行列を指数の肩に乗せる？行列の指数関数と連立微分方程式

連立微分方程式 $\overset{x}{˙} = A x$ の解は $x (t) = e^{t A} x_{0}$ と書けます。スカラーの $x^{'} = a x$ が $x = e^{a t} x_{0}$ だったのと、まったく同じ形。

肩に乗っているのは行列です。 $e$ を行列回だけ掛ける、という意味には読めません。ではどう定義するのか、そして計算はどうするのか^[1]。

べき級数で定義する

指数関数のテイラー展開に、数の代わりに行列を入れます。積は行列の積、 $A^{0}$ は単位行列 $I$ です。

$e^{A} = k = 0 \sum \infty \frac{A ^{k}}{k !} = I + A + \frac{A ^{2}}{2 !} + \frac{A ^{3}}{3 !} + \dots$

パラメータ $t$ を付けた形もよく使います。

$e^{t A} = k = 0 \sum \infty \frac{t ^{k} A ^{k}}{k !}$

$A = O$ なら $e^{O} = I$ 。第 1 項しか残りません。

どんな行列でも収束する

級数なので、まず収束を確かめます。行列のノルムを、積について $∥ X Y ∥ \leq ∥ X ∥∥ Y ∥$ を満たすものにとります^[2]。

このとき $∥ A^{k} ∥ \leq ∥ A ∥^{k}$ なので、各項の大きさは次のように押さえられます。

$k = 0 \sum \infty \frac{A ^{k}}{k !} \leq k = 0 \sum \infty \frac{∥ A ∥ ^{k}}{k !} = e^{∥ A ∥} < \infty$

右辺はただの実数の指数関数で、必ず有限。絶対収束するので、もとの級数も収束します。

条件は何もありません。正則でなくても、対角化できなくても、 $e^{A}$ は定まる^[1]。

対角行列は成分ごとに計算する

$A = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ なら、 $A^{k}$ も対角行列で、成分は $λ_{i}^{k}$ です。級数を成分ごとに足すだけで済みます。

$e^{A} = diag (e^{λ_{1}}, \dots, e^{λ_{n}})$

対角化できる行列は、この場合に持ち込めます。 $A = P D P^{- 1}$ なら $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ なので、級数の $P$ と $P^{- 1}$ が外へ出ます。

$e^{A} = k \sum \frac{P D ^{k} P ^{- 1}}{k !} = P (k \sum \frac{D ^{k}}{k !}) P^{- 1} = P e^{D} P^{- 1}$

例：2 次の行列で計算する

$A = (1023)$

固有値は $1$ と $3$ 。固有ベクトルは $(1, 0)$ と $(1, 1)$ です。

$P = (1011), P^{- 1} = (10 - 1 1)$

$e^{t D} = diag (e^{t}, e^{3 t})$ をはさんで掛けます。

$e^{t A} = (e^{t} 0 e^{3 t} - e^{t} e^{3 t})$

$t = 0$ を入れると単位行列。 $t$ で微分して $t = 0$ とすると、 $(1, 2; 0, 3)$ が出て $A$ に戻ります。

掛け算の法則は崩れる

スカラーなら $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ でした。行列では一般に成り立ちません^[1]。

$A = (0010), B = (0100)$

どちらも 2 乗すると零行列なので、級数は 2 項で切れます。 $e^{A} = I + A$ 、 $e^{B} = I + B$ 。

$e^{A} e^{B} = (1011) (1101) = (2111)$

一方 $A + B$ は 2 乗すると $I$ になるので、級数が双曲線関数に分かれます。

$e^{A + B} = (cosh 1 sinh 1 sinh 1 cosh 1) \approx (1.543 1.175 1.175 1.543)$

まるで違う行列。ついでに $e^{B} e^{A}$ を計算すると $(1, 1; 1, 2)$ で、 $e^{A} e^{B}$ とも違います。

可換なら成り立つ

$A B = B A$ のときは、スカラーと同じ式が復活します^[3]。

$e^{A + B} = e^{A} e^{B} (A B = B A)$

証明は二項定理です。可換なら $(A + B)^{k} = \sum_{j} (j k) A^{j} B^{k - j}$ と展開でき、級数を掛け合わせた形と項が一致します。

可換でないと二項定理そのものが崩れる。 $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ で、真ん中が $2 A B$ にまとまりません。

この系として、 $A$ と $- A$ はいつでも可換なので次が出ます。

$e^{A} e^{- A} = e^{O} = I ⟹ (e^{A})^{- 1} = e^{- A}$

$e^{A}$ はどんな $A$ に対しても正則。 $A$ が正則でなくても、指数をとると正則になります。

スカラーの指数関数

$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ がいつでも成り立つ。掛ける順番も関係ない

行列の指数関数

$A B = B A$ のときだけ成り立つ。順番を変えると別の行列になる

微分方程式へ

級数を項ごとに微分します。 $\frac{d}{d t} \frac{t ^{k} A ^{k}}{k !} = \frac{t ^{k - 1} A ^{k}}{( k - 1 )!}$ なので、 $A$ が 1 つ外へ出た形になります。

$\frac{d}{d t} e^{t A} = A e^{t A} = e^{t A} A$

$x (t) = e^{t A} x_{0}$ とおくと $\overset{x}{˙} = A e^{t A} x_{0} = A x$ 。 $t = 0$ で $x (0) = x_{0}$ なので、初期値も合います^[4]。

解が 1 つに決まることも言えます。 $y$ を別の解とし、 $z (t) = e^{- t A} y (t)$ を微分すると $\overset{z}{˙} = - A e^{- t A} y + e^{- t A} A y = 0$ 。

$z$ が定数なので $y (t) = e^{t A} z (0)$ となり、初期値が同じなら $x$ と一致します。

例：初期値から解を書く

上の $A = (1, 2; 0, 3)$ で $x (0) = (0, 1)$ とします。 $e^{t A}$ を掛けるだけ。

$x (t) = (e^{t} 0 e^{3 t} - e^{t} e^{3 t}) (01) = (e^{3 t} - e^{t} e^{3 t})$

微分すると $(3 e^{3 t} - e^{t}, 3 e^{3 t})$ 。 $A x$ を計算しても同じ値になります。

例：回転を作る行列

$A = (01 - 1 0)$

2 乗すると $- I$ 、3 乗すると $- A$ 、4 乗で $I$ に戻ります。級数を $I$ の項と $A$ の項に分けると、そのまま三角関数の展開になる。

$e^{t A} = (cos t sin t - sin t cos t)$

オイラーの公式 $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ の行列版です。 $A$ が虚数単位の役目をしています。

対角化できないとき

$A$ を対角化できないなら、ジョルダン標準形に持ち込みます^[5]。細胞は $J = λ I + N$ の形で、 $N$ は右上に $1$ が並ぶ行列。

$λ I$ と $N$ は可換なので、指数法則が使えます。 $N$ はべき零なので、級数は有限項で切れます。

$e^{t J} = e^{λ t} (I + tN + \frac{t ^{2}}{2 !} N^{2} + \dots + \frac{t ^{k - 1}}{( k - 1 )!} N^{k - 1})$

2 次の細胞なら $N^{2} = O$ なので、2 項で終わります。

$e^{t J} = e^{λ t} (10 t 1)$

$t$ が外に出てきました。解に $t e^{λ t}$ の形が現れるのは、この $N$ が原因です。

対角化できる行列の解は、 $e^{λ t}$ を並べただけの形になります。細胞が 2 次以上だと、そこに $t$ の多項式が掛かります。

細胞の大きさが $k$ なら $t^{k - 1}$ まで出る。重解のときに現れる $t e^{λ t}$ の正体。

行列式とトレース

$e^{A}$ の行列式は、トレースから出ます^[3]。

$det (e^{A}) = e^{tr A}$

対角化できる場合は簡単です。 $det$ は固有値の積、 $e^{A}$ の固有値は $e^{λ_{i}}$ なので、積は $e^{λ_{1} + \dots + λ_{n}}$ 。指数の中身が固有値の和、つまりトレースになります。

右辺は $0$ になりません。 $e^{A}$ がいつも正則だという事実が、ここからも読めます。

数値で計算するときの注意

定義どおり級数を足す方法は、実は精度が出ません。 $∥ A ∥$ が大きいと、途中の項が答えより桁違いに大きくなり、引き算で桁が落ちます^[6]。

実際に使われるのは、 $A$ を $2^{s}$ で割って小さくし、パデ近似で $e^{A / 2^{s}}$ を作り、 $s$ 回 2 乗して戻す手順です。

$A$ を $2^{s}$ で割る

小さくなった行列にパデ近似を当てる

$s$ 回 2 乗して $e^{A}$ に戻す

$e^{A / 2^{s}}$ を $2^{s}$ 乗すれば $e^{A}$ に戻る、という指数法則がこの手順を支えています。同じ行列どうしなので可換で、法則が使えます。

$A^{2} = O$ を満たす行列 $A$ について、 $e^{A}$ はどれになりますか。

$I + A$
$I$
$2 A$

__RESULT__

級数 $I + A + \frac{A ^{2}}{2 !} + \dots$ で、 $A^{2}$ 以降の項がすべて消えます。残るのは $I + A$ の 2 項だけ。べき零行列では級数が有限で切れるので、 $e^{A}$ を手で書き下せます。

指数法則がいつ使えるかも確かめます。

$e^{A + B} = e^{A} e^{B}$ が保証されるのはどんなときですか。

$A$ と $B$ がどちらも正則なとき
$A B = B A$ のとき
つねに成り立つ

__RESULT__

可換なときに限ります。証明で二項定理を使うためで、 $A B \neq = B A$ だと $(A + B)^{2}$ の展開が $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ になりません。正則かどうかは関係しません。

よくある誤り

e^{A}

を、成分ごとに

e^{a_{ij}}

を計算したものと思う。対角行列でない限り一致しません。

e^{A + B} = e^{A} e^{B}

をいつでも使う。可換のときだけです。

A

が正則でないと

e^{A}

が作れないと思う。級数はどんな行列でも収束します。

e^{A}

が正則でない場合があると思う。逆行列は

e^{- A}

で、つねに存在します。

対角化できない行列で

P e^{D} P^{- 1}

を使う。

D

が作れないので、ジョルダン標準形に持ち込みます。

det (e^{A}) = e^{d e t A}

と覚える。指数の中身はトレースです。

級数で定義し、可換かどうかで法則の使える範囲が決まる。対角化できれば対角成分ごと、できなければ細胞ごと。この 3 段で $e^{A}$ はたいてい書き下せます。

出典

Bruce Ikenaga. *The Exponential of a Matrix*. Millersville University.

Pete Karageorgis. *Linear systems*. MA2327 Lecture Notes, Trinity College Dublin.

Matrix exponential. Wikipedia.

Joseph Mahaffy. *Linear Systems of ODEs: Fundamental Solution*. Math 537, San Diego State University.

David Dummit. *Applications of the Jordan Canonical Form*. Math 4571, Northeastern University.

Cleve Moler, Charles Van Loan. *Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later*. SIAM Review 45 (2003), 3-49.

$\dot{x} = Ax$ の解が $x(t) = e^{tA}x_0$ になる、その $e^{tA}$ の中身です。テイラー展開に行列を入れるだけで、$\|A^k\| \leq \|A\|^k$ から級数はどんな行列でも収束する。対角化できれば $Pe^{D}P^{-1}$、できなければジョルダン細胞ごとに $e^{\lambda t}(I + tN)$ と書けます。$e^{A+B} = e^{A}e^{B}$ が崩れる 2 次の反例、$(e^{A})^{-1} = e^{-A}$ がいつでも成り立つ理由、$\det(e^{A}) = e^{\operatorname{tr} A}$、定義どおり足すと精度が落ちる話まで。