次元定理（rank-nullity theorem）

次元定理は、線形写像の核と像の次元の関係を述べる定理である。rank-nullity theorem とも呼ばれ、線形代数の基本定理の一つである。

次元定理の主張

$V$ を有限次元ベクトル空間、 $f : V \to W$ を線形写像とする。このとき次が成り立つ。

$dim V = dim (Ker f) + dim (Im f)$

言い換えると、定義域の次元は退化次数と階数の和に等しい。

$dim V = null f + rank f$

$A$ を $m \times n$ 行列とし、 $f (x) = A x$ で定まる線形写像を考える。次元定理は次のように表せる。

$n = dim (Ker A) + rank A$

ここで $Ker A$ は同次方程式 $A x = 0$ の解空間であり、その次元は自由度（自由変数の個数）に等しい。 $rank A$ は $A$ の階数（ピボットの個数）である。

たとえば、 $3 \times 5$ 行列でランクが 2 ならば、核の次元は $5 - 2 = 3$ となる。

$Ker f$ の基底を ${u_{1}, \dots, u_{k}}$ とする。これを $V$ の基底に拡張して ${u_{1}, \dots, u_{k}, v_{1}, \dots, v_{r}}$ とする。

${f (v_{1}), \dots, f (v_{r})}$ が $Im f$ の基底になることを示せばよい。任意の $f (v) \in Im f$ は $v = \sum a_{i} u_{i} + \sum b_{j} v_{j}$ と表せるから

$f (v) = \sum a_{i} f (u_{i}) + \sum b_{j} f (v_{j}) = \sum b_{j} f (v_{j})$

となり、 ${f (v_{j})}$ は $Im f$ を生成する。一次独立性も確かめられる。よって $dim (Im f) = r$ であり、 $dim V = k + r$ が成り立つ。

次元定理からいくつかの重要な結論が導かれる。

単射の条件

$f$ が単射なら $Ker f = {0}$ だから $dim V = dim (Im f)$ となる。つまり単射なら次元が保たれる。

全射の条件

$f : V \to W$ が全射なら $dim (Im f) = dim W$ である。次元定理より $dim V \geq dim W$ が必要となる。

同型の条件

$f$ が全単射（同型写像）なら $dim V = dim W$ である。逆に、 $dim V = dim W$ のとき、単射と全射は同値になる。

連立方程式 $A x = b$ の解の個数を調べる際にも、次元定理は本質的な役割を果たす。