行列のランクを求める練習

行列のランク（階数）は、行基本変形で行階段形に変換したときのピボット（主成分）の個数である。ランクは列ベクトルの一次独立な最大個数にも等しい。

問題1

次の行列のランクを求めよ。

$A = 123246369$

解答

行基本変形を行う。 $R_{2} - 2 R_{1}$ , $R_{3} - 3 R_{1}$ を行うと

$<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$

ピボットは1個のみ。

答え

$rank A = 1$

問題2

次の行列のランクを求めよ。

$B = 123235101$

解答

$R_{2} - 2 R_{1}$ , $R_{3} - 3 R_{1}$ を行う。

$<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - > R_{3} - R_{2} <! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{1} - - >$

ピボットは2個。

答え

$rank B = 2$

問題3

次の行列のランクを求めよ。

$C = 1012011121351234$

解答

$R_{3} - R_{1}$ , $R_{4} - 2 R_{1}$ を行う。

$<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$

$R_{3} - R_{2}$ , $R_{4} - R_{2}$ を行うと第3, 4行が零になる。ピボットは2個。

答え

$rank C = 2$

問題4

次の行列のランクを求めよ。

$D = 102215033$

解答

$R_{3} - 2 R_{1}$ を行う。

$<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - > R_{3} - R_{2} <! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{1} - - >$

ピボットは2個。

答え

$rank D = 2$

問題5

次の行列のランクを求めよ。

$E = 111123136$

解答

$R_{2} - R_{1}$ , $R_{3} - R_{1}$ を行う。

$<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - > R_{3} - 2 R_{2} <! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{1} - - >$

ピボットは3個で、フルランクである。

答え

$rank E = 3$