二次形式と標準形｜合同変換・平方完成・シルヴェスターの慣性法則

二次の項だけでできた多項式が二次形式です。対称行列 $A$ を使えば、どれも同じ 1 行で書けます。

$$q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x}$$

変数を取り替えると $A$ は $P^{\top }AP$ へ移ります。うまく取り替えて交差項を消し、平方の和だけにしたものが標準形です。

標準形の係数そのものは取り替え方で変わります。それでも符号の個数だけは動かない、というのがこの話の中心になります。

二次形式の定義

$n$ 変数の実数係数の多項式で、どの項も次数がちょうど 2 のものを二次形式といいます。

$$q(x,y)=5x^2-4xy+5y^2$$

対称行列を持ってくれば、行列の積として書けます。対角成分に平方の係数を、非対角成分に交差項の係数の半分を置きます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 5\end{array}\right)$$

半分にするのは、$xy$ の項が $a_{12}$ と $a_{21}$ の 2 か所から出てくるためです。両方を足すと交差項の係数に戻ります。

対称行列はただ 1 つに決まる

${\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x}$ の $A$ は、対称でなくてもかまいません。ところが対称なものに限れば、$q$ を決める行列は 1 つに定まります。

理由は 2 つあります。まず ${\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x}$ は $1\times 1$ 行列、つまり数なので、転置しても値が変わりません。

$${\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x}=({\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x}{)}^{\top }={\mathbf{x}}^{\top }{A}^{\top }\mathbf{x}$$

そこで $A$ とその転置の平均を取れば、値を変えずに対称な行列へ差し替えられます。$A$ の交代部分は二次形式に何も残しません。

$$q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\top }\frac{A+A^{\top }}{2}\mathbf{x}$$

次に一意性です。対称行列 $S$ がすべての $\mathbf{x}$ で ${\mathbf{x}}^{\top }S\mathbf{x}=0$ を満たすとします。

$\mathbf{x}$ に基本ベクトル ${\mathbf{e}}_i$ を入れると $s_{ii}=0$、${\mathbf{e}}_i+{\mathbf{e}}_j$ を入れると $2s_{ij}=0$ が出ます。つまり $S$ は零行列です。

2 つの対称行列が同じ二次形式を与えるなら、差を取ってこの議論に持ち込めます。したがって対称な表し方は 1 通りしかありません。

例：多項式と行列を行き来する

3 変数で書き下します。

$$q(x,y,z)=x^2+3y^2-z^2+4xy-6yz$$

対角には平方の係数 $1,3,-1$ が並びます。交差項は $xy$ が $4$、$yz$ が $-6$、$xz$ が $0$ です。

半分にして対称な位置へ置きます。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& -3\\ 0& -3& -1\end{array}\right)$$

逆向きに読むときは、対角成分をそのまま、非対角成分を 2 倍して交差項にします。行き来のたびに半分と 2 倍を取り違えないよう気をつけます。

変数を取り替えると合同変換になる

新しい変数 $\mathbf{y}$ を、正則行列 $P$ で $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ と結びます。二次形式に代入します。

$$q=(P\mathbf{y}{)}^{\top }A(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{\top }(P^{\top }AP)\mathbf{y}$$

新しい座標での行列は $P^{\top }AP$ です。この形の移り変わりを合同変換といい、$A$ と $P^{\top }AP$ は合同であるといいます。

$P^{\top }AP$ が対称であることも確かめられます。転置を取ると順序が逆転しますが、$A$ が対称なので元の式に戻ります。

$$(P^{\top }AP{)}^{\top }=P^{\top }{A}^{\top }P=P^{\top }AP$$

対称性は合同変換で壊れません。座標を取り替えても、相手はやはり二次形式です。

合同と相似は別物

似た形をした $P^{-1}AP$ は相似で、こちらは線形写像の話でした。2 つは目的も保たれる量も違います。

固有値は合同では保たれません。あとで見るように、係数の値は取り替え方で自由に動きます。

両者が一致するのは $P$ が直交行列のときです。$P^{-1}=P^{\top }$ なので、相似変換と合同変換が同じ計算になります。

標準形とは

交差項が 1 つも残らない形、つまり平方の和だけになった形を標準形といいます。

$$q=c_1{y}_1^2+c_2{y}_2^2+\cdots +c_n{y}_n^2$$

行列の言葉でいえば、$P^{\top }AP$ を対角行列にすることです。実対称行列に対しては、この $P$ が必ず取れます。

作り方は 2 通りあります。直交行列を使う道と、平方完成で押していく道です。

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">座標を回すと、傾いた楕円が軸に揃います</text>
	<line x1="45" y1="115" x2="175" y2="115" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="110" y1="55" x2="110" y2="175" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<ellipse cx="110" cy="115" rx="52" ry="28" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1" transform="rotate(-40 110 115)"></ellipse>
	<text x="110" y="196" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">交差項がある</text>
	<line x1="200" y1="115" x2="252" y2="115" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="252,111 260,115 252,119" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="228" y="106" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">回す</text>
	<line x1="265" y1="115" x2="395" y2="115" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="330" y1="55" x2="330" y2="175" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<ellipse cx="330" cy="115" rx="52" ry="28" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></ellipse>
	<text x="330" y="196" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">平方の和だけになる</text>
</svg>

直交行列で標準形にする

実対称行列は直交行列で対角化できました。その $P$ をそのまま座標変換に使います。

$$P^{\top }AP=P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

標準形の係数は $A$ の固有値そのものです。この取り替えを主軸変換といいます。

直交行列は長さと角度を保つので、図形を回したり裏返したりするだけです。楕円が楕円のまま、軸に揃うところまで動きます。

例：主軸変換で標準形にする

最初の二次形式に戻ります。$A$ の固有値を求めます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 5\end{array}\right)$$

固有多項式は $(5-\lambda {)}^2-4$ なので、固有値は $3$ と $7$ です。固有ベクトルはそれぞれ $(1,1)$ と $(1,-1)$ になります。

長さを $1$ にそろえて列に並べれば直交行列です。標準形は固有値を係数にした形になります。

$$q=3u^2+7v^2$$

実際に確かめます。$x=(u+v)/\sqrt{2}$、$y=(u-v)/\sqrt{2}$ を代入すると $x^2+y^2=u^2+v^2$、$xy=(u^2-v^2)/2$ です。

これを $5(x^2+y^2)-4xy$ に入れると $5u^2+5v^2-2u^2+2v^2$ となり、$3u^2+7v^2$ に一致します。

平方完成で標準形にする

固有値を求めなくても標準形は作れます。中学以来の平方完成を、変数の個数だけ繰り返すだけです。

ある変数について平方をひとつくくり出し、余りを次の変数へ送る。それを順に続けます。この手順をラグランジュの方法といいます。

固有多項式を解かずに済むので、手計算では速いことが多いのが利点です。そのかわり係数は固有値になりません。

例：平方完成で標準形にする

3 変数で試します。

$$q(x,y,z)=x^2+2y^2+5z^2+2xy+4yz$$

$x$ を含む項をまとめます。$x^2+2xy=(x+y{)}^2-y^2$ です。

$$q=(x+y{)}^2+y^2+4yz+5z^2$$

次は $y$ です。$y^2+4yz=(y+2z{)}^2-4z^2$ なので、$z^2$ の係数が $1$ に変わります。

$$q=(x+y{)}^2+(y+2z{)}^2+z^2$$

$u=x+y$、$v=y+2z$、$w=z$ と置けば標準形です。この置き換えは上三角で対角成分が $1$ なので、行列式が $1$ となり正則です。

係数はすべて $1$ で、固有値とは何の関係もありません。それでも平方の和である以上、これも立派な標準形です。

例：平方の項がない場合

平方完成には出発点が要ります。平方の項が 1 つもないときは、先に作ります。

$$q(x,y)=xy$$

$x=u+v$、$y=u-v$ と置けば、差と和の積の公式で平方が現れます。

$$q=(u+v)(u-v)=u^2-v^2$$

対応する行列は非対角成分が $1/2$ の行列で、固有値は $1/2$ と $-1/2$ です。符号が 1 つずつという結果は、標準形から読んだものと一致しています。

この置き換えも正則なので、合同変換として正しく働いています。

標準形は 1 通りではない

同じ二次形式でも、取り替え方を変えれば違う係数が出ます。$5x^2-4xy+5y^2$ を平方完成で処理してみます。

$x$ でくくると $5(x^2-\frac{4}{5}xy)$ となり、平方完成すると次の形になります。

$$q=5{\left(x-\frac{2}{5}y\right)}^2+\frac{21}{5}{y}^2$$

係数は $5$ と $21/5$ です。主軸変換で出た $3$ と $7$ とはまるで違う値になりました。

どちらも正しい標準形です。標準形の係数は、二次形式だけでは決まりません。

シルヴェスターの慣性法則

それでも動かない量があります。正の係数の個数、負の係数の個数、零の係数の個数の 3 つです。

先ほどの例では、係数が $(3,7)$ でも $(5,21/5)$ でも、正が 2 個で負が 0 個という点は共通していました。これが偶然ではないという主張が、シルヴェスターの慣性法則です。

3 つの個数をまとめて符号数といいます。二次形式を分類するときの基準になる不変量です。

<svg viewBox="0 0 460 175" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">係数の値は変わっても、この 3 つの個数は動きません</text>
	<rect x="50" y="60" width="150" height="42" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.15" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="200" y="60" width="110" height="42" fill="#d0562a" fill-opacity="0.15" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="310" y="60" width="100" height="42" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="125" y="86" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">正の係数</text>
	<text x="255" y="86" font-size="12" fill="#d0562a" text-anchor="middle">負の係数</text>
	<text x="360" y="86" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">零の係数</text>
	<line x1="50" y1="116" x2="310" y2="116" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="50" y1="112" x2="50" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="310" y1="112" x2="310" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<text x="180" y="136" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">この幅が階数</text>
	<text x="230" y="164" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">正と負の個数が符号数、零でない係数の個数が階数です</text>
</svg>

慣性法則の証明

標準形の係数を正のもので割れば、係数を $+1$、$-1$、$0$ だけにできます。そのうえで正の個数を比べます。

同じ二次形式が 2 通りに書けたとします。第 1 の座標では正が $p$ 個、第 2 の座標では正が $p^{\prime }$ 個だったとしましょう。

第 1 の座標のうち、正の係数がつく変数だけを動かして得られる部分空間を $U$ と置きます。$U$ の零でない元では $q>0$ です。

第 2 の座標では、正でない係数がつく変数だけを動かした部分空間を $W$ とします。こちらの元では $q\le 0$ になります。

両方に入る零でないベクトルはありません。$q$ が正でも正でないでもある、という状況になってしまうからです。

$$\dim U+\dim W\le n$$

共通部分が原点だけなら、次元の和は全体を超えられません。$\dim U=p$、$\dim W=n-p^{\prime }$ を入れます。

$p+n-p^{\prime }\le n$ から $p\le p^{\prime }$ が出ます。第 1 と第 2 の役を入れ替えれば逆向きも出るので、$p=p^{\prime }$ です。

負の個数も同じように決まります。階数が合同変換で変わらないことを使えば、零の個数も自動的に決まります。

符号数と階数

正の個数を $p$、負の個数を $q$ と書きます。零でない係数の総数 $p+q$ が、行列 $A$ の階数です。

階数が $n$ に届いているとき、二次形式は非退化であるといいます。届かなければ退化で、$q$ が恒等的に $0$ になる方向が残ります。

$p-q$ を符号と呼ぶこともあります。どの呼び方でも、決まっているのは個数であって係数の値ではありません。

固有値の符号を数えても同じ結果になります。主軸変換では係数が固有値そのものなので、慣性法則から符号の個数が一致するためです。

例：2 通りの標準形で符号数を確かめる

先ほどの $5x^2-4xy+5y^2$ で照合します。主軸変換では係数が $3$ と $7$ でした。

平方完成では $5$ と $21/5$ です。値は違いますが、どちらも正が 2 個、負が 0 個、零が 0 個です。

符号数は一致しました。階数はどちらも $2$ で、非退化です。

係数の積が $21$ でそろっているのは別の事情によります。合同変換では行列式が $\det (P{)}^2$ 倍になり、今回はどちらの変換も行列式が $\pm 1$ だったためです。

二次曲線の形が決まる

$q(x,y)=1$ が表す図形は、符号数だけで決まります。標準形にしてしまえば見慣れた方程式になるからです。

$5x^2-4xy+5y^2=1$ は正が 2 個なので楕円です。主軸変換で $3u^2+7v^2=1$ となり、傾きが取れた形が出ます。

$xy=1$ は正と負が 1 個ずつなので双曲線です。標準形の $u^2-v^2=1$ が、まさに双曲線の方程式でした。

回転させても図形の種類は変わりません。慣性法則は、その当たり前を式の側から保証しています。

理解の確認

他の話題とのつながり

すべての係数が正になる場合が正定値です。判定の仕方は正定値行列の記事で扱い、主小行列式による方法はシルヴェスターの判定法の記事にあります。

主軸変換の土台になるのは、実対称行列が直交行列で対角化できるという定理です。スペクトル分解の記事がその主題になります。

交代行列では ${\mathbf{x}}^{\top }A\mathbf{x}$ が恒等的に $0$ でした。二次形式が対称行列だけを相手にするのは、交代部分が何も残さないからです。

複素数まで広げると、共役転置を使ったエルミート形式が対応物になります。値が実数になる点が実の二次形式と同じで、慣性法則も同じ形で成り立ちます。

よくある誤り

参考文献