基底の変換行列｜列の並べ方から相似変換まで

同じベクトルでも、どの基底で測るかによって座標の数値は変わる。基底を取り替えたときに座標がどう動くかを表すのが、基底の変換行列である。

$$[v{]}_B=P[v{]}_{B^{\prime }}$$

$P$ の列には、新しい基底を古い基底で表した座標が並ぶ。基底が新しいほうへ動くと、座標は逆行列のほうへ動く。この向きの食い違いが、この話のいちばんの山になる。

変換行列の定義

$V$ を $n$ 次元のベクトル空間とし、$B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ と $B^{\prime }=\{v_1^{\prime },\dots ,v_n^{\prime }\}$ を 2 つの基底とする。

新しい基底のベクトルは、古い基底の一次結合で書ける。

$$v_j^{\prime }=p_{1j}{v}_1+p_{2j}{v}_2+\cdots +p_{nj}{v}_n$$

この係数を第 $j$ 列に並べた行列 $P$ を、$B$ から $B^{\prime }$ への基底の変換行列という。列が新しい基底の座標である、という点だけ押さえておけばよい。

記号や向きの取り方は本によって違う。$P$ を掛ける向きがどちらか、毎回確かめてから使う。

例：標準基底から新しい基底へ

平面で標準基底から次の組へ取り替える。

$$v_1^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),v_2^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

標準基底で測った座標は、成分そのものである。したがって、この 2 本をそのまま列に並べれば変換行列になる。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

標準基底が絡む場合は、書き下すだけで行列ができあがる。連立方程式を解く必要はない。

座標は逆行列で移る

新しい基底での座標に $P$ を掛けると、古い基底での座標になる。逆向きの変換は逆行列で書ける。

$$[v{]}_{B^{\prime }}=P^{-1}[v{]}_B$$

つまり、新しい座標を求めたいときは逆行列のほうを使う。基底の並べ方と座標の動き方が、ちょうど逆になっている。

例：座標を求める

先ほどの $P$ を使い、$v=(3,1)$ の新しい座標を求める。行列式が $-2$ なので逆行列は次のようになる。

$$P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

これを $(3,1)$ に掛けると $(2,1)$ が得られる。実際に $2v_1^{\prime }+v_2^{\prime }$ を計算すると $(2,2)+(1,-1)=(3,1)$ になり、もとのベクトルに戻る。

同じ点が、標準基底では $(3,1)$、新しい基底では $(2,1)$ と呼ばれることになる。

例：3 次元で取り替える

新しい基底を $(1,1,0)$、$(0,1,1)$、$(1,0,1)$ とする。列に並べた行列の行列式は 2 なので、正則である。

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

逆行列を求めると、成分がすべて $\pm 1/2$ の行列になる。

$$P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$$

$v=(1,2,3)$ に掛けると、新しい座標は $(0,2,1)$ である。実際に $2(0,1,1)+(1,0,1)$ を計算すると $(1,2,3)$ に戻る。

なぜ逆行列が出るのか

理由は、基底と座標がベクトルを挟んで釣り合っているところにある。$v$ を 2 通りに書き下してみる。

$$v=\sum _i{x}_i{v}_i=\sum _j{y}_j{v}_j^{\prime }$$

右の式で $v_j^{\prime }$ を古い基底に展開すると、$v_i$ の係数は ${\sum }_j{p}_{ij}{y}_j$ になる。座標の一意性から、これが $x_i$ に等しい。

これを行列で書いたものが $[v{]}_B=P[v{]}_{B^{\prime }}$ である。$P$ は新しい基底を古い基底へ展開するために使われるので、座標に対しては逆向きに働く。

変換行列は恒等写像の表現行列

見方を変えると、$P$ は何も動かさない写像の表現行列である。入口の基底を $B^{\prime }$、出口の基底を $B$ に取ったときの恒等写像がそれにあたる。

写像としては何もしていないのに、行列が単位行列にならない。入口と出口で目盛りが違うからである。

この見方に立つと、後で出てくる規則がすべて表現行列の話に吸収される。取り替えを続けたときに積になることも、恒等写像の合成として説明できる。

基底と座標は逆向きに動く

基底のベクトルを 2 倍に伸ばすと、同じ点を指すのに必要な係数は半分になる。目盛りを粗くすれば、読み取る数値は小さくなる。

<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="115" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">もとの基底</text>
	<line x1="30" y1="160" x2="210" y2="160" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="55" y1="185" x2="55" y2="50" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="55" y1="160" x2="95" y2="160" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></line>
	<polygon points="100,160 91,156 91,164" fill="#1b81e0"></polygon>
	<circle cx="175" cy="160" r="3.5" fill="#d0562a"></circle>
	<text x="70" y="178" font-size="11" fill="#1b81e0">e</text>
	<text x="160" y="146" font-size="11" fill="#d0562a">座標 3</text>
	<line x1="95" y1="168" x2="135" y2="168" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="135" y1="168" x2="175" y2="168" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<text x="340" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">基底を 2 倍にする</text>
	<line x1="255" y1="160" x2="435" y2="160" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="280" y1="185" x2="280" y2="50" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="280" y1="160" x2="360" y2="160" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></line>
	<polygon points="365,160 356,156 356,164" fill="#1b81e0"></polygon>
	<circle cx="400" cy="160" r="3.5" fill="#d0562a"></circle>
	<text x="315" y="178" font-size="11" fill="#1b81e0">2e</text>
	<text x="378" y="146" font-size="11" fill="#d0562a">座標 1.5</text>
	<text x="230" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">同じ点でも、目盛りを粗くすると読み取る数値は小さくなる</text>
</svg>

平面全体で見ると、格子の目が変わることに対応する。点は動かず、点に付ける名前だけが変わる。

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="22" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">同じ点に、2 通りの座標がつく</text>
	<line x1="60" y1="150" x2="400" y2="150" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="150" y1="180" x2="150" y2="45" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="150" y1="150" x2="330" y2="60" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<line x1="150" y1="150" x2="290" y2="180" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<line x1="150" y1="150" x2="196" y2="127" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></line>
	<polygon points="201,124 191,124 194,131" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="150" y1="150" x2="185" y2="158" stroke="#d0562a" stroke-width="2"></line>
	<polygon points="190,159 181,161 182,154" fill="#d0562a"></polygon>
	<circle cx="288" cy="128" r="4" fill="#1f1f1f"></circle>
	<text x="200" y="118" font-size="11" fill="#1b81e0">v1</text>
	<text x="192" y="172" font-size="11" fill="#d0562a">v2</text>
	<text x="296" y="122" font-size="11" fill="#1f1f1f">同じ点</text>
	<text x="230" y="190" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">格子の目が変わるだけで、点そのものは動かない</text>
</svg>

点を動かす操作とは別物である

基底の取り替えでは、空間の点は 1 つも動かない。動くのは、点に付けた座標という名前だけである。

線形写像を施す操作とは向きが逆になる。$P$ を座標に掛ける計算だけを見ると同じ形だが、意味していることが違う。

同じ行列が、写像の表現行列としても変換行列としても現れる。どちらの意味で使っているのかを、そのつど区別しておく。

変換行列は必ず正則である

$P$ には逆行列が必ず存在する。新しい組が基底であることと、$P$ が正則であることが同値だからである。

行列式が 0 なら、新しい組のどれかが他の一次結合になっている。それでは全体を張れないので、基底になれない。

逆に $P$ が正則なら、逆向きの取り替えも同じ形で書ける。$P^{-1}$ が $B^{\prime }$ から $B$ への変換行列になる。

例：正則でない組は基底にならない

$(1,2)$ と $(2,4)$ を新しい基底にしようとする。並べた行列の行列式は $1\times 4-2\times 2=0$ である。

第 2 のベクトルが第 1 の 2 倍なので、この 2 本では平面を張れない。座標が決まらない点が出てしまう。

変換行列を作る前に行列式を確かめれば、この種の取り違えは防げる。

2 つの基底がどちらも標準でない場合

新しい基底を古い基底で表す作業が必要になる。列ごとに連立方程式を解くか、標準基底を経由すればよい。

標準基底から $B$ への行列を $Q$、標準基底から $C$ への行列を $R$ とする。すると $B$ から $C$ への変換行列は $Q^{-1}R$ になる。

いったん標準基底へ戻してから進む、と読める。手計算では、この経由のほうが速いことが多い。

例：2 つの基底の間の変換行列を作る

$B=\{(1,1),(1,-1)\}$ と $C=\{(2,0),(0,2)\}$ を取る。$C$ の各ベクトルを $B$ で表す。

$(2,0)$ は $(1,1)+(1,-1)$ である。$(0,2)$ は $(1,1)-(1,-1)$ になる。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

$C$ での座標が $(1,1)$ の点は、$B$ では $P(1,1)=(2,0)$ である。実際にどちらの式で計算しても、点は $(2,2)$ になる。

取り替えを続けると積になる

基底を $B$ から $B^{\prime }$ へ、さらに $B^{\prime \prime }$ へ取り替える。それぞれの変換行列を $P$、$Q$ とする。

このとき $B$ から $B^{\prime \prime }$ への変換行列は $PQ$ である。座標のほうは $P^{-1}$ と $Q^{-1}$ を順に掛けることになる。

順序を取り違えると別の行列になる。行列の積は交換できないので、どちらの取り替えが先かをはっきりさせておく。

逆向きの取り替えは逆行列

$B$ から $B^{\prime }$ への変換行列が $P$ なら、$B^{\prime }$ から $B$ へは $P^{-1}$ である。往復すれば単位行列に戻る。

これは前節の規則の特別な場合でもある。$B$ から $B^{\prime }$ へ行って戻れば、基底は変わっていない。

例：往復すると単位行列に戻る

先ほどの $P=(1,1;1,-1)$ を 2 乗すると $(2,0;0,2)$ になる。したがって $P^{-1}=P/2$ である。

$P$ と $P^{-1}$ を掛ければ単位行列である。座標の側で見ると、変換して戻せば元の数値に戻るということになる。

正規直交基底どうしなら直交行列になる

どちらの基底も正規直交なら、変換行列は直交行列になる。列が正規直交ベクトルそのものだからである。

このとき逆行列を求める必要がない。転置を取るだけで、逆向きの変換行列が手に入る。

長さと角度が保たれるので、座標を取り替えても内積の値は変わらない。直交座標系を回すだけの操作にあたる。

例：直交行列になる取り替え

先ほどの 2 本を長さ 1 にそろえる。

$$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

各列の長さは 1 で、2 列は直交している。$P^{\top }P$ を計算すると単位行列になる。

正規化する前の $P$ は直交行列ではない。列の長さが $\sqrt{2}$ なので、逆行列は転置と一致しない。

多項式の空間でも同じ手順が使える

数ベクトル空間でなくても、基底さえあれば同じ話になる。2 次以下の多項式の空間で、$\{1,x,x^2\}$ から $\{1,x-1,(x-1{)}^2\}$ へ取り替えてみる。

新しい基底を古い基底で表すと、$(x-1{)}^2=1-2x+x^2$ などとなる。係数を列に並べる。

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

上三角で対角成分が 1 なので、行列式は 1 である。正則なので、新しい組もきちんと基底になっている。

例：x の多項式を x-1 の多項式に書き直す

$p(x)=x^2$ の新しい座標を求める。古い座標は $(0,0,1)$ である。

$P^{-1}$ を計算すると、対角の上の符号が変わって $(1,1,1;0,1,2;0,0,1)$ になる。これを掛けると新しい座標は $(1,2,1)$ である。

$$x^2=1+2(x-1)+(x-1{)}^2$$

右辺を展開すれば $x^2$ に戻る。テイラー展開で中心をずらす操作が、基底の取り替えとして書けている。

表現行列の変わり方

線形写像の表現行列も、基底を取り替えると変わる。$B$ での表現行列を $A$、$B^{\prime }$ での表現行列を $A^{\prime }$ とすると次の関係になる。

$$A^{\prime }=P^{-1}AP$$

右から $P$ で座標を古いほうへ直し、$A$ で写し、$P^{-1}$ で新しいほうへ戻す、という 3 段階である。

この形の関係を相似という。同じ写像を別の基底で見ているだけなので、固有値や行列式のように基底によらない量は変わらない。

他の話題とのつながり

表現行列の作り方そのものは、線形写像の表現行列の記事で扱う。基底を選ぶと写像が行列になる、という対応がそちらの主題である。

相似な行列の性質や、どの不変量が保たれるかは相似の記事にある。対角化は、表現行列がいちばん簡単になる基底を探す操作だと読める。

正規直交基底へ取り替える手続きは、グラム・シュミットの正規直交化である。そこで作った基底なら、変換行列は直交行列になる。

よくある誤り

参考文献