2 次と 3 次の行列式、計算問題で手を動かす

$2$ 次はたすき掛けで $a d - b c$ 。 $3$ 次はサラスの方法か余因子展開のどちらかです^[1]。

$a c b d = a d - b c$

$3$ 次より大きくなるとサラスは使えません。 $0$ の多い行や列を選んで展開するか、行基本変形で $0$ を作ってから展開します。

以下 14 問。基本の計算から、文字を含む式、性質を使った確かめまで並べました。

サラスの方法

$3$ 次に限って使える手順です。右下がりの 3 本を足し、右上がりの 3 本を引きます^[2]。

$det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$

$6$ 項で、これはライプニッツの公式の $3! = 6$ 項と一致します。 $4$ 次では $4! = 24$ 項になるので、たすき掛けの $8$ 本では足りません。

問題 1

$A = (3245)$

$det A = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 15 - 8 = 7$ です。

問題 2

$B = (- 2 3 6 - 4)$

$det B = (- 2) (- 4) - 6 \cdot 3 = 8 - 18 = - 10$ 。負号の掛け算で符号を落としやすいところです。

問題 3

$C = 147258369$

第 1 行で展開します。

$det C = 1 (45 - 48) - 2 (36 - 42) + 3 (32 - 35) = - 3 + 12 - 9 = 0$

$0$ になりました。第 1 行から第 2 行の $2$ 倍を引き、第 3 行を足すとすべて $0$ になるので、行が一次従属です^[1]。

問題 4

$D = 201142315$

第 1 列に $0$ があるので、そこで展開すると $2$ 次が 2 個で済みます。

$det D = 2 (20 - 2) - 0 + 1 (1 - 12) = 36 - 11 = 25$

$0$ の位置を先に探すと、計算量が変わります^[3]。

問題 5

$E = 132210041$

第 3 列は $0, 4, 1$ 。 $0$ が 1 つあるので、ここで展開します。

$det E = - 4 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 2) + 1 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) = 16 - 5 = 11$

符号は $(- 1)^{2 + 3} = - 1$ 、 $(- 1)^{3 + 3} = + 1$ 。市松模様で確かめます。

問題 6

サラスの方法で計算してください。

$F = 210031124$

右下がりの 3 本は $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ 、 $0 \cdot 2 \cdot 0 = 0$ 、 $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ 。

右上がりの 3 本は $1 \cdot 3 \cdot 0 = 0$ 、 $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ 、 $0 \cdot 1 \cdot 4 = 0$ 。

$det F = 24 + 0 + 1 - 0 - 4 - 0 = 21$

第 1 行の余因子展開でも $2 (12 - 2) + 1 (1 - 0) = 21$ で一致します。

問題 7

$G = 200530 - 1 74$

上三角行列なので、対角成分の積で $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ 。

展開でも同じです。第 1 列で展開すると $2$ 次の上三角が残り、また対角の積になります。

問題 8

$2$ 行を入れ替えると行列式がどうなるかを確かめてください。

$1324 = - 2, 3142 = 6 - 4 = 2$

符号だけが変わりました。交代性そのものです^[1]。

問題 9

$det A = 7$ の $2$ 次行列と、 $det B = 5$ の $3$ 次行列について、 $det (2 A)$ と $det (2 B)$ を求めてください。

$det (c A) = c^{n} det A$ なので、 $2$ 次なら $2^{2} = 4$ 倍、 $3$ 次なら $2^{3} = 8$ 倍。

$det (2 A) = 28$ 、 $det (2 B) = 40$ です。 $n$ 乗になる点を落としやすいところです。

問題 10

次が $0$ になる $x$ を求めてください。

$x 1 1 x = 0$

$x^{2} - 1 = 0$ より $x = \pm 1$ 。このとき $2$ 本の列が一次従属になります。

$x = 1$ なら $2$ 列が同じ、 $x = - 1$ なら一方が他方の $- 1$ 倍です。

問題 11

次が $0$ になる $x$ を求めてください。

$111 1 x 1 11 x = 0$

第 1 行で展開します。

$(x^{2} - 1) - (x - 1) + (1 - x) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2}$

$(x - 1)^{2} = 0$ より $x = 1$ 。このとき 3 行すべてが同じになります。

問題 12

行基本変形を使って計算してください。

$H = 1232573812$

第 2 行から第 1 行の $2$ 倍、第 3 行から第 1 行の $3$ 倍を引きます。値は変わりません。

$100211323 = 1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) = 1$

第 1 列に $0$ が 2 つ並んだので、 $2$ 次の行列式 1 個で終わりました。

問題 13

$det (A B) = det A \cdot det B$ を確かめてください。

$A = (1324), B = (2103)$

$det A = - 2$ 、 $det B = 6$ で、積は $- 12$ 。

$A B = (410612), det (A B) = 48 - 60 = - 12$

一致しました。 $det (A + B)$ には同じ規則がない点が対比になります。

問題 14

$det (A^{T}) = det A$ を確かめてください。

$A = 105246310$

第 1 行で展開すると $1 (0 - 6) - 2 (0 - 5) + 3 (0 - 20) = - 6 + 10 - 60 = - 56$ 。

転置した行列で同じ計算をすると $1 (0 - 6) - 0 + 5 (2 - 12) = - 6 - 50 = - 56$ 。一致します。

行と列を入れ替えても値が変わらないので、列で証明した性質はそのまま行にも使えます^[1]。

$0$ の位置を探す

なければ行基本変形で作る

$0$ の多い行か列で展開する

検算のしかた

別の行または列で展開し直します。どこで展開しても同じ値なので、違えばどちらかに計算違いがあります。

問題 6 の $F$ なら、サラスで $21$ 、第 1 行の展開でも $21$ 。2 通りで一致しました。

上三角に変形して対角の積をとる方法も確かめになります。問題 12 は変形後の対角が $1, 1, 1$ で積が $1$ 、答えと合います。

$0$ が出たときは、行や列が一次従属になっていないかを見ます。問題 3 では第 1 行と第 3 行の和が第 2 行の $2$ 倍で、従属だと確かめられます。

$4$ 次の行列式にサラスの方法を当てはめると、何が起こりますか。

正しく計算できる
項が足りず、誤った値になる
符号だけがずれる

__RESULT__

$4$ 次のライプニッツの公式は $4! = 24$ 項です。たすき掛けを $4$ 列に伸ばしても $8$ 項しか出ないので、まったく足りません。サラスは $3$ 次に限った手順です。

性質を使った計算も確かめます。

$3$ 次行列 $A$ で $det A = 5$ のとき、 $det (3 A)$ はいくらですか。

$15$
$135$
$45$

__RESULT__

$det (c A) = c^{n} det A$ で $c = 3$ 、 $n = 3$ なので $27 \cdot 5 = 135$ です。列が $3$ 本あり、それぞれから $3$ が外へ出ます。 $15$ は $c$ を 1 回しか出していない値になります。

$2$ 次はたすき掛け、 $3$ 次はサラスか展開。 $4$ 次以上は $0$ を作ってから展開する。この 3 段で、手計算の範囲はだいたい片づきます。

参考文献

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 3. Brown University.

Andreas Gathmann. *Determinanten*. Grundlagen der Mathematik, RPTU Kaiserslautern.

DET-0050: The Laplace Expansion Theorem. Linear Algebra, The Ohio State University.

$2$ 次は $ad - bc$、$3$ 次はサラスの方法か余因子展開。どちらで解いても同じ値が出ます。14 問で、$0$ の位置を先に探す習慣、上三角なら対角の積で済むこと、行を入れ替えると符号が反転すること、$\det(cA) = c^n \det A$ で $n$ 乗になることを順に確かめました。文字を含む行列式が $0$ になる条件、行基本変形で $0$ を作ってから展開する手順、$\det(AB) = \det A \det B$ と $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det A$ の検算も入れています。サラスが $3$ 次でしか使えない理由は、$4! = 24$ 項に対してたすき掛けが $8$ 本しか出ないことにあります。