線形写像（一次写像）｜和とスカラー倍を保つ写像の見分け方

ベクトル空間の間の写像のうち、和とスカラー倍を壊さないものを線形写像という。

$$f(u+v)=f(u)+f(v),f(cu)=cf(u)$$

条件はこの 2 本だけである。ここから、原点が動かないこと、直線が直線へ写ること、基底の像を決めれば写像全体が決まることが順に出てくる。

線形写像の定義

$V$ と $W$ をベクトル空間とする。写像 $f:V\to W$ が上の 2 つの等式を満たすとき、$f$ を線形写像という。一次写像とも呼ばれる。

1 つ目は和を保つという条件で、加法性という。先に足してから写しても、写してから足しても同じ結果になる。

2 つ目は定数倍を保つという条件で、斉次性という。2 倍してから写しても、写してから 2 倍しても変わらない。

2 つの条件を 1 本にまとめる

2 つの条件は、次の 1 本と同じ内容である。実際に使うときは、こちらのほうが確かめやすい。

$$f(au+bv)=af(u)+bf(v)$$

$b=1$、$a=1$ と置けば加法性が、$b=0$ と置けば斉次性が出る。逆向きは、加法性を使ってから斉次性を 2 度当てればよい。

スカラーの範囲は、考えているベクトル空間に合わせる。実ベクトル空間なら実数、複素ベクトル空間なら複素数である。

例：定義にあてはめて確かめる

平面から平面への写像を 1 つ取る。

$$f(x,y)=(2x+y,x-3y)$$

$u=(1,2)$、$v=(3,-1)$ で試す。$f(u)=(4,-5)$、$f(v)=(5,6)$ である。

$u+v=(4,1)$ の像は $(9,1)$ で、$f(u)+f(v)$ と一致する。$f(2u)$ は $(8,-10)$ で、$f(u)$ の 2 倍になっている。

成分がどれも 1 次式で、定数項がない。この形の写像は必ず線形になる。

零ベクトルは零ベクトルへ行く

線形写像は原点を動かさない。斉次性で $c=0$ と置けば、すぐに出る。

$$f(0)=f(0\cdot 0)=0\cdot f(0)=0$$

同じ調子で $f(-v)=-f(v)$ も分かる。$-1$ 倍として扱えばよい。

原点が動くかどうかは、線形かどうかの手早い目印になる。$f(0)\ne 0$ なら、その時点で線形ではない。

一次結合はそのまま保たれる

条件を繰り返し使うと、何項の和でも同じことが成り立つ。

$$f(c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_k{v}_k)=c_{1}f(v_1)+c_{2}f(v_2)+\cdots +c_{k}f(v_k)$$

つまり、一次結合を作ってから写しても、写してから一次結合を作っても結果が同じである。線形写像の性質は、ほとんどこの等式に集約される。

この式が、あとで出てくる「基底の像だけで決まる」という主張の土台になる。

例：平行移動は線形ではない

$g(x)=x+1$ という写像を考える。グラフは直線なので線形に見えるが、条件は満たさない。

$g(0)=1$ なので、原点が動いてしまう。加法性のほうも $g(1+1)=3$ に対して $g(1)+g(1)=4$ で食い違う。

このように、直線を直線へ写すが原点を動かす写像をアフィン写像という。線形写像に平行移動を足した形をしている。

例：2 乗と絶対値も線形ではない

$h(x)=x^2$ では加法性が崩れる。$h(1+1)=4$ だが、$h(1)+h(1)=2$ である。

絶対値 $k(x)=|x|$ は加法性を満たすときもあるが、斉次性で引っかかる。$k(-1\cdot 1)=1$ に対して $-1\cdot k(1)=-1$ となる。

負のスカラーを入れて確かめると、この種の写像はすぐ振り落とせる。正の数だけで試すと見逃す。

線形かどうかの見分け方

数ベクトル空間なら、成分が 1 次の斉次式かどうかを見ればよい。定数項があればアフィン、2 次以上の項や絶対値があれば線形ではない。

疑わしいときは 3 つを順に試す。$f(0)=0$ か、$f(u+v)$ と $f(u)+f(v)$ が一致するか、負のスカラーで斉次性が保たれるかである。

反例は 1 つ見つければ足りる。逆に線形であることを言うには、任意の $u$、$v$、$a$、$b$ で成り立つことを示す必要がある。

直線と原点はどうなるか

線形写像は、直線を直線へ、平行な直線を平行な直線へ写す。原点は動かず、等間隔の目盛りも等間隔のまま保たれる。

<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="115" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">線形写像</text>
	<line x1="40" y1="150" x2="200" y2="150" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="70" y1="185" x2="70" y2="45" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="70" y1="150" x2="180" y2="118" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<line x1="70" y1="150" x2="120" y2="60" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<line x1="180" y1="118" x2="230" y2="28" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<line x1="120" y1="60" x2="230" y2="28" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<circle cx="70" cy="150" r="3.5" fill="#d0562a"></circle>
	<text x="52" y="168" font-size="11" fill="#d0562a">原点</text>
	<text x="115" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">原点は動かない</text>
	<text x="340" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">平行移動</text>
	<line x1="265" y1="150" x2="425" y2="150" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="295" y1="185" x2="295" y2="45" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="325" y1="130" x2="435" y2="98" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<line x1="325" y1="130" x2="375" y2="40" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<circle cx="295" cy="150" r="3.5" fill="#9a9a9a"></circle>
	<circle cx="325" cy="130" r="3.5" fill="#d0562a"></circle>
	<line x1="299" y1="147" x2="320" y2="133" stroke="#d0562a" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 2"></line>
	<text x="340" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">原点がずれるので線形ではない</text>
</svg>

平行四辺形の格子を描いてみると違いがはっきりする。線形写像なら格子は別の格子に写り、平行移動では格子ごと横へずれる。

基底の像だけで写像が決まる

$V$ の基底を $v_1,\dots ,v_n$ とする。任意のベクトルは基底の一次結合で書けるので、その像は基底の像から計算できる。

したがって、基底の像さえ決まれば写像全体が決まる。$n$ 個のベクトルの行き先を指定するだけで、無限にある点の行き先がすべて定まる。

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">基底の行き先を決めれば、格子の交点はすべて決まる</text>
	<line x1="40" y1="150" x2="190" y2="150" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="70" y1="180" x2="70" y2="50" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="70" y1="150" x2="118" y2="150" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="123,150 114,146 114,154" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="70" y1="150" x2="70" y2="102" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="70,97 66,106 74,106" fill="#d0562a"></polygon>
	<text x="112" y="168" font-size="11" fill="#1b81e0">e1</text>
	<text x="46" y="104" font-size="11" fill="#d0562a">e2</text>
	<text x="212" y="122" font-size="14" fill="#9a9a9a">f</text>
	<line x1="196" y1="115" x2="240" y2="115" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="245,115 236,111 236,119" fill="#9a9a9a"></polygon>
	<line x1="270" y1="150" x2="430" y2="150" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="300" y1="180" x2="300" y2="50" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="300" y1="150" x2="336" y2="114" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="340,110 331,113 337,119" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="300" y1="150" x2="384" y2="138" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></line>
	<polygon points="389,137 380,134 381,142" fill="#d0562a"></polygon>
	<text x="330" y="106" font-size="11" fill="#1b81e0">f(e1)</text>
	<text x="392" y="140" font-size="11" fill="#d0562a">f(e2)</text>
	<text x="230" y="190" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">2 本の行き先だけで、平面全体の行き先が定まる</text>
</svg>

例：基底の像から値を求める

標準基底の行き先が $f(e_1)=(1,2)$、$f(e_2)=(3,-1)$ だとする。このとき $f(2,3)$ を求める。

$(2,3)=2e_1+3e_2$ なので、像は $2f(e_1)+3f(e_2)$ である。

$$2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11\\ 1\end{array}\right)$$

写像の式を知らなくても、基底の像さえ分かれば計算できる。どの点についても同じ手順で求まる。

基底の像は自由に決めてよい

行き先の指定に制限はない。$W$ のベクトルを $n$ 個、好きなように選べる。

そのとき、$f(v_j)$ がその選んだベクトルになる線形写像がちょうど 1 つ存在する。存在は一次結合で定義すれば示せて、一意性は前節の議論から出る。

基底の像を並べたものと線形写像が、過不足なく対応している。この対応が、次の行列表示につながる。

行列で書ける

数ベクトル空間の場合、基底の像を列に並べれば行列ができる。先ほどの例なら次の行列である。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\end{array}\right)$$

この $A$ を掛ける操作が、もとの線形写像にあたる。$(2,3)$ に掛ければ $(11,1)$ が出る。

逆に、行列を掛ける写像はいつでも線形である。$A(u+v)=Au+Av$ と $A(cu)=cAu$ が成り立つからである。

一般のベクトル空間でも、基底を固定すれば同じ形にできる。作り方と基底の取り替えは、表現行列の記事で扱う。

例：行列の形に直す

はじめに挙げた $f(x,y)=(2x+y,x-3y)$ を行列で書く。基底の像を計算すればよい。

$f(1,0)=(2,1)$、$f(0,1)=(1,-3)$ である。これを列に並べる。

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -3\end{array}\right)$$

係数を縦に読むと、そのまま行列の列になっている。成分が 1 次式で書かれた写像なら、係数を並べ替えるだけで行列が得られる。

微分は線形写像である

数ベクトル空間の外にも例は多い。多項式の全体を考えると、微分は線形写像になる。

$$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime },(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$$

どちらも微分の基本的な性質である。線形代数の言葉で言えば、微分は関数の空間から関数の空間への線形写像だといえる。

行列で書けるのは、次数を区切って有限次元にしたときである。3 次以下の多項式なら 4 次元の空間になる。

例：多項式の微分で確かめる

$p(x)=3x^2+2x$ と $q(x)=x^2-5$ を取る。和の微分は $2$ つの微分の和になる。

$p^{\prime }=6x+2$、$q^{\prime }=2x$ である。$(p+q{)}^{\prime }=8x+2$ となり、$p^{\prime }+q^{\prime }$ と一致する。

定数倍でも同じである。$2p$ の微分は $12x+4$ で、$p^{\prime }$ の 2 倍になっている。

例：定積分も線形写像

区間を固定した定積分は、関数に数を対応させる写像である。行き先が 1 次元なので、線形汎関数と呼ばれる。

$${\int }_0^1(3x^2+2x)dx=1+1=2$$

積分の線形性から、和とスカラー倍が保たれる。$3x^2$ と $2x$ を別々に積分して足しても、同じ値になる。

行き先が数なので、行列で書けば 1 行の行列になる。

例：トレースと転置

行列の空間でも例が作れる。トレースは対角成分の和で、和とスカラー倍を保つ。

$(1,2;3,4)$ のトレースは 5 である。2 つの行列を足してからトレースを取っても、別々に取って足しても同じになる。

転置も線形写像である。行き先が数ではなく行列になる点だけが違う。

合成しても線形写像

$f:U\to V$ と $g:V\to W$ が線形なら、合成 $g\circ f$ も線形である。条件を順に当てはめるだけで確かめられる。

$$g(f(au+bv))=g(af(u)+bf(v))=ag(f(u))+bg(f(v))$$

行列で書けば、合成は積に対応する。写像を続けて施すことと、行列を掛け合わせることが同じ操作になる。

和とスカラー倍で線形空間になる

線形写像どうしを足したものも線形写像である。$(f+g)(v)=f(v)+g(v)$ と定めればよい。

スカラー倍も同じように定まる。したがって、$V$ から $W$ への線形写像の全体は、それ自体がベクトル空間になる。

次元は $\dim V\times \dim W$ である。平面から平面への線形写像なら 4 次元で、これは 2 次の行列全体の次元と一致する。

逆写像が取れるとき

線形写像が全単射なら、逆写像も線形になる。このような写像を同型写像といい、2 つの空間は同型であるという。

数ベクトル空間の間なら、表現行列が正則であることと同じ意味になる。行列式が 0 でなければ同型である。

同型な空間は、名前が違うだけで構造が同じである。$n$ 次元の実ベクトル空間がどれも数ベクトル空間と同型になるのは、その代表的な例である。

他の話題とのつながり

写像がどれだけつぶれるか、どこまで届くかを測るのが核と像である。この 2 つの次元の和がもとの空間の次元になる、というのが次元定理である。

基底を選んで行列に直す手順は表現行列の話題になる。基底を取り替えると行列が変わり、その変わり方が相似や合同の議論につながる。

行き先が数の場合を集めると双対空間になる。積分や評価はその代表的な例である。

よくある誤り

参考文献