2 次と 3 次の行列式、計算問題で手を動かす

$2$ 次はたすき掛けで $ad-bc$。$3$ 次はサラスの方法か余因子展開のどちらかです^[1]。

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

$3$ 次より大きくなるとサラスは使えません。$0$ の多い行や列を選んで展開するか、行基本変形で $0$ を作ってから展開します。

以下 14 問。基本の計算から、文字を含む式、性質を使った確かめまで並べました。

サラスの方法

$3$ 次に限って使える手順です。右下がりの 3 本を足し、右上がりの 3 本を引きます^[2]。

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$$

$6$ 項で、これはライプニッツの公式の $3!=6$ 項と一致します。$4$ 次では $4!=24$ 項になるので、たすき掛けの $8$ 本では足りません。

問題 1

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 5\end{array}\right)$$

$\det A=3\cdot 5-4\cdot 2=15-8=7$ です。

問題 2

$$B=\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ 3& -4\end{array}\right)$$

$\det B=(-2)(-4)-6\cdot 3=8-18=-10$。負号の掛け算で符号を落としやすいところです。

問題 3

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

第 1 行で展開します。

$$\det C=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)=-3+12-9=0$$

$0$ になりました。第 1 行から第 2 行の $2$ 倍を引き、第 3 行を足すとすべて $0$ になるので、行が一次従属です^[1]。

問題 4

$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& 1\\ 1& 2& 5\end{array}\right)$$

第 1 列に $0$ があるので、そこで展開すると $2$ 次が 2 個で済みます。

$$\det D=2(20-2)-0+1(1-12)=36-11=25$$

$0$ の位置を先に探すと、計算量が変わります^[3]。

問題 5

$$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 1& 4\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$$

第 3 列は $0,4,1$。$0$ が 1 つあるので、ここで展開します。

$$\det E=-4(1\cdot 0-2\cdot 2)+1(1\cdot 1-2\cdot 3)=16-5=11$$

符号は $(-1{)}^{2+3}=-1$、$(-1{)}^{3+3}=+1$。市松模様で確かめます。

問題 6

サラスの方法で計算してください。

$$F=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 3& 2\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$$

右下がりの 3 本は $2\cdot 3\cdot 4=24$、$0\cdot 2\cdot 0=0$、$1\cdot 1\cdot 1=1$。

右上がりの 3 本は $1\cdot 3\cdot 0=0$、$2\cdot 2\cdot 1=4$、$0\cdot 1\cdot 4=0$。

$$\det F=24+0+1-0-4-0=21$$

第 1 行の余因子展開でも $2(12-2)+1(1-0)=21$ で一致します。

問題 7

$$G=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& -1\\ 0& 3& 7\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

上三角行列なので、対角成分の積で $2\cdot 3\cdot 4=24$。

展開でも同じです。第 1 列で展開すると $2$ 次の上三角が残り、また対角の積になります。

問題 8

$2$ 行を入れ替えると行列式がどうなるかを確かめてください。

$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2,\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right|=6-4=2$$

符号だけが変わりました。交代性そのものです^[1]。

問題 9

$\det A=7$ の $2$ 次行列と、$\det B=5$ の $3$ 次行列について、$\det (2A)$ と $\det (2B)$ を求めてください。

$\det (cA)=c^n\det A$ なので、$2$ 次なら $2^2=4$ 倍、$3$ 次なら $2^3=8$ 倍。

$\det (2A)=28$、$\det (2B)=40$ です。$n$ 乗になる点を落としやすいところです。

問題 10

次が $0$ になる $x$ を求めてください。

$$\left|\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& x\end{array}\right|=0$$

$x^2-1=0$ より $x=\pm 1$。このとき $2$ 本の列が一次従属になります。

$x=1$ なら $2$ 列が同じ、$x=-1$ なら一方が他方の $-1$ 倍です。

問題 11

次が $0$ になる $x$ を求めてください。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|=0$$

第 1 行で展開します。

$$(x^2-1)-(x-1)+(1-x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$

$(x-1{)}^2=0$ より $x=1$。このとき 3 行すべてが同じになります。

問題 12

行基本変形を使って計算してください。

$$H=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 7& 12\end{array}\right)$$

第 2 行から第 1 行の $2$ 倍、第 3 行から第 1 行の $3$ 倍を引きます。値は変わりません。

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right|=1\cdot (1\cdot 3-2\cdot 1)=1$$

第 1 列に $0$ が 2 つ並んだので、$2$ 次の行列式 1 個で終わりました。

問題 13

$\det (AB)=\det A\cdot \det B$ を確かめてください。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$$

$\det A=-2$、$\det B=6$ で、積は $-12$。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right),\det (AB)=48-60=-12$$

一致しました。$\det (A+B)$ には同じ規則がない点が対比になります。

問題 14

$\det (A^{\mathsf{T}})=\det A$ を確かめてください。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 1\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$$

第 1 行で展開すると $1(0-6)-2(0-5)+3(0-20)=-6+10-60=-56$。

転置した行列で同じ計算をすると $1(0-6)-0+5(2-12)=-6-50=-56$。一致します。

行と列を入れ替えても値が変わらないので、列で証明した性質はそのまま行にも使えます^[1]。

検算のしかた

別の行または列で展開し直します。どこで展開しても同じ値なので、違えばどちらかに計算違いがあります。

問題 6 の $F$ なら、サラスで $21$、第 1 行の展開でも $21$。2 通りで一致しました。

上三角に変形して対角の積をとる方法も確かめになります。問題 12 は変形後の対角が $1,1,1$ で積が $1$、答えと合います。

$0$ が出たときは、行や列が一次従属になっていないかを見ます。問題 3 では第 1 行と第 3 行の和が第 2 行の $2$ 倍で、従属だと確かめられます。

性質を使った計算も確かめます。

$2$ 次はたすき掛け、$3$ 次はサラスか展開。$4$ 次以上は $0$ を作ってから展開する。この 3 段で、手計算の範囲はだいたい片づきます。

参考文献