二次形式と標準形｜合同変換・平方完成・シルヴェスターの慣性法則

二次の項だけでできた多項式が二次形式です。対称行列 $A$ を使えば、どれも同じ 1 行で書けます。

$q (x) = x^{⊤} A x$

変数を取り替えると $A$ は $P^{⊤} A P$ へ移ります。うまく取り替えて交差項を消し、平方の和だけにしたものが標準形です。

標準形の係数そのものは取り替え方で変わります。それでも符号の個数だけは動かない、というのがこの話の中心になります。

二次形式の定義

$n$ 変数の実数係数の多項式で、どの項も次数がちょうど 2 のものを二次形式といいます。

$q (x, y) = 5 x^{2} - 4 x y + 5 y^{2}$

対称行列を持ってくれば、行列の積として書けます。対角成分に平方の係数を、非対角成分に交差項の係数の半分を置きます。

$A = (5 - 2 - 2 5)$

半分にするのは、 $x y$ の項が $a_{12}$ と $a_{21}$ の 2 か所から出てくるためです。両方を足すと交差項の係数に戻ります。

対称行列はただ 1 つに決まる

$x^{⊤} A x$ の $A$ は、対称でなくてもかまいません。ところが対称なものに限れば、 $q$ を決める行列は 1 つに定まります。

理由は 2 つあります。まず $x^{⊤} A x$ は $1 \times 1$ 行列、つまり数なので、転置しても値が変わりません。

$x^{⊤} A x = (x^{⊤} A x)^{⊤} = x^{⊤} A^{⊤} x$

そこで $A$ とその転置の平均を取れば、値を変えずに対称な行列へ差し替えられます。 $A$ の交代部分は二次形式に何も残しません。

$q (x) = x^{⊤} \frac{A + A ^{⊤}}{2} x$

次に一意性です。対称行列 $S$ がすべての $x$ で $x^{⊤} S x = 0$ を満たすとします。

$x$ に基本ベクトル $e_{i}$ を入れると $s_{ii} = 0$ 、 $e_{i} + e_{j}$ を入れると $2 s_{ij} = 0$ が出ます。つまり $S$ は零行列です。

2 つの対称行列が同じ二次形式を与えるなら、差を取ってこの議論に持ち込めます。したがって対称な表し方は 1 通りしかありません。

例：多項式と行列を行き来する

3 変数で書き下します。

$q (x, y, z) = x^{2} + 3 y^{2} - z^{2} + 4 x y - 6 y z$

対角には平方の係数 $1, 3, - 1$ が並びます。交差項は $x y$ が $4$ 、 $y z$ が $- 6$ 、 $x z$ が $0$ です。

半分にして対称な位置へ置きます。

$A = 120 23 - 3 0 - 3 - 1$

逆向きに読むときは、対角成分をそのまま、非対角成分を 2 倍して交差項にします。行き来のたびに半分と 2 倍を取り違えないよう気をつけます。

変数を取り替えると合同変換になる

新しい変数 $y$ を、正則行列 $P$ で $x = P y$ と結びます。二次形式に代入します。

$q = (P y)^{⊤} A (P y) = y^{⊤} (P^{⊤} A P) y$

新しい座標での行列は $P^{⊤} A P$ です。この形の移り変わりを合同変換といい、 $A$ と $P^{⊤} A P$ は合同であるといいます。

$P^{⊤} A P$ が対称であることも確かめられます。転置を取ると順序が逆転しますが、 $A$ が対称なので元の式に戻ります。

$(P^{⊤} A P)^{⊤} = P^{⊤} A^{⊤} P = P^{⊤} A P$

対称性は合同変換で壊れません。座標を取り替えても、相手はやはり二次形式です。

合同と相似は別物

似た形をした $P^{- 1} A P$ は相似で、こちらは線形写像の話でした。2 つは目的も保たれる量も違います。

相似

$P^{- 1} A P$ の形。同じ線形写像を別の基底で見た関係で、固有値・行列式・トレースが保たれます

合同

$P^{⊤} A P$ の形。同じ二次形式を別の座標で見た関係で、保たれるのは階数と符号の個数です

固有値は合同では保たれません。あとで見るように、係数の値は取り替え方で自由に動きます。

両者が一致するのは $P$ が直交行列のときです。 $P^{- 1} = P^{⊤}$ なので、相似変換と合同変換が同じ計算になります。

標準形とは

交差項が 1 つも残らない形、つまり平方の和だけになった形を標準形といいます。

$q = c_{1} y_{1}^{2} + c_{2} y_{2}^{2} + \dots + c_{n} y_{n}^{2}$

行列の言葉でいえば、 $P^{⊤} A P$ を対角行列にすることです。実対称行列に対しては、この $P$ が必ず取れます。

作り方は 2 通りあります。直交行列を使う道と、平方完成で押していく道です。

HTML

CSS

JavaScript

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">座標を回すと、傾いた楕円が軸に揃います</text>
	<line x1="45" y1="115" x2="175" y2="115" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="110" y1="55" x2="110" y2="175" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<ellipse cx="110" cy="115" rx="52" ry="28" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1" transform="rotate(-40 110 115)"></ellipse>
	<text x="110" y="196" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">交差項がある</text>
	<line x1="200" y1="115" x2="252" y2="115" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="252,111 260,115 252,119" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="228" y="106" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">回す</text>
	<line x1="265" y1="115" x2="395" y2="115" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="330" y1="55" x2="330" y2="175" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<ellipse cx="330" cy="115" rx="52" ry="28" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></ellipse>
	<text x="330" y="196" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">平方の和だけになる</text>
</svg>

直交行列で標準形にする

実対称行列は直交行列で対角化できました。その $P$ をそのまま座標変換に使います。

$P^{⊤} A P = P^{- 1} A P = λ_{1} ⋱ λ_{n}$

標準形の係数は $A$ の固有値そのものです。この取り替えを主軸変換といいます。

直交行列は長さと角度を保つので、図形を回したり裏返したりするだけです。楕円が楕円のまま、軸に揃うところまで動きます。

例：主軸変換で標準形にする

最初の二次形式に戻ります。 $A$ の固有値を求めます。

$A = (5 - 2 - 2 5)$

固有多項式は $(5 - λ)^{2} - 4$ なので、固有値は $3$ と $7$ です。固有ベクトルはそれぞれ $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ になります。

長さを $1$ にそろえて列に並べれば直交行列です。標準形は固有値を係数にした形になります。

$q = 3 u^{2} + 7 v^{2}$

実際に確かめます。 $x = (u + v) / 2$ 、 $y = (u - v) / 2$ を代入すると $x^{2} + y^{2} = u^{2} + v^{2}$ 、 $x y = (u^{2} - v^{2}) /2$ です。

これを $5 (x^{2} + y^{2}) - 4 x y$ に入れると $5 u^{2} + 5 v^{2} - 2 u^{2} + 2 v^{2}$ となり、 $3 u^{2} + 7 v^{2}$ に一致します。

平方完成で標準形にする

固有値を求めなくても標準形は作れます。中学以来の平方完成を、変数の個数だけ繰り返すだけです。

ある変数について平方をひとつくくり出し、余りを次の変数へ送る。それを順に続けます。この手順をラグランジュの方法といいます。

固有多項式を解かずに済むので、手計算では速いことが多いのが利点です。そのかわり係数は固有値になりません。

例：平方完成で標準形にする

3 変数で試します。

$q (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 5 z^{2} + 2 x y + 4 y z$

$x$ を含む項をまとめます。 $x^{2} + 2 x y = (x + y)^{2} - y^{2}$ です。

$q = (x + y)^{2} + y^{2} + 4 y z + 5 z^{2}$

次は $y$ です。 $y^{2} + 4 y z = (y + 2 z)^{2} - 4 z^{2}$ なので、 $z^{2}$ の係数が $1$ に変わります。

$q = (x + y)^{2} + (y + 2 z)^{2} + z^{2}$

$u = x + y$ 、 $v = y + 2 z$ 、 $w = z$ と置けば標準形です。この置き換えは上三角で対角成分が $1$ なので、行列式が $1$ となり正則です。

係数はすべて $1$ で、固有値とは何の関係もありません。それでも平方の和である以上、これも立派な標準形です。

例：平方の項がない場合

平方完成には出発点が要ります。平方の項が 1 つもないときは、先に作ります。

$q (x, y) = x y$

$x = u + v$ 、 $y = u - v$ と置けば、差と和の積の公式で平方が現れます。

$q = (u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}$

対応する行列は非対角成分が $1/2$ の行列で、固有値は $1/2$ と $- 1/2$ です。符号が 1 つずつという結果は、標準形から読んだものと一致しています。

この置き換えも正則なので、合同変換として正しく働いています。

標準形は 1 通りではない

同じ二次形式でも、取り替え方を変えれば違う係数が出ます。 $5 x^{2} - 4 x y + 5 y^{2}$ を平方完成で処理してみます。

$x$ でくくると $5 (x^{2} - \frac{4}{5} x y)$ となり、平方完成すると次の形になります。

$q = 5 (x - \frac{2}{5} y)^{2} + \frac{21}{5} y^{2}$

係数は $5$ と $21/5$ です。主軸変換で出た $3$ と $7$ とはまるで違う値になりました。

どちらも正しい標準形です。標準形の係数は、二次形式だけでは決まりません。

シルヴェスターの慣性法則

それでも動かない量があります。正の係数の個数、負の係数の個数、零の係数の個数の 3 つです。

先ほどの例では、係数が $(3, 7)$ でも $(5, 21/5)$ でも、正が 2 個で負が 0 個という点は共通していました。これが偶然ではないという主張が、シルヴェスターの慣性法則です。

3 つの個数をまとめて符号数といいます。二次形式を分類するときの基準になる不変量です。

HTML

CSS

JavaScript

<svg viewBox="0 0 460 175" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">係数の値は変わっても、この 3 つの個数は動きません</text>
	<rect x="50" y="60" width="150" height="42" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.15" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="200" y="60" width="110" height="42" fill="#d0562a" fill-opacity="0.15" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="310" y="60" width="100" height="42" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="125" y="86" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">正の係数</text>
	<text x="255" y="86" font-size="12" fill="#d0562a" text-anchor="middle">負の係数</text>
	<text x="360" y="86" font-size="12" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">零の係数</text>
	<line x1="50" y1="116" x2="310" y2="116" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="50" y1="112" x2="50" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="310" y1="112" x2="310" y2="120" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<text x="180" y="136" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">この幅が階数</text>
	<text x="230" y="164" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">正と負の個数が符号数、零でない係数の個数が階数です</text>
</svg>

慣性法則の証明

標準形の係数を正のもので割れば、係数を $+ 1$ 、 $- 1$ 、 $0$ だけにできます。そのうえで正の個数を比べます。

同じ二次形式が 2 通りに書けたとします。第 1 の座標では正が $p$ 個、第 2 の座標では正が $p^{'}$ 個だったとしましょう。

第 1 の座標のうち、正の係数がつく変数だけを動かして得られる部分空間を $U$ と置きます。 $U$ の零でない元では $q > 0$ です。

第 2 の座標では、正でない係数がつく変数だけを動かした部分空間を $W$ とします。こちらの元では $q \leq 0$ になります。

両方に入る零でないベクトルはありません。 $q$ が正でも正でないでもある、という状況になってしまうからです。

$dim U + dim W \leq n$

共通部分が原点だけなら、次元の和は全体を超えられません。 $dim U = p$ 、 $dim W = n - p^{'}$ を入れます。

$p + n - p^{'} \leq n$ から $p \leq p^{'}$ が出ます。第 1 と第 2 の役を入れ替えれば逆向きも出るので、 $p = p^{'}$ です。

負の個数も同じように決まります。階数が合同変換で変わらないことを使えば、零の個数も自動的に決まります。

符号数と階数

正の個数を $p$ 、負の個数を $q$ と書きます。零でない係数の総数 $p + q$ が、行列 $A$ の階数です。

階数が $n$ に届いているとき、二次形式は非退化であるといいます。届かなければ退化で、 $q$ が恒等的に $0$ になる方向が残ります。

$p - q$ を符号と呼ぶこともあります。どの呼び方でも、決まっているのは個数であって係数の値ではありません。

固有値の符号を数えても同じ結果になります。主軸変換では係数が固有値そのものなので、慣性法則から符号の個数が一致するためです。

例：2 通りの標準形で符号数を確かめる

先ほどの $5 x^{2} - 4 x y + 5 y^{2}$ で照合します。主軸変換では係数が $3$ と $7$ でした。

平方完成では $5$ と $21/5$ です。値は違いますが、どちらも正が 2 個、負が 0 個、零が 0 個です。

符号数は一致しました。階数はどちらも $2$ で、非退化です。

係数の積が $21$ でそろっているのは別の事情によります。合同変換では行列式が $det (P)^{2}$ 倍になり、今回はどちらの変換も行列式が $\pm 1$ だったためです。

二次曲線の形が決まる

$q (x, y) = 1$ が表す図形は、符号数だけで決まります。標準形にしてしまえば見慣れた方程式になるからです。

符号数	q = 1 が表す図形
正 2 個	楕円
正 1 個・負 1 個	双曲線
正 1 個・零 1 個	平行な 2 直線
正 0 個	図形なし

$5 x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} = 1$ は正が 2 個なので楕円です。主軸変換で $3 u^{2} + 7 v^{2} = 1$ となり、傾きが取れた形が出ます。

$x y = 1$ は正と負が 1 個ずつなので双曲線です。標準形の $u^{2} - v^{2} = 1$ が、まさに双曲線の方程式でした。

回転させても図形の種類は変わりません。慣性法則は、その当たり前を式の側から保証しています。

理解の確認

ある二次形式を 2 通りの方法で標準形にしたところ、係数が $3, 7$ と $5, \frac{21}{5}$ になりました。矛盾していないのはなぜでしょうか。

どちらかの計算が誤っている。標準形の係数は 1 通りに決まる
標準形の係数は取り替え方で変わり、決まっているのは符号の個数だけである
係数の積が等しいので、2 つは同じ標準形とみなしてよい

__RESULT__

慣性法則が保証するのは、正の係数の個数と負の係数の個数と零の個数であって、係数の値ではありません。どちらも正が 2 個・負が 0 個なので符号数は一致しており、矛盾はありません。係数の積がそろったのは、合同変換で行列式が $det (P)^{2}$ 倍になるという別の事情によるもので、標準形が同じであることを意味しません。