基底の変換行列

同じベクトル空間でも、基底の選び方によって座標は異なる。基底の変換行列は、2つの基底の間の座標変換を記述する。

基底の変換行列の定義

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間とし、 $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ と $B^{'} = {v_{1}^{'}, \dots, v_{n}^{'}}$ を $V$ の2つの基底とする。

各 $v_{j}^{'}$ は基底 $B$ の一次結合として表せる。

$v_{j}^{'} = p_{1 j} v_{1} + p_{2 j} v_{2} + \dots + p_{nj} v_{n}$

係数 $p_{ij}$ を $(i, j)$ 成分とする行列 $P$ を、 $B$ から $B^{'}$ への基底の変換行列と呼ぶ。 $P$ の第 $j$ 列は $v_{j}^{'}$ の $B$ に関する座標である。

ベクトル $v \in V$ の $B$ に関する座標を $[v]_{B}$ 、 $B^{'}$ に関する座標を $[v]_{B^{'}}$ とする。このとき次の関係が成り立つ。

$[v]_{B} = P [v]_{B^{'}}$

つまり、新しい基底での座標に変換行列 $P$ をかけると、古い基底での座標が得られる。逆に、

$[v]_{B^{'}} = P^{- 1} [v]_{B}$

である。 $P$ は正則行列であり、その逆行列が逆方向の変換を与える。

$R^{2}$ で標準基底 $B = {e_{1}, e_{2}}$ と新しい基底 $B^{'} = {v_{1}^{'}, v_{2}^{'}}$ を考える。

$v_{1}^{'} = (11), v_{2}^{'} = (1 - 1)$

変換行列は $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ を列に並べた行列である。

$P = (11 1 - 1)$

ベクトル $v = (3, 1)^{T}$ の $B^{'}$ に関する座標は $[v]_{B^{'}} = P^{- 1} [v]_{B}$ で求まる。 $P^{- 1} = \frac{1}{- 2} 5$ より

$[v]_{B^{'}} = \frac{1}{2} (11 1 - 1) (31) = (21)$

確かに $v = 2 v_{1}^{'} + 1 \cdot v_{2}^{'}$ である。

線形写像 $f : V \to V$ の行列表現は基底の選び方に依存する。基底 $B$ での表現行列を $A$ 、基底 $B^{'}$ での表現行列を $A^{'}$ とすると、次の関係がある。

$A^{'} = P^{- 1} A P$

これは相似変換と呼ばれる。相似な行列は同じ線形写像の異なる表現であり、固有値などの本質的な性質を共有する。