双対空間と双対基底

双対空間は、ベクトル空間上の線形汎関数（スカラー値をとる線形写像）の全体がなす空間である。抽象代数や関数解析で基本的な概念であり、テンソルや微分形式の理論にもつながる。

双対空間の定義

$V$ を体 $K$ 上のベクトル空間とする。 $V$ の双対空間 $V^{*}$ は、 $V$ から $K$ への線形写像の全体である。

$V^{*} = {f : V \to K ∣ f は線形写像}$

$V^{*}$ の元を線形汎関数と呼ぶ。 $V^{*}$ 自体もベクトル空間の構造をもつ。 $(f + g) (v) = f (v) + g (v)$ 、 $(c f) (v) = c \cdot f (v)$ で和とスカラー倍を定義する。

$V$ が有限次元で、 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ を $V$ の基底とする。各 $i$ に対して、 $e_{i}^{*} \in V^{*}$ を次で定義する。

$e_{i}^{*} (e_{j}) = δ_{ij} = {10 (i = j) (i \neq = j)$

${e_{1}^{*}, \dots, e_{n}^{*}}$ は $V^{*}$ の基底となり、これを双対基底と呼ぶ。したがって $dim V^{*} = dim V$ である。

$v = \sum_{i} c_{i} e_{i} \in V$ に対して、 $e_{j}^{*} (v) = c_{j}$ となる。つまり双対基底の元は座標成分を取り出す操作に対応する。

任意の $f \in V^{*}$ は双対基底の一次結合で表せる。

$f = i = 1 \sum n f (e_{i}) e_{i}^{*}$

線形写像 $T : V \to W$ に対して、双対写像 $T^{*} : W^{*} \to V^{*}$ を次で定義する。

$(T^{*} g) (v) = g (T (v))$

ここで $g \in W^{*}$ , $v \in V$ である。 $T^{*}$ は $V$ と $W$ の間の写像を「逆向き」にしたものと見なせる。

行列表現でいえば、 $T$ の表現行列が $A$ なら、 $T^{*}$ の表現行列は $A^{T}$ （転置）である。

双対空間の双対 $V^{**} = (V^{*})^{*}$ を二重双対空間と呼ぶ。有限次元の場合、 $V$ と $V^{**}$ は自然に同型である。各 $v \in V$ に対して $ev_{v} \in V^{**}$ を

$ev_{v} (f) = f (v) (f \in V^{*})$

で定めると、 $v \mapsto ev_{v}$ は同型写像になる。この同型は基底の選び方によらない自然な同型である。

無限次元の場合、この対応は一般に同型にならず、 $V$ は $V^{**}$ の真部分空間となることがある。