行列のランクを求める練習｜行基本変形・行列式・積と和のランク

行列のランクは、行基本変形で行階段形に直したときのピボットの個数である。列ベクトルから一次独立に選べる最大個数にも等しい。

以下の問題は、掃き出して数える型から始めてある。後半には行列式と小行列式で判定する型、積や和のランクを見積もる型を置いた。

行階段形とピボット

各行で最初に現れる $0$ でない成分をピボットという。行階段形では、ピボットの位置が下の行ほど右へずれていく。

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	<text x="48" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">階段の下はすべて 0 で、段の数がランクになる</text>
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	<text x="135" y="138" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
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	<text x="135" y="170" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
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	<text x="372" y="74" font-size="11" fill="#1b81e0">青丸がピボット</text>
	<text x="48" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a">この例ではピボットが 3 個なので、ランクは 3 である</text>
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ピボットの個数は、途中でどの変形を選んでも変わらない。だから「どう掃き出すか」を悩む必要はなく、行が消えるまで進めればよい。

問題 1：行が比例している行列

次の行列のランクを求めよ。

$A = 123246369$

解答 1

第 $2$ 行が第 $1$ 行の $2$ 倍、第 $3$ 行が $3$ 倍になっている。掃き出すと $2$ 行とも消える。

$A R_{2} - 2 R_{1}, R_{3} - 3 R_{1} 100200300$

ピボットは $1$ 個だけである。

$rank A = 1$

行がすべて $1$ 本のベクトルの定数倍になっているので、行の張る空間は直線になる。

問題 2：3 次でランクが落ちる例

次の行列のランクを求めよ。

$B = 123235101$

解答 2

第 $1$ 列で掃き出す。

$B R_{2} - 2 R_{1}, R_{3} - 3 R_{1} 100 2 - 1 - 1 1 - 2 - 2$

第 $2$ 行と第 $3$ 行が一致したので、片方が消える。

$R_{3} - R_{2} 100 2 - 1 0 1 - 2 0$

ピボットは $2$ 個である。

$rank B = 2$

もとの行列を見ると第 $3$ 行が第 $1$ 行と第 $2$ 行の和になっている。掃き出す前に気づけば計算を省ける。

問題 3：4 次の行列

次の行列のランクを求めよ。

$C = 1012011121351234$

解答 3

第 $1$ 列を掃き出す。

$C R_{3} - R_{1}, R_{4} - 2 R_{1} 1000011121111222$

下の $3$ 行がそろってしまった。 $2$ 行が消える。

$R_{3} - R_{2}, R_{4} - R_{2} 1000010021001200$

$4$ 次の行列だがピボットは $2$ 個しかない。

$rank C = 2$

第 $3$ 行が第 $1$ 行と第 $2$ 行の和、第 $4$ 行が $2$ 倍の第 $1$ 行と第 $2$ 行の和になっている。

問題 4：フルランクの例

次の行列のランクを求めよ。

$E = 111123136$

解答 4

第 $1$ 列を掃き出す。

$E R_{2} - R_{1}, R_{3} - R_{1} 100112125$

続けて第 $2$ 列を掃き出す。

$R_{3} - 2 R_{2} 100110121$

$3$ 行とも生き残った。

$rank E = 3$

正方行列でランクが次数と一致する状態をフルランクという。このとき逆行列が存在する。

問題 5：横長の行列

次の行列のランクを求めよ。

$F = (12240113)$

解答 5

行が $2$ 本しかないので、ランクは多くても $2$ である。

$F R_{2} - 2 R_{1} (10200111)$

第 $2$ 行は消えなかった。ピボットは第 $1$ 列と第 $3$ 列にある。

$rank F = 2$

一般に $m \times n$ 行列のランクは $min (m, n)$ を超えない。行の本数と列の本数の小さいほうで頭打ちになる。

問題 6：縦長の行列と転置

次の行列のランクを求め、問題 5 の結果と比べよ。

$G = 12012413$

解答 6

列が $2$ 本なので、ランクは多くても $2$ である。掃き出す。

$G R_{2} - 2 R_{1}, R_{4} - R_{1} 10002011$

零行列の行が途中に挟まっているので、入れ替えて下へ送る。

$R_{2} \leftrightarrow R_{3}, R_{4} - R_{2} 10002100$

ピボットは $2$ 個である。

$rank G = 2$

この $G$ は問題 5 の $F$ の転置になっている。値が一致したのは偶然ではなく、どんな行列でも $rank A = rank A^{⊤}$ が成り立つ。

行から数えても列から数えても同じ値になる、という主張でもある。縦長の行列が出てきたら、転置して横長にしてから掃き出してもよい。

問題 7：パラメータを含む行列

$a$ を実数とする。次の行列のランクを $a$ で分類せよ。

$K = 111124 1 a a^{2}$

解答 7

まず行列式を計算する。フルランクかどうかがこれで決まる。

$det K = 1 (2 a^{2} - 4 a) - 1 (a^{2} - a) + 1 (4 - 2) = a^{2} - 3 a + 2$

因数分解すると次のようになる。

$det K = (a - 1) (a - 2)$

$a \neq = 1$ かつ $a \neq = 2$ なら行列式が $0$ でないので、ランクは $3$ である。

$a = 1$ のときは第 $3$ 列が $(1, 1, 1)^{⊤}$ となり、第 $1$ 列と一致する。残る $2$ 列は一次独立なのでランクは $2$ になる。

$a = 2$ のときは第 $2$ 列と第 $3$ 列が $(1, 2, 4)^{⊤}$ で一致する。やはりランクは $2$ である。

まとめると、 $a \neq = 1, 2$ でランク $3$ 、 $a = 1$ または $a = 2$ でランク $2$ となる。第 $1$ 列と第 $2$ 列がどんな $a$ でも一次独立なので、ランクが $1$ 以下になる $a$ は存在しない。

問題 8：行列式で判定する

次の行列のランクを、掃き出さずに求めよ。

$M = 214102327$

解答 8

正方行列なら、行列式が $0$ でないことがフルランクと同じ意味を持つ。

$det M = 2 (0 \cdot 7 - 2 \cdot 2) - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 4) + 3 (1 \cdot 2 - 0 \cdot 4)$

順に計算する。

$= 2 (- 4) - 1 (- 1) + 3 \cdot 2 = - 8 + 1 + 6 = - 1$

$0$ でないので、ランクは次数に等しい。

$rank M = 3$

この手が使えるのは正方行列に限られ、しかも「 $3$ かそれ未満か」しか分からない。値が $0$ だったときは、結局もっと小さい行列式を見るか掃き出すことになる。

問題 9：小行列式で判定する

次の行列のランクを、小行列式を使って求めよ。

$N = 121324023615$

解答 9

ランクは「 $0$ でない小行列式の最大の次数」に等しい。 $4 \times 3$ なので、まず $3$ 次から調べる。

$3$ 行を選ぶ選び方は $4$ 通りある。どれを計算しても $0$ になる。

$det 121240361 = 0, det 113202315 = 0$

残る $2$ 通りも $0$ である。したがってランクは $2$ 以下になる。

次に $2$ 次の小行列式を $1$ つ見つける。第 $1$ 行と第 $3$ 行、第 $1$ 列と第 $2$ 列を取る。

$det (1120) = - 2 \neq = 0$

$0$ でない $2$ 次の小行列式があるので、ランクはちょうど $2$ である。

$rank N = 2$

小行列式による判定は、 $0$ でないものを $1$ つ見つければ下から押さえられる点が便利である。ただし上から押さえるにはすべてを調べる必要があり、次数が上がると掃き出すほうが速い。

問題 10：積のランク

次の $2$ つの行列について、それぞれのランクと積 $A B$ のランクを求めよ。

$A = (1111), B = (1 - 1 - 1 1)$

解答 10

どちらも第 $2$ 行が第 $1$ 行の定数倍なので、ランクは $1$ ずつである。積を計算する。

$A B = (1 - 1 1 - 1 - 1 + 1 - 1 + 1) = (0000)$

零行列になったので、ランクは $0$ である。

$rank A = rank B = 1, rank A B = 0$

一般に $rank A B \leq min (rank A, rank B)$ が成り立つ。この例は不等号が真に成り立つ場合で、掛けるとランクは下がりうるが上がることはない。

問題 11：和のランク

次の $2$ つの行列について、 $A + B$ のランクを求めよ。また $A + (- A)$ のランクとも比べよ。

$A = (1000), B = (0001)$

解答 11

どちらもランクは $1$ である。足すと単位行列になる。

$A + B = (1001)$

ランクは $2$ で、 $rank A + rank B$ に一致した。一方 $A + (- A)$ は零行列で、ランクは $0$ に落ちる。

$rank (A + B) \leq rank A + rank B$

この不等式は等号になることも、大きく下回ることもある。和のランクは足し算では決まらない。

問題 12：ランク 1 の行列を作る

$u = (1, 2, 3)^{⊤}$ 、 $v = (2, - 1, 4)^{⊤}$ とする。 $u v^{⊤}$ のランクを求めよ。

解答 12

まず積を書き下す。 $u$ の各成分に $v^{⊤}$ を掛ければよい。

$u v^{⊤} = 246 - 1 - 2 - 3 4812$

第 $2$ 行は第 $1$ 行の $2$ 倍、第 $3$ 行は $3$ 倍である。掃き出せば $2$ 行が消える。

$rank u v^{⊤} = 1$

どの行も $v^{⊤}$ の定数倍になっているので、 $u$ と $v$ がどちらも零ベクトルでなければ必ずランク $1$ になる。逆にランク $1$ の行列は、すべてこの形に書ける。

問題 13：列基本変形も使う

問題 2 の行列 $B$ を、行と列の基本変形を両方使って簡単な形にせよ。

解答 13

行の掃き出しはすでに終わっている。

$B ⟶ 100 2 - 1 0 1 - 2 0$

ここから列を操作する。第 $1$ 行を使って第 $2$ 列と第 $3$ 列を掃く。

$C_{2} - 2 C_{1}, C_{3} - C_{1} 100 0 - 1 0 0 - 2 0$

第 $2$ 行を使って第 $3$ 列を掃き、最後に第 $2$ 列を $- 1$ 倍する。

$C_{3} - 2 C_{2}, (- 1) C_{2} 100010000$

左上に $1$ が $2$ つ並び、残りは $0$ になった。この形を標準形といい、並ぶ $1$ の個数がランクである。

列基本変形を混ぜてよいのは、ランクを求めるときに限る。連立方程式を解いている途中で列を動かすと、変数の対応が入れ替わってしまう。

問題 14：ランクとして起こりうる値

$3 \times 5$ 行列のランクとして、どんな値がありうるか答えよ。

解答 14

上限は行数と列数の小さいほうである。

$rank A \leq min (3, 5) = 3$

下限は $0$ で、零行列のときに限って達成される。

途中の値もすべて実現できる。左上に $1$ を $r$ 個並べて残りを $0$ にした行列を作れば、ランクはちょうど $r$ になる。

$r = 0, 1, 2, 3$

$4$ 以上にならない理由は、行が $3$ 本しかないからである。一次独立に選べる行は最大でも $3$ 本しかない。

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	<text x="48" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">3 次の行列では、列の張る空間の次元がランクである</text>
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	<text x="110" y="172" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">ランク 1</text>
	<text x="250" y="172" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">ランク 2</text>
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