掃き出し法で連立方程式を解く練習

掃き出し法（ガウスの消去法）は、拡大係数行列に行基本変形を施して連立方程式を解く手法である。被約行階段形まで変形すれば、解を直接読み取れる。

問題1

次の連立方程式を掃き出し法で解け。

${x + 2 y = 5 3 x + 4 y = 11$

解答

拡大係数行列を作り、行基本変形を行う。

$<! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{0} - - > R_{2} - 3 R_{1} <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{1} - - > R_{2} \div (- 2) <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{2} - - >$

$R_{1} - 2 R_{2} <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{3} - - >$

答え

$x = 1$ , $y = 2$

問題2

次の連立方程式を掃き出し法で解け。

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 6 2 x + 3 y + z = 14 x + 2 y + 3 z = 14$

解答

拡大係数行列に行基本変形を施す。

$<! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{0} - - > R_{2} - 2 R_{1}, R_{3} - R_{1} <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{1} - - >$

$R_{3} - R_{2} <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{2} - - > R_{3} \div 3 <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{3} - - >$

上に掃き出すと $x = 1$ , $y = 4$ , $z = 2$ が得られる。

答え

$x = 1$ , $y = 4$ , $z = 2$

問題3

次の連立方程式を掃き出し法で解け。

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 3 2 x + y + z = 4 3 x + 3 y = 7$

解答

拡大係数行列を変形する。

$<! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{0} - - > R_{2} - 2 R_{1}, R_{3} - 3 R_{1} <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{1} - - >$

$R_{3} - R_{2}$ を行うと第3行が全て 0 になる。よって方程式は不定で、 $z$ を任意定数 $t$ とおける。 $- 3 y + 3 t = - 2$ より $y = t + 2/3$ 、 $x = 3 - 2 y + z = 3 - 2 (t + 2/3) + t = 5/3 - t$ 。

答え

$x = 5/3 - t$ , $y = t + 2/3$ , $z = t$ （ $t$ は任意）

問題4

次の連立方程式を掃き出し法で解け。

${x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3$

解答

$<! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{0} - - > R_{2} - 2 R_{1} <! - - 787 a 1029 c 9504 a 58 a 90 d 7 e 7 f 9217200 9_{1} - - >$

第2行は $0 = 1$ を意味し、矛盾する。

答え

解なし