行列を指数の肩に乗せる？行列の指数関数と連立微分方程式

連立微分方程式 $\dot{x}=Ax$ の解は $x(t)=e^{tA}{x}_0$ と書けます。スカラーの $x^{\prime }=ax$ が $x=e^{at}{x}_0$ だったのと、まったく同じ形。

肩に乗っているのは行列です。$e$ を行列回だけ掛ける、という意味には読めません。ではどう定義するのか、そして計算はどうするのか^[1]。

べき級数で定義する

指数関数のテイラー展開に、数の代わりに行列を入れます。積は行列の積、$A^0$ は単位行列 $I$ です。

$$e^A=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{A^k}{k!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots$$

パラメータ $t$ を付けた形もよく使います。

$$e^{tA}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{t^k{A}^k}{k!}$$

$A=O$ なら $e^O=I$。第 1 項しか残りません。

どんな行列でも収束する

級数なので、まず収束を確かめます。行列のノルムを、積について $\Vert XY\Vert \le \Vert X\Vert \Vert Y\Vert$ を満たすものにとります^[2]。

このとき $\Vert A^k\Vert \le \Vert A{\Vert }^k$ なので、各項の大きさは次のように押さえられます。

$$\sum _{k=0}^{\infty }\Vert \frac{A^k}{k!}\Vert \le \sum _{k=0}^{\infty }\frac{\Vert A{\Vert }^k}{k!}=e^{\Vert A\Vert }<\infty$$

右辺はただの実数の指数関数で、必ず有限。絶対収束するので、もとの級数も収束します。

条件は何もありません。正則でなくても、対角化できなくても、$e^A$ は定まる^[1]。

対角行列は成分ごとに計算する

$A=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ なら、$A^k$ も対角行列で、成分は ${\lambda }_i^k$ です。級数を成分ごとに足すだけで済みます。

$$e^A=\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_1},\dots ,e^{{\lambda }_n})$$

対角化できる行列は、この場合に持ち込めます。$A=PD{P}^{-1}$ なら $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$ なので、級数の $P$ と $P^{-1}$ が外へ出ます。

$$e^A=\sum _k\frac{P{D}^k{P}^{-1}}{k!}=P\left(\sum _k\frac{D^k}{k!}\right)P^{-1}=P{e}^D{P}^{-1}$$

例：2 次の行列で計算する

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$$

固有値は $1$ と $3$。固有ベクトルは $(1,0)$ と $(1,1)$ です。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$e^{tD}=\mathrm{diag}(e^t,e^{3t})$ をはさんで掛けます。

$$e^{tA}=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& e^{3t}-e^t\\ 0& e^{3t}\end{array}\right)$$

$t=0$ を入れると単位行列。$t$ で微分して $t=0$ とすると、$(1,2;0,3)$ が出て $A$ に戻ります。

掛け算の法則は崩れる

スカラーなら $e^{a+b}=e^a{e}^b$ でした。行列では一般に成り立ちません^[1]。

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

どちらも 2 乗すると零行列なので、級数は 2 項で切れます。$e^A=I+A$、$e^B=I+B$。

$$e^A{e}^B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

一方 $A+B$ は 2 乗すると $I$ になるので、級数が双曲線関数に分かれます。

$$e^{A+B}=\left(\begin{array}{cc}\cosh 1& \sinh 1\\ \sinh 1& \cosh 1\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{cc}1.543& 1.175\\ 1.175& 1.543\end{array}\right)$$

まるで違う行列。ついでに $e^B{e}^A$ を計算すると $(1,1;1,2)$ で、$e^A{e}^B$ とも違います。

可換なら成り立つ

$AB=BA$ のときは、スカラーと同じ式が復活します^[3]。

$$e^{A+B}=e^A{e}^B(AB=BA)$$

証明は二項定理です。可換なら $(A+B{)}^k={\sum }_j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})A^j{B}^{k-j}$ と展開でき、級数を掛け合わせた形と項が一致します。

可換でないと二項定理そのものが崩れる。$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$ で、真ん中が $2AB$ にまとまりません。

この系として、$A$ と $-A$ はいつでも可換なので次が出ます。

$$e^A{e}^{-A}=e^O=I⟹(e^A{)}^{-1}=e^{-A}$$

$e^A$ はどんな $A$ に対しても正則。$A$ が正則でなくても、指数をとると正則になります。

微分方程式へ

級数を項ごとに微分します。$\frac{d}{dt}\frac{t^k{A}^k}{k!}=\frac{t^{k-1}{A}^k}{(k-1)!}$ なので、$A$ が 1 つ外へ出た形になります。

$$\frac{d}{dt}{e}^{tA}=A{e}^{tA}=e^{tA}A$$

$x(t)=e^{tA}{x}_0$ とおくと $\dot{x}=A{e}^{tA}{x}_0=Ax$。$t=0$ で $x(0)=x_0$ なので、初期値も合います^[4]。

解が 1 つに決まることも言えます。$y$ を別の解とし、$z(t)=e^{-tA}y(t)$ を微分すると $\dot{z}=-A{e}^{-tA}y+e^{-tA}Ay=0$。

$z$ が定数なので $y(t)=e^{tA}z(0)$ となり、初期値が同じなら $x$ と一致します。

例：初期値から解を書く

上の $A=(1,2;0,3)$ で $x(0)=(0,1)$ とします。$e^{tA}$ を掛けるだけ。

$$x(t)=\left(\begin{array}{cc}{e}^t& e^{3t}-e^t\\ 0& e^{3t}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^{3t}-e^t\\ e^{3t}\end{array}\right)$$

微分すると $(3e^{3t}-e^t,3e^{3t})$。$Ax$ を計算しても同じ値になります。

例：回転を作る行列

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

2 乗すると $-I$、3 乗すると $-A$、4 乗で $I$ に戻ります。級数を $I$ の項と $A$ の項に分けると、そのまま三角関数の展開になる。

$$e^{tA}=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right)$$

オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ の行列版です。$A$ が虚数単位の役目をしています。

対角化できないとき

$A$ を対角化できないなら、ジョルダン標準形に持ち込みます^[5]。細胞は $J=\lambda I+N$ の形で、$N$ は右上に $1$ が並ぶ行列。

$\lambda I$ と $N$ は可換なので、指数法則が使えます。$N$ はべき零なので、級数は有限項で切れます。

$$e^{tJ}=e^{\lambda t}\left(I+tN+\frac{t^2}{2!}{N}^2+\cdots +\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}{N}^{k-1}\right)$$

2 次の細胞なら $N^2=O$ なので、2 項で終わります。

$$e^{tJ}=e^{\lambda t}\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$t$ が外に出てきました。解に $t{e}^{\lambda t}$ の形が現れるのは、この $N$ が原因です。

行列式とトレース

$e^A$ の行列式は、トレースから出ます^[3]。

$$\det (e^A)=e^{\mathrm{tr}A}$$

対角化できる場合は簡単です。$\det$ は固有値の積、$e^A$ の固有値は $e^{{\lambda }_i}$ なので、積は $e^{{\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n}$。指数の中身が固有値の和、つまりトレースになります。

右辺は $0$ になりません。$e^A$ がいつも正則だという事実が、ここからも読めます。

数値で計算するときの注意

定義どおり級数を足す方法は、実は精度が出ません。$\Vert A\Vert$ が大きいと、途中の項が答えより桁違いに大きくなり、引き算で桁が落ちます^[6]。

実際に使われるのは、$A$ を $2^s$ で割って小さくし、パデ近似で $e^{A/2^s}$ を作り、$s$ 回 2 乗して戻す手順です。

$e^{A/2^s}$ を $2^s$ 乗すれば $e^A$ に戻る、という指数法則がこの手順を支えています。同じ行列どうしなので可換で、法則が使えます。

指数法則がいつ使えるかも確かめます。

よくある誤り

級数で定義し、可換かどうかで法則の使える範囲が決まる。対角化できれば対角成分ごと、できなければ細胞ごと。この 3 段で $e^A$ はたいてい書き下せます。

出典