次元定理の応用｜階数の不等式とシルヴェスター・フロベニウス

次元定理は等式ですが、使うときはたいてい不等式を作る道具になります。

$$\dim V=\dim \mathrm{Ker}f+\mathrm{rank}f$$

写像を部分空間に制限してからこの等式を当てると、積や和のランクを上下から挟む評価が次々に出てきます。定理そのものの証明は核と像の記事にあるので、ここではその使い方だけを追います。

次元定理をどう使うか

行列で書くときは、列の本数が出発点の次元です。$A$ を $m\times n$ 行列とすると次の形になります。

$$n=\dim \mathrm{Ker}A+\mathrm{rank}A$$

この等式には $m$ が現れません。行き先がどれだけ広くても、効いているのは列の本数だけです。

そのまま使うと $\mathrm{rank}A$ と $\dim \mathrm{Ker}A$ の一方から他方が出るだけです。おもしろくなるのは、写像を部分空間に絞ってから当てたときになります。

部分空間に制限してから当てる

$f:V\to W$ を線形写像、$U\subseteq V$ を部分空間とします。$f$ の行き先を $U$ の元だけに限った写像を考えます。

この制限写像の核は $\mathrm{Ker}f\cap U$、像は $f(U)$ です。定義域は $U$ なので、次元定理はこの形になります。

$$\dim U=\dim (\mathrm{Ker}f\cap U)+\dim f(U)$$

以下の不等式はすべて、この 1 本の等式から出ます。あとは $U$ に何を選ぶかだけの違いです。

像はどれだけ痩せるか

上の等式の第 1 項は、核との重なりの大きさです。重なりは核そのものより大きくなれません。

$$\dim (\mathrm{Ker}f\cap U)\le \dim \mathrm{Ker}f$$

移項すると、像の次元を下から押さえる形が出ます。

$$\dim f(U)\ge \dim U-\dim \mathrm{Ker}f$$

潰れる余地は核の分しかないので、それを引いた分は必ず残る、と読めます。

<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">核と重なった分だけ、像の次元が減ります</text>
	<text x="115" y="46" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">U</text>
	<rect x="70" y="55" width="90" height="35" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="70" y="90" width="90" height="75" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.15" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<text x="115" y="77" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">核と重なる分</text>
	<text x="115" y="132" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">残る分</text>
	<line x1="175" y1="72" x2="292" y2="72" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<polygon points="292,68 300,72 292,76" fill="#c8c8c8"></polygon>
	<text x="315" y="77" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<line x1="175" y1="127" x2="292" y2="127" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="292,123 300,127 292,131" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="237" y="118" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">f</text>
	<text x="355" y="81" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">f(U)</text>
	<rect x="310" y="90" width="90" height="75" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.15" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<text x="230" y="197" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">重なりが大きいほど像は小さくなり、重なりがなければ次元は保たれます</text>
</svg>

例：制限で像が痩せる様子を見る

$f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ を、第 3 成分を $0$ にする写像とします。核は第 3 軸で、次元は $1$ です。

まず $U$ を次の 2 本が張る平面とします。

$$u_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),u_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

$U$ の元 $a{u}_1+b{u}_2$ が第 3 軸に乗るのは $a=b=0$ のときだけです。核との重なりは $0$ 次元で、像は $2$ 次元のまま残ります。

こんどは $U^{\prime }$ を第 1 軸と第 3 軸が張る平面とします。こちらは第 3 軸をまるごと含んでいます。

重なりが $1$ 次元あるので、像は $2-1=1$ 次元まで痩せます。実際 $f(U^{\prime })$ は第 1 軸だけになります。

同じ $2$ 次元の平面でも、核との位置関係で行き先の大きさが変わりました。

積のランクを下から押さえる

$A$ を $m\times n$、$B$ を $n\times p$ 行列とします。積のランクには、よく知られた上からの評価があります。

$$\mathrm{rank}(AB)\le \min (\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B)$$

下からの評価も存在します。これをシルヴェスターの階数不等式といいます。

$$\mathrm{rank}(AB)\ge \mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n$$

証明は前節の当てはめだけです。$AB$ の像は、$B$ の像に $A$ を当てたものにほかなりません。

$$\mathrm{rank}(AB)=\dim A(\mathrm{Im}B)$$

そこで $U=\mathrm{Im}B$ として前節の不等式を使います。$\dim U=\mathrm{rank}B$、$\dim \mathrm{Ker}A=n-\mathrm{rank}A$ なので、右辺がそのまま目的の形になります。

<svg viewBox="0 0 460 185" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">積のランクは上と下から挟まれ、範囲だけが決まります</text>
	<rect x="240" y="92" width="80" height="28" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.15" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<line x1="60" y1="120" x2="400" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="80" y1="120" x2="80" y2="126" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="160" y1="120" x2="160" y2="126" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="240" y1="120" x2="240" y2="126" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<line x1="320" y1="120" x2="320" y2="126" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<text x="80" y="142" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="160" y="142" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="240" y="142" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">2</text>
	<text x="320" y="142" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">3</text>
	<text x="240" y="80" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">下限</text>
	<text x="320" y="80" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">上限</text>
	<text x="230" y="172" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">rank A が 4、rank B が 3、間の次元が 5 のときの例です</text>
</svg>

等号が成り立つとき

証明を振り返ると、緩めたのは 1 か所だけです。核との重なりを核そのもので置き換えた不等式でした。

したがって等号が成り立つのは、その置き換えが正確なとき、つまり核が丸ごと $B$ の像に含まれるときです。

$$\mathrm{Ker}A\subseteq \mathrm{Im}B$$

重なりを $0$ にする条件と取り違えないでください。そちらは上からの評価が等号になる場合で、$\mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}B$ を与えます。

例：シルヴェスターの不等式を数値で見る

$n=3$ で試します。$A$ を第 3 成分を捨てる $2\times 3$ 行列とします。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

ランクは $2$ で、核は第 3 軸です。$B$ には第 1 軸と第 2 軸を張る $3\times 2$ 行列を取ります。

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

こちらもランクは $2$ です。積は $2$ 次の単位行列になるので $\mathrm{rank}(AB)=2$ です。

下からの評価は $2+2-3=1$ で、実際の値 $2$ はそれより大きくなっています。$A$ の核である第 3 軸が $B$ の像に入っていないので、等号にはなりません。

例：等号になる組

同じ $A$ に対して、$B$ の側だけ取り替えます。

$$B^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

ランクは $2$ のままですが、像は第 1 軸と第 3 軸が張る平面に変わりました。積を計算します。

$$A{B}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

ランクは $1$ に落ちました。下からの評価も $2+2-3=1$ なので、こちらは等号です。

$A$ の核である第 3 軸が $B^{\prime }$ の像に丸ごと入っている、という前節の条件がそのまま効いています。

不等式が何も言わない場合

下からの評価は、いつでも役に立つわけではありません。$\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B-n$ が負になると、$0$ 以上という当たり前の事実しか出てきません。

間に挟まる次元 $n$ が大きいほど、この現象が起きやすくなります。広い空間を経由すると、どこで潰れるか予想がつかなくなる、と読めます。

逆に、$\mathrm{rank}A$ と $\mathrm{rank}B$ がどちらも $n$ に近ければ強い評価になります。次の節がその極端な場合です。

ランクが行数に届く行列を掛けても変わらない

$B$ が $n\times p$ 行列で、ランクが行数の $n$ に届いているとします。このとき積のランクは $A$ のものと一致します。

$$\mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}A$$

下からの評価に $\mathrm{rank}B=n$ を入れると $\mathrm{rank}(AB)\ge \mathrm{rank}A$ です。上からの評価は $\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}A$ を与えます。

両側から挟まれて等号が確定しました。正則行列を掛けてもランクが変わらないことは、$p=n$ の場合にあたります。

逆行列を持ち出さずに済むところが、この導き方の便利な点です。正方行列でなくても結論が出ます。

和のランクは足し算を超えない

こんどは和を見ます。$A$ と $B$ を同じ型の行列とすると、次が成り立ちます。

$$\mathrm{rank}(A+B)\le \mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B$$

理由は像の包含関係です。$(A+B)x=Ax+Bx$ なので、$A+B$ の像は $A$ の像と $B$ の像を足した空間に含まれます。

$$\mathrm{Im}(A+B)\subseteq \mathrm{Im}A+\mathrm{Im}B$$

部分空間の和の次元は、それぞれの次元の和を超えません。包含している以上、左辺の次元も同じ上限で押さえられます。

例：和のランク

$2$ 次の行列で両極端を見ます。まず等号になる組です。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

どちらもランクは $1$ で、和は単位行列なのでランクは $2$ です。$1+1=2$ で等号が成り立ちました。

こんどは $B$ の符号を変えて、$A$ を打ち消す形にします。

$$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

ランクは $0$ まで落ちました。上限の $2$ からはずいぶん離れています。

差の形でも押さえられる

和には下からの評価もあります。

$$\mathrm{rank}(A+B)\ge |\mathrm{rank}A-\mathrm{rank}B|$$

出し方は上の不等式の使い回しです。$A=(A+B)+(-B)$ と書けば、上からの評価から $\mathrm{rank}A\le \mathrm{rank}(A+B)+\mathrm{rank}B$ が出ます。

$-B$ のランクが $B$ と同じであることを使いました。移項すれば $\mathrm{rank}(A+B)\ge \mathrm{rank}A-\mathrm{rank}B$ です。

$A$ と $B$ の役を入れ替えれば逆向きの評価も出るので、絶対値の形にまとまります。先ほどの打ち消し合う例では、両辺とも $0$ で等号でした。

フロベニウスの不等式

3 つの行列が並ぶときには、もう一段強い評価があります。$AB$、$BC$、$ABC$ がすべて定義できるとします。

$$\mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)\le \mathrm{rank}B+\mathrm{rank}(ABC)$$

証明の出発点は、制限したときの等式を差の形に書き直すことです。$U=\mathrm{Im}B$ として $A$ に当てます。

$$\mathrm{rank}(AB)=\mathrm{rank}B-\dim (\mathrm{Ker}A\cap \mathrm{Im}B)$$

同じ式を $U=\mathrm{Im}(BC)$ について書けば、$\mathrm{rank}(ABC)=\mathrm{rank}(BC)-\dim (\mathrm{Ker}A\cap \mathrm{Im}(BC))$ です。

2 式の差を取ると、示すべき不等式は次の 1 行に落ちます。

$$\dim (\mathrm{Ker}A\cap \mathrm{Im}(BC))\le \dim (\mathrm{Ker}A\cap \mathrm{Im}B)$$

$\mathrm{Im}(BC)$ は $\mathrm{Im}B$ に含まれるので、核と切り取った部分にも同じ包含が伝わります。包含すれば次元は増えません。

例：フロベニウスの不等式を確かめる

$2$ 次の行列 3 つで見ます。$B$ には成分を入れ替える行列を取ります。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$AB$ は右上だけが $1$ の行列、$BC$ は左下だけが $1$ の行列で、どちらもランクは $1$ です。

$ABC$ を計算すると、$A$ が第 2 行を捨て、$BC$ の中身が第 2 行にしかないので零行列になります。

左辺は $1+1=2$、右辺は $\mathrm{rank}B+0=2$ です。等号が成り立ちました。

$B$ が正則で情報を落とさないのに、両側から挟まれて $ABC$ が消える。そういう組み合わせがあることを、この不等式は許しています。

シルヴェスターはフロベニウスの特別な場合

真ん中の $B$ を $n$ 次の単位行列に置き換えてみます。$\mathrm{rank}B=n$ で、$AB=A$、$BC=C$、$ABC=AC$ です。

$$\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}C\le n+\mathrm{rank}(AC)$$

移項すればシルヴェスターの階数不等式そのものです。2 つの不等式は別物ではなく、片方がもう片方を含んでいました。

部分空間の和の次元

次元定理は、写像を作りさえすれば部分空間どうしの関係にも使えます。$U$ と $W$ を $V$ の部分空間とします。

$U$ の元と $W$ の元の組全体を考えます。成分ごとに和とスカラー倍を入れると、次元が $\dim U+\dim W$ のベクトル空間になります。

この空間から $V$ への写像を、組 $(u,w)$ に和 $u+w$ を対応させることで作ります。像は $U+W$ です。

核は $u+w=0$ を満たす組なので、$u$ を $U\cap W$ の元として $(u,-u)$ と書けるものの全体です。次元は $\dim (U\cap W)$ になります。

次元定理を当てれば、見なれた公式が出ます。

$$\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)$$

重なった分を二重に数えているので引く、という読み方ができます。直和になるのは $U\cap W$ が $0$ だけのときで、その場合は次元がそのまま足し算になります。

例：3 次元の中で平面どうしが交わる

${\mathbb{R}}^3$ の中で、第 3 成分が $0$ の平面を $U$、第 1 成分が $0$ の平面を $W$ とします。

どちらも $2$ 次元です。両方に属するのは第 1 成分も第 3 成分も $0$ のベクトルなので、$U\cap W$ は第 2 軸で $1$ 次元です。

公式に入れると $2+2-1=3$ です。実際 $U+W$ は ${\mathbb{R}}^3$ 全体になります。

$2+2=4$ にならないのは、第 2 軸を両方が持っているからです。引き算はその重複を落とす操作にあたります。

理解の確認

不等式の一覧

ここまでに出た評価を並べます。

積の $n$ は $A$ の列数、つまり間に挟まる空間の次元です。行数や結果の型は関係しません。

3 つ並んだ積についてはフロベニウスの不等式が使えます。表に収まらない形をしていますが、真ん中を単位行列にすれば積の行に戻ります。

他の話題とのつながり

次元定理そのものの主張と証明は、核と像の記事にあります。核の基底を全体の基底へ延長する、という筋道でした。

ランクの求め方や、行で数えても列で数えても一致することは、ランクの記事で扱っています。この記事の不等式は、その値どうしの関係を述べたものです。

部分空間の和の次元は、直和の記事でも使われます。共通部分が $0$ だけという条件が、次元の足し算と対応していました。

線形写像を短完全列という形で並べると、次元定理は交代和が $0$ になるという主張の特別な場合として読めます。ホモロジー代数へつながる見方です。

よくある誤り

参考文献