逆行列の求め方｜2 次の公式と 3 次の掃き出し法

$2$ 次には公式があります。対角を入れ替え、非対角に $-$ を付け、行列式で割るだけ。

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

$3$ 次以上では公式が重くなるので、$(A\mid I)$ を掃き出して $(I\mid A^{-1})$ にする手順を使います^[2]。

以下 12 問。$2$ 次の公式、$3$ 次の掃き出し、余因子による方法、逆行列が存在しない場合まで並べました。

掃き出しで求める仕組み

$A$ に行基本変形を重ねて $I$ にできたとします。その変形は基本行列の積 $F$ で書け、$FA=I$ より $F=A^{-1}$ です^[2]。

同じ変形を右半分の $I$ にも当てると、$FI=F=A^{-1}$ が現れます。だから並べて変形すれば、右半分に答えが出る。

$$(A\mid I)⟶(I\mid A^{-1})$$

左半分が $I$ にならなければ、$A$ は正則ではありません。行がすべて $0$ になった時点で終わりです。

問題 1

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)$$

$\det A=8-3=5$。公式に入れます。

$$A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$$

検算します。$A{A}^{-1}$ の $(1,1)$ 成分は $\frac{1}{5}(2\cdot 4+3\cdot (-1))=1$、$(1,2)$ 成分は $\frac{1}{5}(-6+6)=0$。単位行列になります。

問題 2

$$B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\right)$$

$\det B=5-6=-1$。分母が負なので、符号がすべて反転します。

$$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& -5\end{array}\right)$$

$\frac{1}{-1}$ を掛け忘れると、符号が逆になります。ここが落とし穴です。

問題 3

掃き出し法で求めてください。

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

$(C\mid I)$ を作り、第 3 行から第 1 行を引きます。第 3 行が $(0,-2,1)$ になります。

次に第 3 行へ第 2 行の $2$ 倍を足すと $(0,0,3)$。左半分が上三角になりました。

第 3 行を $3$ で割り、上へ掃き出します。

$$C^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 1& 1& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$$

$\det C=3$ なので、分母と合っています。

問題 4

次の行列に逆行列がないことを示してください。

$$D=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

行列式を計算します。

$$\det D=2(1-0)-1(1-0)+1(0-1)=2-1-1=0$$

$0$ なので逆行列は存在しません。理由も見えます。第 2 行と第 3 行を足すと $(2,1,1)$ で、第 1 行に一致する。

掃き出しても同じ結論に着きます。第 1 行から第 2 行と第 3 行を引くと、第 1 行が全部 $0$ になり、左半分を $I$ にできません。

問題 5

$$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 4& 1\end{array}\right)$$

対角が $1$ の下三角行列です。逆行列も同じ形になります。

$$E^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -4& 1\end{array}\right)$$

第 3 行を確かめます。$(3,4,1)$ と第 1 列 $(1,-2,5)$ の内積は $3-8+5=0$。第 3 列との内積は $1$ で合います。

$(3,1)$ 成分が $-3$ ではなく $5$ になる点に手応えがあります。第 2 行の影響が回り込むためです。

問題 6

$$F=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -3& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$

対角行列なので、各成分の逆数を並べるだけ。

$$F^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1/2& 0& 0\\ 0& -1/3& 0\\ 0& 0& 1/5\end{array}\right)$$

対角成分に $0$ があると逆数がとれません。それがそのまま $\det =0$ に対応します。

問題 7

次の逆行列と、存在する条件を求めてください。

$$G=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& a\end{array}\right)$$

$\det G=a^2-1$。これが $0$ でない条件は $a\ne \pm 1$ です。

$$G^{-1}=\frac{1}{a^2-1}\left(\begin{array}{cc}a& -1\\ -1& a\end{array}\right)$$

$a=1$ なら $2$ 行が同じ、$a=-1$ なら一方が他方の $-1$ 倍。どちらも行が一次従属になります。

問題 8

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ を確かめてください。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$AB$ を計算すると $(1,1)=2$、$(1,2)=2$、$(2,2)=3$ です。$\det (AB)=6$。

$$(AB{)}^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/2& -1/3\\ 0& 1/3\end{array}\right)$$

一方 $B^{-1}{A}^{-1}$ を計算すると、同じ行列が出ます。順番が入れ替わる点が要点です。

$A^{-1}{B}^{-1}$ では一致しません。積の逆行列は、掛ける順番が逆になります^[1]。

問題 9

余因子行列を使って求めてください。

$$H=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

$\det H=2(4-1)-1(2-0)+0=4$。

余因子を並べて転置します。この $H$ は対称なので、余因子行列も対称になります。

$$H^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right)$$

第 2 行で確かめます。$(1,2,1)$ と第 2 列 $(-2,4,-2)$ の内積は $-2+8-2=4$。$4$ で割って $1$ になります^[3]。

問題 10

逆行列を使って連立方程式を解いてください。

$$2x+3y=5,x+4y=6$$

係数行列は問題 1 の $A$ です。$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ で求まります。

$$\mathbf{x}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)$$

$x=\frac{2}{5}$、$y=\frac{7}{5}$。代入すると $\frac{4}{5}+\frac{21}{5}=5$ で合います。

方程式が 1 本なら掃き出しのほうが速い。右辺だけ変えて何度も解くときに、逆行列が生きます。

問題 11

$(A^{-1}{)}^{-1}=A$ と $(A^{\mathsf{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathsf{T}}$ を、問題 1 の $A$ で確かめてください。

問題 1 で求めた $A^{-1}$ の行列式は $\frac{1}{25}(8-3)=\frac{1}{5}$ です。

公式を当てると、対角を入れ替えて $5$ 倍することになり、もとの $A$ に戻ります。

転置のほうは、$A^{\mathsf{T}}$ の逆行列を計算すると $A^{-1}$ を転置した形になります^[1]。$\det A^{\mathsf{T}}=\det A$ なので分母も同じです。

問題 12

$$K=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

対角が $1$ の上三角なので、$\det K=1$。逆行列も上三角になります。

$$K^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$(1,3)$ 成分が $0$ になるところが面白い。$-1$ が 2 回打ち消し合うためです。

順番の規則も確かめます。

$2$ 次は公式、$3$ 次以上は掃き出し。どちらでも最後に $A{A}^{-1}=I$ を計算すれば、符号や分母のずれがその場で見つかります。

参考