内積空間は、ベクトル空間に長さと角度の概念を導入した構造である。幾何学的な直観を抽象化し、関数空間など幅広い対象に適用できる。
内積の定義
実ベクトル空間 上の内積とは、写像 で次の条件を満たすものである。
対称性:
第一引数の線形性:
正定値性: かつ
対称性と第一引数の線形性から、第二引数についても線形性が従う。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼ぶ。
複素ベクトル空間の場合は、対称性を （エルミート対称性）に置き換える。
ノルムと距離
内積からノルム（長さ）が定まる。
さらに距離も定義できる。
これにより内積空間は距離空間の構造をもつ。
内積空間の例
最も基本的な例は の標準内積である。
関数空間にも内積を定義できる。区間 上の連続関数の空間では
が内積になる。この内積は直交関数系やフーリエ級数の理論で重要な役割を果たす。
行列空間にも内積を定義できる。 行列の空間では
が内積になる。これをフロベニウス内積と呼ぶ。
コーシー・シュワルツの不等式
内積空間における最も重要な不等式はコーシー・シュワルツの不等式である。
等号が成り立つのは と が一次従属のときに限る。この不等式から三角不等式 が導かれる。
直交性
のとき、 と は直交するという。直交の概念は内積によって初めて意味をもつ。直交性を用いて射影や分解を定義でき、最小二乗法など応用上も重要である。
