線形写像（一次写像）の定義と例

線形写像（一次写像）は、ベクトル空間の間の構造を保つ写像である。線形代数において中心的な役割を果たし、行列はその具体的な表現と考えられる。

線形写像の定義

$V$ と $W$ をベクトル空間とする。写像 $f : V \to W$ が線形写像であるとは、次の2条件を満たすことをいう。

任意の

u, v \in V

に対して

f (u + v) = f (u) + f (v)

任意の

v \in V

とスカラー

c

に対して

f (c v) = c f (v)

この2条件をまとめて、 $f (a u + b v) = a f (u) + b f (v)$ と書くこともできる。線形写像は和とスカラー倍を保存する写像である。

線形写像の例

最も基本的な例は行列による変換である。 $A$ を $m \times n$ 行列とすると、 $f (x) = A x$ で定まる写像 $f : R^{n} \to R^{m}$ は線形写像になる。実際、 $A (u + v) = A u + A v$ と $A (c v) = c A v$ が成り立つ。

他にも様々な例がある。

微分作用素

関数空間において、微分 $D (f) = f^{'}$ は線形写像である。 $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ と $(c f)^{'} = c f^{'}$ が成り立つ。

積分作用素

定積分 $I (f) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ も線形写像である。積分の線形性から従う。

転置

行列空間において、転置 $T (A) = A^{T}$ は線形写像である。 $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$ と $(c A)^{T} = c A^{T}$ が成り立つ。

線形写像の基本性質

線形写像 $f : V \to W$ には次の性質がある。

まず、 $f (0_{V}) = 0_{W}$ が成り立つ。これは $f (0) = f (0 \cdot 0) = 0 \cdot f (0) = 0$ から従う。

また、 $f (- v) = - f (v)$ である。 $f (- v) = f ((- 1) v) = (- 1) f (v) = - f (v)$ となる。

一般に、一次結合の像は像の一次結合になる。

$f (c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{k} v_{k}) = c_{1} f (v_{1}) + c_{2} f (v_{2}) + \dots + c_{k} f (v_{k})$

この性質は線形写像の本質的な特徴であり、基底の像を決めれば写像全体が決まることを意味する。

行列表現

有限次元ベクトル空間の間の線形写像は、基底を固定すれば行列で表現できる。 $V$ の基底を ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 、 $W$ の基底を ${f_{1}, \dots, f_{m}}$ とする。 $f (e_{j})$ を $W$ の基底で表したときの係数を並べた行列が、 $f$ の表現行列である。