数学的帰納法は、自然数 $n$ に関する命題を証明するための方法である。 証明の手順 命題「すべての自然数 $n$ について $...

2つの数列が互いに絡み合った漸化式を連立漸化式という。 \[ \begin{cases} a_{n+1} = pa_n + qb...

三項間漸化式 $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ は、特性方程式を使って解く。 特性方程式 $x^2...

$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{pa_n + q}$ のような分数型漸化式は、逆数をとることで解ける場合が多い。 ...

漸化式 $a_{n+1} = a_n + f(n)$ の形を階差型という。$f(n)$ は $n$ の関数である。 解法 $a_...

漸化式 $a_{n+1} = pa_n + q$（$p \neq 1$, $q \neq 0$）は、特性方程式を使って解ける。 ...

数列をいくつかの組（群）に分けて考える問題を群数列という。 たとえば、$1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9...

分数の形をした数列の和を求めるとき、部分分数分解が有効な場合がある。分解後に隣り合う項が打ち消し合い（telescoping）、...

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ は $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ を...

各項の逆数が等差数列をなす数列を調和数列という。 数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ が調和数列であるとは、 ...

数列 $\{a_n\}$ に対して、隣り合う項の差 \[ b_n = a_{n+1} - a_n \] で定まる数列 $\{b_...

数列とは、ある規則に従って並んだ数の列のことである。 \[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots...

複素数平面上の3点が作る三角形の形状を、複素数の演算で判定できる。 3点が同一直線上にある条件 3点 $z_1$, $z_2$,...

共役複素数の性質を使うと、計算が簡潔になる場面が多い。主なテクニックを紹介する。 実部・虚部の取り出し $z = a + bi$...

複素数平面上の図形を複素数の式で表す方法を見ていく。 円の方程式 中心 $\alpha$、半径 $r$ の円は \[ |z - ...

方程式 $z^n = \alpha$ の解（$\alpha$ の $n$ 乗根）を求める方法を見ていく。 解法の手順 $\alp...

正多角形の頂点は、1つの頂点を中心や他の頂点のまわりに回転させることで求められる。 原点中心の正 n 角形 原点中心、半径 $r...

複素数平面上の2点間の距離と中点は、複素数の演算で簡潔に表せる。 2点間の距離 点 $z_1$ と点 $z_2$ の距離は \[...

極形式では積・商・累乗の計算が簡単になる。偏角の加減とド・モアブルの定理を使う。 積の公式 \[ r_1(\cos\theta_...

複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ に変換するには、絶対値 ...

複素数の相等条件「$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c$ かつ $b = d$」を使い、...

複素数 $z = a + bi$ の絶対値は $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で定義される。複素数平面上で原点...

複素数の除法では、分母に共役複素数を掛けて分母を実数化する。$\dfrac{a + bi}{c + di}$ の形を計算する手順...

$i$ の累乗は周期4で循環するため、$i^n$ の値は $n$ を4で割った余りだけで決まる。 例題1 $i^{53}$ を求...