ケイリー・ハミルトンの定理

ケイリー・ハミルトンの定理は、行列がその固有多項式を零化することを主張する。一見自明に見えるが、行列を変数に代入する操作を含むため、証明には注意が必要である。

定理の主張

$A$ を $n$ 次正方行列とし、その固有多項式を $p_{A} (λ) = det (λ I - A)$ とする。このとき

$p_{A} (A) = O$

が成り立つ。ここで $p_{A} (A)$ は $p_{A} (λ)$ の $λ$ に行列 $A$ を代入したものである。

たとえば $p_{A} (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$ ならば、 $p_{A} (A) = A^{2} - 5 A + 6 I = O$ となる。

$A = 1$ の固有多項式を計算する。

$p_{A} (λ) = det (λ - 1 - 3 - 2 λ - 4) = (λ - 1) (λ - 4) - 6 = λ^{2} - 5 λ - 2$

ケイリー・ハミルトンの定理により $A^{2} - 5 A - 2 I = O$ が成り立つはずである。

$A^{2} = (7151022), 5 A = (5151020), 2 I = (2002)$

確かに $A^{2} - 5 A - 2 I = O$ である。

ケイリー・ハミルトンの定理から、 $A^{n}$ 以上の累乗は $I, A, A^{2}, \dots, A^{n - 1}$ の一次結合で表せることがわかる。これは行列の関数を計算する際に有用である。

また、最小多項式は固有多項式を割り切ることも、この定理から従う。最小多項式 $m_{A}$ は $m_{A} (A) = O$ を満たす最小次数の多項式であり、 $p_{A} (A) = O$ より $m_{A}$ は $p_{A}$ を割り切る。

証明にはいくつかの方法がある。一つは随伴行列を用いる方法である。

$B (λ) = adj (λ I - A)$ を $λ I - A$ の余因子行列とする。これは $λ$ の $n - 1$ 次多項式を成分にもつ行列で、

$(λ I - A) B (λ) = det (λ I - A) \cdot I = p_{A} (λ) I$

が成り立つ。 $B (λ)$ を展開して $λ$ に $A$ を代入し、両辺を整理すると $p_{A} (A) = O$ が導かれる。

逆行列の計算

$A$ が正則なら、ケイリー・ハミルトンの定理から $A^{- 1}$ を $I, A, \dots, A^{n - 1}$ の一次結合で表せる。

行列の累乗

$A^{k}$ を低次の多項式で表すことで、計算を効率化できる場合がある。

微分方程式

$e^{A t}$ の計算にも応用でき、連立線形微分方程式の解法に役立つ。