双対空間と双対基底｜定義・双対写像の表現行列が転置になる理由

ベクトルを 1 つの数へ送る線形写像を線形汎関数といいます。その全体を集めたものが双対空間 $V^{\ast }$ です。

$V$ の基底を 1 つ決めると、$V^{\ast }$ にも対になる基底が決まります。条件はクロネッカーのデルタ 1 本です。

$$v_i^{\ast }(v_j)={\delta }_{ij}$$

これを双対基底といいます。もとの空間とよく似た形をしていながら、写像の向きだけが裏返り、その裏返りが行列の転置として姿を現します。

線形汎関数

$V$ をベクトル空間とします。$V$ から実数への線形写像を、$V$ 上の線形汎関数といいます。

行き先がベクトル空間ではなく数である、という点だけが違い、課される条件は線形写像のときと同じです。

$$f(u+v)=f(u)+f(v),f(cv)=cf(v)$$

線形写像の記事で見た定積分やトレースは、値が数になるので線形汎関数にあたります。一次形式や余ベクトルとも呼ばれます。

例：どんなものが線形汎関数になるか

値が数になる線形写像は、身近なところにいくつも転がっています。

どれも行き先が数なので、値どうしを足したり定数倍したりできます。この点が、次の節で $V^{\ast }$ を空間として扱える理由になります。

双対空間

$V$ 上の線形汎関数をすべて集めたものを、$V$ の双対空間といい $V^{\ast }$ と書きます。

$V^{\ast }$ には、値の側の計算で和とスカラー倍を入れます。

$$(f+g)(v)=f(v)+g(v),(cf)(v)=cf(v)$$

こう定めた $f+g$ と $cf$ が、また線形汎関数になることは確かめられます。値の側で足し算をしているだけなので、線形性はそのまま受け継がれます。

したがって $V^{\ast }$ はそれ自身がベクトル空間です。ベクトルを集めた空間ではなく、ベクトルを測る道具を集めた空間だ、と読むと見通しがよくなります。

双対基底

$V$ の基底 $B=(v_1,\dots ,v_n)$ を 1 つ固定します。各 $i$ について、次の条件を満たす線形汎関数 $v_i^{\ast }$ を考えます。

$$v_i^{\ast }(v_j)={\delta }_{ij}$$

右辺は $i=j$ のとき $1$、そうでないとき $0$ を表す記号で、クロネッカーのデルタといいます。

基底の像を決めれば線形写像はただ 1 つに定まるので、この条件で $v_i^{\ast }$ は決まります。$v_i$ にだけ $1$ を返し、他の基底ベクトルには $0$ を返す汎関数です。

こうして得た組 $B^{\ast }=(v_1^{\ast },\dots ,v_n^{\ast })$ を、$B$ の双対基底といいます。

双対基底は座標を取り出す

双対基底の正体は、座標を読む操作です。$v={\sum }_j{c}_j{v}_j$ に $v_i^{\ast }$ を当ててみます。

$$v_i^{\ast }(v)=\sum _{j=1}^n{c}_j{v}_i^{\ast }(v_j)=c_i$$

$j=i$ の項だけが残り、ほかは $0$ で消えます。つまり $v_i^{\ast }(v)$ は、$v$ の $B$ に関する第 $i$ 座標そのものです。

<svg viewBox="0 0 460 205" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">双対基底は、座標のうち 1 つだけを抜き出します</text>
	<text x="185" y="52" font-size="11" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">v の座標</text>
	<rect x="155" y="60" width="60" height="34" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="155" y="94" width="60" height="34" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.12" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></rect>
	<rect x="155" y="128" width="60" height="34" fill="#f5f5f5" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></rect>
	<text x="185" y="82" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">c<tspan font-size="9" dy="3">1</tspan></text>
	<text x="185" y="116" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">c<tspan font-size="9" dy="3">2</tspan></text>
	<text x="185" y="150" font-size="12" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">c<tspan font-size="9" dy="3">3</tspan></text>
	<text x="62" y="116" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">v<tspan font-size="9" dy="3">2</tspan><tspan font-size="10" dy="-8">*</tspan></text>
	<line x1="85" y1="111" x2="142" y2="111" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="142,107 150,111 142,115" fill="#1b81e0"></polygon>
	<line x1="220" y1="111" x2="292" y2="111" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="292,107 300,111 292,115" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="330" y="116" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">c<tspan font-size="9" dy="3">2</tspan></text>
	<text x="230" y="192" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">基底を決めた時点で、座標を読む操作そのものが道具として手に入っています</text>
</svg>

基底を決めた時点で座標という仕組みが手に入りましたが、その座標を取り出す操作こそが $V^{\ast }$ の元だった、というのがこの節の中身です。

双対基底が基底になる理由

$B^{\ast }$ が $V^{\ast }$ の基底であることを確かめます。まず張ることを見ます。

$f\in V^{\ast }$ を任意に取ります。線形写像は基底の像で決まるので、$f(v_i)$ の値さえ分かれば $f$ は決まります。

$$f=\sum _{i=1}^{n}f(v_i)v_i^{\ast }$$

右辺を $v_j$ に当てると $f(v_j)$ が出るので、両辺は基底の上で一致します。基底の上で一致する線形写像は同じものです。

一次独立も短く済みます。${\sum }_i{a}_i{v}_i^{\ast }=0$ とおいて $v_j$ に当てると、左辺は $a_j$、右辺は $0$ です。

すべての $j$ で $a_j=0$ が出るので、$B^{\ast }$ は一次独立です。張ることと合わせて基底になります。

本数が $n$ なので $\dim V^{\ast }=\dim V$ が従います。ただしこの一致から得られる $V$ と $V^{\ast }$ の対応は、選んだ基底に寄りかかったものです。

基底を変えれば対応も変わってしまうので、$V$ と $V^{\ast }$ を無条件に同じものとは見なせません。この点はあとでもう一度扱います。

例：3 次元で双対基底を書き下す

${\mathbb{R}}^3$ に次の基底を入れます。

$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$

$x=(x_1,x_2,x_3)$ を $c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3$ と書くと、成分ごとに $x_3=c_3$、$x_2=c_2+c_3$、$x_1=c_1+c_2+c_3$ という関係が出ます。

下から順に解けば $c_3=x_3$、$c_2=x_2-x_3$、$c_1=x_1-x_2$ です。これがそのまま双対基底になります。

$$v_1^{\ast }(x)=x_1-x_2,v_2^{\ast }(x)=x_2-x_3,v_3^{\ast }(x)=x_3$$

検算します。$v_1^{\ast }(v_1)=1-0=1$、$v_1^{\ast }(v_2)=1-1=0$、$v_1^{\ast }(v_3)=1-1=0$ で、条件を満たしています。

標準基底のときと違い、$v_i^{\ast }$ は第 $i$ 成分をそのまま返しません。基底が傾けば、座標を読む式のほうも傾きます。

例：多項式の空間の双対基底

2 次以下の多項式の空間 $P_2$ に、基底 $(1,x,x^2)$ を入れます。$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$ の座標は係数そのものでした。

双対基底は、その係数を取り出す汎関数です。$p$ に対して $a_0$、$a_1$、$a_2$ をそれぞれ返します。

微分を使えば、見なれた式に書き直せます。$a_0=p(0)$、$a_1=p^{\prime }(0)$、$a_2=p^{\prime \prime }(0)/2$ だからです。

$$v_1^{\ast }(p)=p(0),v_2^{\ast }(p)=p^{\prime }(0),v_3^{\ast }(p)=\frac{p^{\prime \prime }(0)}{2}$$

テイラー展開の係数を取り出す操作が、そのまま双対基底になっていました。抽象的に定義した対象が、具体的な式で書けています。

例：汎関数を双対基底で展開する

$P_2$ の上の定積分 $I(p)={\int }_0^{1}p(x)dx$ を、いまの双対基底で表します。展開の公式は $f={\sum }_{i}f(v_i)v_i^{\ast }$ でした。

基底の各元での値を計算します。

$$I(1)=1,I(x)=\frac{1}{2},I(x^2)=\frac{1}{3}$$

この 3 つがそのまま係数になります。

$$I=v_1^{\ast }+\frac{1}{2}{v}_2^{\ast }+\frac{1}{3}{v}_3^{\ast }$$

確かめます。$p=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$ に当てると右辺は $a_0+a_1/2+a_2/3$ で、実際に積分した値と一致します。

積分という操作が、$V^{\ast }$ の中では 3 つの数の組として書けました。汎関数もまた座標を持つ、ということです。

行ベクトルとして見る

$V={\mathbb{R}}^n$ で標準基底を取ると、線形汎関数の姿がはっきりします。$f$ はかならず次の形に書けます。

$$f(x)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=a^{\top }x$$

ここで $a$ は $f(e_i)=a_i$ で決まる列ベクトルです。つまり ${\mathbb{R}}^n$ の双対空間は、行ベクトル全体だと思えます。

列ベクトルが $V$ の元、行ベクトルが $V^{\ast }$ の元で、並べて掛けると数が出ます。転置がその橋渡しをしています。

標準基底の双対基底は、単位行列の各行にあたります。$e_i^{\ast }$ は第 $i$ 成分を返す操作なので、行ベクトルとしては $e_i^{\top }$ です。

基底を変えると双対基底は逆行列で動く

基底を取り替えると、双対基底も動きます。動く向きはもとの基底とは逆です。

$B$ から $B^{\prime }$ への変換行列を $P$ とします。新しい基底は $v_j^{\prime }={\sum }_i{p}_{ij}{v}_i$ でした。

新しい双対基底を $w_j={\sum }_i{q}_{ji}{v}_i^{\ast }$ と置き、条件 $w_j(v_k^{\prime })={\delta }_{jk}$ に代入します。

$$w_j(v_k^{\prime })=\sum _i{q}_{ji}{p}_{ik}=(QP{)}_{jk}$$

これがすべての $j,k$ で ${\delta }_{jk}$ に等しいので $QP=I$、つまり $Q=P^{-1}$ です。

基底が $P$ で動けば、双対基底は $P^{-1}$ で動きます。座標が逆行列で移ったのと同じ食い違いが、こちらにも顔を出しています。

汎関数の座標のほうは事情が逆です。$f$ の新しい座標は $f(v_j^{\prime })={\sum }_i{p}_{ij}f(v_i)$ なので、係数を並べたベクトルには $P^{\top }$ が掛かります。

例：基底を取り替えて確かめる

${\mathbb{R}}^2$ の標準基底から、次の基底へ移ります。

$$v_1^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),v_2^{\prime }=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

変換行列は 2 本を列に並べたもので、逆行列は行列式が $-2$ であることから求まります。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

$P^{-1}$ の各行を係数として読めば、新しい双対基底が出ます。

$$v_1^{\prime \ast }(x)=\frac{x_1+x_2}{2},v_2^{\prime \ast }(x)=\frac{x_1-x_2}{2}$$

検算すると $v_1^{\prime \ast }(v_1^{\prime })=(1+1)/2=1$、$v_1^{\prime \ast }(v_2^{\prime })=(1-1)/2=0$ となり、条件が成り立っています。

$P$ の列を並べ替えるのではなく、$P^{-1}$ の行を読むのだ、という点が肝心です。ここを取り違えると符号や係数がずれます。

双対写像は向きが逆になる

線形写像 $T:V\to W$ が与えられると、双対空間の間にも写像が誘導されます。ただし向きが裏返ります。

$$T^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$$

作り方は素直です。$W$ の上の汎関数 $g$ に対して、$T$ を先に通してから $g$ で測る操作を割り当てます。

$$(T^{\ast }g)(v)=g(Tv)$$

$T^{\ast }g$ は $V$ の上の汎関数です。$V$ のベクトルを $W$ へ運んでから測っているので、全体としては $V$ を測っていることになります。

<svg viewBox="0 0 460 200" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="230" y="24" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">ベクトルは前へ進み、測る道具は後ろへ戻ります</text>
	<text x="130" y="80" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">V</text>
	<text x="330" y="80" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">W</text>
	<line x1="150" y1="75" x2="302" y2="75" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="302,71 310,75 302,79" fill="#1b81e0"></polygon>
	<text x="226" y="66" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">T</text>
	<text x="130" y="155" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">V<tspan font-size="10" dy="-5">*</tspan></text>
	<text x="330" y="155" font-size="14" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">W<tspan font-size="10" dy="-5">*</tspan></text>
	<line x1="310" y1="150" x2="158" y2="150" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<polygon points="158,146 150,150 158,154" fill="#d0562a"></polygon>
	<text x="230" y="141" font-size="12" fill="#d0562a" text-anchor="middle">T<tspan font-size="10" dy="-5">*</tspan></text>
	<line x1="130" y1="92" x2="130" y2="132" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<line x1="330" y1="92" x2="330" y2="132" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<text x="230" y="190" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">点線は双対を取る対応です。矢印の向きだけが裏返ります</text>
</svg>

向きが裏返るのは、汎関数が測る側だからです。ベクトルが前へ運ばれるぶん、測る道具は後ろへ引き戻されます。

$T^{\ast }$ を $T$ の双対写像、または転置写像といいます。この名前の理由は次の節で見えます。

双対写像の表現行列は転置になる

$V$ の基底を $B=(v_1,\dots ,v_n)$、$W$ の基底を $C=(w_1,\dots ,w_m)$ とし、$T$ の表現行列を $A=(a_{ij})$ とします。

$$T{v}_j=\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i$$

双対基底 $C^{\ast }$ と $B^{\ast }$ に関する $T^{\ast }$ の表現行列を求めます。$T^{\ast }(w_i^{\ast })$ を $v_j$ に当ててみます。

$$(T^{\ast }{w}_i^{\ast })(v_j)=w_i^{\ast }(T{v}_j)=\sum _{k=1}^m{a}_{kj}{w}_i^{\ast }(w_k)=a_{ij}$$

前の節で見たとおり、汎関数を基底ベクトルに当てた値がその座標です。したがって $T^{\ast }{w}_i^{\ast }$ の展開は次のようになります。

$$T^{\ast }{w}_i^{\ast }=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{v}_j^{\ast }$$

表現行列は、像の座標を列に並べたものでした。第 $i$ 列に $a_{i1},\dots ,a_{in}$ が縦に並ぶので、これは $A$ の第 $i$ 行を立てたものにほかなりません。

行が列になった行列、つまり $A^{\top }$ が $T^{\ast }$ の表現行列です。転置という成分の入れ替えが、双対を取るという操作と同じ内容だった、ということになります。

例：転置になることを数値で確かめる

$T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ を次の式で定めます。

$$T(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+3x_2,x_1-x_3)$$

標準基底での表現行列は、像の座標を列に並べて得られます。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$$

$W^{\ast }$ の双対基底は、第 1 成分を返す $w_1^{\ast }$ と第 2 成分を返す $w_2^{\ast }$ です。まず $T^{\ast }{w}_1^{\ast }$ を計算します。

$(T^{\ast }{w}_1^{\ast })(x)=w_1^{\ast }(Tx)=2x_1+3x_2$ となるので、この汎関数の座標は $(2,3,0)$ です。

同じように $(T^{\ast }{w}_2^{\ast })(x)=x_1-x_3$ で、座標は $(1,0,-1)$ になります。2 本を列に並べれば $T^{\ast }$ の表現行列です。

$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

$A$ の行がそのまま列に立ちました。$3\times 2$ という型も、$A$ の $2\times 3$ をひっくり返したものになっています。

消滅部分空間

部分空間 $W\subseteq V$ に対して、$W$ の上で恒等的に $0$ になる汎関数を集めます。これを $W$ の消滅部分空間といい、$W^0$ と書きます。

$W$ を測っても何も出てこない道具の全体だ、と読めます。$W^0$ が $V^{\ast }$ の部分空間になることは、定義から直ちに出ます。

$W$ の上で $0$ になるものどうしを足しても定数倍しても、やはり $W$ の上で $0$ のままだからです。

次元には簡単な関係があります。

$$\dim W^0=\dim V-\dim W$$

証明には次元定理を使います。$V^{\ast }$ から $W^{\ast }$ への写像を、$f$ にその $W$ への制限を対応させることで作ります。

この写像は全射です。$W$ の基底を $V$ の基底まで延長しておけば、$W$ の上で与えられた汎関数を $V$ 全体へ広げられるからです。

核のほうは定義そのままで $W^0$ になります。次元定理から $\dim V^{\ast }=\dim W^{\ast }+\dim W^0$ が出て、$\dim V^{\ast }=\dim V$ と $\dim W^{\ast }=\dim W$ を入れれば目的の式です。

例：平面を消す汎関数

${\mathbb{R}}^3$ の中で $x_3=0$ を満たすベクトル全体を $W$ とします。2 次元の部分空間です。

$W$ の上で $0$ になる汎関数を探します。$f(x)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3$ と置きます。

$W$ の元は $x_3=0$ なので、条件は $a_1{x}_1+a_2{x}_2=0$ がすべての $x_1,x_2$ で成り立つことです。

したがって $a_1=a_2=0$ となり、$a_3$ だけが自由に残ります。$W^0$ は $x_3$ を読む汎関数の定数倍の全体で、次元は $1$ です。

$3-2=1$ となって公式に合っています。この平面を潰してしまう汎関数は、平面から外れたぶんだけを読むものに限られる、というわけです。

理解の確認

二重双対と自然な同型

$V^{\ast }$ もベクトル空間なので、その双対 $V^{\ast \ast }$ を考えられます。これを二重双対といいます。

$V$ から $V^{\ast \ast }$ への写像は、基底を使わずに作れます。$v$ に、汎関数を受け取って $v$ での値を返す操作を対応させます。

$${\mathrm{ev}}_v(f)=f(v)$$

$v$ を固定して $f$ のほうを動かす、という読み替えです。${\mathrm{ev}}_v$ は $V^{\ast }$ の上の線形汎関数なので、$V^{\ast \ast }$ の元になります。

有限次元では $v\mapsto {\mathrm{ev}}_v$ が同型です。$v\ne 0$ なら $f(v)\ne 0$ となる $f$ が取れるので単射で、次元が等しいことから全射も従います。

大事なのは、この同型が基底を選ばずに書けている点です。

自然な同型があるおかげで、有限次元では $V$ と $V^{\ast \ast }$ を同じものだと思って差し支えありません。

無限次元では崩れる

ここまでの話は、有限次元だから成り立っています。無限次元では様子が変わります。

次数に制限をつけない多項式全体の空間では、$V^{\ast }$ の次元が $V$ の次元より真に大きくなります。基底のそれぞれに好きな値を割り当てた汎関数が、いくらでも作れるからです。

$V$ から $V^{\ast \ast }$ への写像は単射のままですが、全射になりません。$V$ は $V^{\ast \ast }$ の真の部分空間にとどまります。

無限次元で双対を扱うときは、連続性のような条件を足して集める汎関数を絞ります。関数解析はそこから始まる分野です。

他の話題とのつながり

内積を入れると、$V$ と $V^{\ast }$ の対応を基底なしに作れるようになります。ベクトル $u$ に $⟨u,\cdot ⟩$ を割り当てる仕組みで、リースの表現定理と呼ばれます。内積空間の話が済んでからの話題です。

双対写像の表現行列が転置になることは、転置の記事で見た $(Ax)\cdot y=x\cdot (A^{\top }y)$ と同じ内容です。あちらは内積で、こちらは汎関数の言葉で書いた形になっています。

微分幾何では、接ベクトルの空間の双対に住む対象を微分形式と呼びます。座標の微小変化を表す記号が、双対基底にあたります。

テンソルを扱うときは、$V$ の元と $V^{\ast }$ の元を区別して数えます。反変と共変という呼び分けは、基底を変えたときにどちらの向きへ動くかの違いです。

よくある誤り

参考文献