二次形式と標準形

二次形式は、変数の二次の項からなる斉次多項式である。行列と密接に関係し、その標準形への変換は分類や最適化において重要な役割を果たす。

二次形式の定義

$n$ 変数の二次形式とは、次の形の関数である。

$$Q(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

係数を対称にとれば（$a_{ij}=a_{ji}$）、対称行列 $A=(a_{ij})$ を用いて

$$Q(x)=x^{T}Ax$$

と表せる。この $A$ を二次形式 $Q$ の行列と呼ぶ。

二次形式の分類

実対称行列 $A$ に対して、二次形式 $Q(x)=x^{T}Ax$ は固有値の符号によって分類される。

標準形への変換

適当な正則行列 $P$ による変数変換 $x=Py$ を行うと、二次形式は

$$Q(x)=(Py{)}^{T}A(Py)=y^T(P^{T}AP)y$$

となる。$P^{T}AP$ が対角行列になるように $P$ を選べば、二次形式は標準形になる。

$$Q={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$$

$A$ が対称行列なら、直交行列 $P$ で対角化でき、${\lambda }_i$ は $A$ の固有値である。

シルベスターの慣性法則

二次形式を標準形に変換したとき、正の係数の個数、負の係数の個数、零の係数の個数は、変換の仕方によらず一定である。これらを符号数と呼び、二次形式の不変量となる。

正の個数を $p$、負の個数を $q$ とすると、$(p,q)$ を二次形式の符号指数という。$p+q$ がランクに等しく、$p-q$ を符号と呼ぶこともある。

具体例

$Q(x,y)=x^2+4xy+3y^2$ を標準形に変換する。対応する行列は

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$$

固有値は $2\pm \sqrt{5}$ であり、一方が正、一方が負なので不定値二次形式である。標準形は

$$Q=(2+\sqrt{5})u^2+(2-\sqrt{5})v^2$$

となる。ここで $(u,v)$ は固有ベクトル方向の座標である。