内積空間の定義と例

内積空間は、ベクトル空間に長さと角度の概念を導入した構造である。幾何学的な直観を抽象化し、関数空間など幅広い対象に適用できる。

内積の定義

実ベクトル空間 $V$ 上の内積とは、写像 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}$ で次の条件を満たすものである。

対称性と第一引数の線形性から、第二引数についても線形性が従う。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼ぶ。

複素ベクトル空間の場合は、対称性を $⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$（エルミート対称性）に置き換える。

ノルムと距離

内積からノルム（長さ）が定まる。

$$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$$

さらに距離も定義できる。

$$d(u,v)=\Vert u-v\Vert$$

これにより内積空間は距離空間の構造をもつ。

内積空間の例

最も基本的な例は ${\mathbb{R}}^n$ の標準内積である。

$$⟨x,y⟩=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n=x^{T}y$$

関数空間にも内積を定義できる。区間 $[a,b]$ 上の連続関数の空間では

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx$$

が内積になる。この内積は直交関数系やフーリエ級数の理論で重要な役割を果たす。

行列空間にも内積を定義できる。$m\times n$ 行列の空間では

$$⟨A,B⟩=\mathrm{tr}(A^{T}B)=\sum _{i,j}{a}_{ij}{b}_{ij}$$

が内積になる。これをフロベニウス内積と呼ぶ。

コーシー・シュワルツの不等式

内積空間における最も重要な不等式はコーシー・シュワルツの不等式である。

$$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$$

等号が成り立つのは $u$ と $v$ が一次従属のときに限る。この不等式から三角不等式 $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$ が導かれる。

直交性

$⟨u,v⟩=0$ のとき、$u$ と $v$ は直交するという。直交の概念は内積によって初めて意味をもつ。直交性を用いて射影や分解を定義でき、最小二乗法など応用上も重要である。