{-1}$ と書けるなら

$$e^A=P{e}^D{P}^{-1}$$

である。

連立微分方程式への応用

連立線形微分方程式 $\dot{x}=Ax$ の解は $e^{tA}$ を用いて表される。初期値 $x(0)=x_0$ に対して

$$x(t)=e^{tA}{x}_0$$

が解である。$\frac{d}{dt}{e}^{tA}=A{e}^{tA}$ より、確かに $\dot{x}=Ax$ を満たす。

計算方法

$e^A$ の計算にはいくつかの方法がある。