2次・3次行列式の計算練習

行列式は正方行列に対して定義されるスカラー量である。2次では対角成分の積から反対角成分の積を引き、3次ではサラスの方法や余因子展開を用いる。

問題1（2次）

次の行列の行列式を求めよ。

$A = (3245)$

解答

2次行列式の公式 $det A = a d - b c$ を用いる。 $det A = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 2 = 15 - 8 = 7$ 。

答え

$det A = 7$

問題2（2次）

次の行列の行列式を求めよ。

$B = (- 2 3 6 - 4)$

解答

$det B = (- 2) \cdot (- 4) - 6 \cdot 3 = 8 - 18 = - 10$ 。

答え

$det B = - 10$

問題3（3次）

次の行列の行列式を求めよ。

$C = 147258369$

解答

第1行で余因子展開する。 $det C = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3 \cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)$ $= 1 \cdot (45 - 48) - 2 \cdot (36 - 42) + 3 \cdot (32 - 35)$ $= 1 \cdot (- 3) - 2 \cdot (- 6) + 3 \cdot (- 3) = - 3 + 12 - 9 = 0$ 。

答え

$det C = 0$

問題4（3次）

次の行列の行列式を求めよ。

$D = 201142315$

解答

第1列に 0 があるので第1列で展開すると効率的である。 $det D = 2 \cdot 0 - 0 + 1 \cdot 1$ $= 2 \cdot (20 - 2) + 1 \cdot (1 - 12) = 2 \cdot 18 + (- 11) = 36 - 11 = 25$ 。

答え

$det D = 25$

問題5（3次）

次の行列の行列式を求めよ。

$E = 132210041$

解答

第3列で展開する。 $det E = 0 \cdot (\dots) - 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1$ $= - 4 \cdot (0 - 4) + 1 \cdot (1 - 6) = - 4 \cdot (- 4) + (- 5) = 16 - 5 = 11$ 。

答え

$det E = 11$