行列の積を手で計算する（型の確認から非可換の実例まで）

計算を始める前に型を見る。 $A$ が $m \times r$ 、 $B$ が $r \times n$ なら積は $m \times n$ になる^[3]。

内側の $r$ がそろっていないと積は定義されない。外側の $m$ と $n$ が答えの型を決める。

$(m \times r) (r \times n) ⟶ m \times n$

$(i, j)$ 成分は、 $A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列を掛けて足したものである。

$(A B)_{ij} = k = 1 \sum r a_{ik} b_{k j}$

以下 13 問。型の確認、 $2$ 次と $3$ 次の計算、非可換の実例、零因子まで並べた。

問題 1

次の積 $A B$ を求めよ。

$A = (1324), B = (5768)$

$(1, 1)$ 成分は $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ 、 $(1, 2)$ 成分は $1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$ 。

$(2, 1)$ 成分は $3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$ 、 $(2, 2)$ 成分は $3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$ 。

$A B = (19432250)$

問題 2

$A = (100123), B = 135246$

$A$ は $2 \times 3$ 、 $B$ は $3 \times 2$ 。内側が $3$ でそろうので、積は $2 \times 2$ になる^[2]。

$(1, 1) = 1 + 0 + 10 = 11$ 、 $(1, 2) = 2 + 0 + 12 = 14$ 、 $(2, 1) = 0 + 3 + 15 = 18$ 、 $(2, 2) = 0 + 4 + 18 = 22$ 。

$A B = (11181422)$

問題 3

同じ $A$ 、 $B$ で $B A$ を求めよ。

$B$ が $3 \times 2$ 、 $A$ が $2 \times 3$ なので、積は $3 \times 3$ 。 $A B$ と型からして違う。

$B A = 13524681828$

$A B$ が $2 \times 2$ 、 $B A$ が $3 \times 3$ 。順番を変えると、値どころか大きさが変わる例である。

問題 4

$A B$ と $B A$ をそれぞれ求め、一致しないことを確かめよ。

$A = (1021), B = (1301)$

$A B$ は $(1, 1) = 1 + 6 = 7$ 、 $(1, 2) = 0 + 2 = 2$ 、 $(2, 1) = 0 + 3 = 3$ 、 $(2, 2) = 0 + 1 = 1$ 。

$A B = (7321), B A = (1327)$

型は同じ $2 \times 2$ だが、中身が違う。行列の積が非可換だという典型例である^[1]。

問題 5

行列とベクトルの積を求めよ。

$A = (21 - 1 3), x = (31)$

$2 \times 2$ と $2 \times 1$ なので、答えは $2 \times 1$ 。

$(1) = 2 \cdot 3 + (- 1) \cdot 1 = 5$ 、 $(2) = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6$ で $A x = (5, 6)^{T}$ である。

列ベクトルは $n \times 1$ の行列として扱う。だから右から掛ける。

問題 6

$3 \times 4$ と $4 \times 2$ 、 $4 \times 2$ と $3 \times 4$ について、積が作れるかを答えよ。

$3 \times 4$ と $4 \times 2$ は、内側が $4$ でそろう。積は $3 \times 2$ になる。

$4 \times 2$ と $3 \times 4$ は、内側が $2$ と $3$ で合わない。この順では積が作れない。

型を見るだけで、計算する前に判断できる^[3]。

問題 7

$A I = I A = A$ を確かめよ。

$A = (1324), I = (1001)$

$A I$ の $(1, 1)$ 成分は $1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1$ 。同じように計算すると、すべての成分が $A$ と同じになる。

$I A$ も同様。単位行列は掛ける順番によらず、相手をそのまま返す。

問題 8

次の積を計算し、 $A B = O$ になることを確かめよ。

$A = (1111), B = (1 - 1 - 1 1)$

$(1, 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$ 、 $(1, 2) = 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 = 0$ 。第 2 行も同じ計算で $0$ になる。

$A B = (0000)$

$A \neq = O$ 、 $B \neq = O$ なのに積が零行列。数では起こらないことが、行列では起こる。

実数の掛け算

$ab = 0$ なら $a = 0$ か $b = 0$ のどちらか。約分ができる

行列の積

$A B = O$ でも $A \neq = O$ 、 $B \neq = O$ がありうる。両辺から $A$ を消せない

問題 9

対角行列を左から掛けた場合と右から掛けた場合を比べよ。

$D = (2003), A = (1324)$

$D A$ では第 1 行が $2$ 倍、第 2 行が $3$ 倍される。

$D A = (29412), A D = (26612)$

$A D$ では列が倍される。左から掛ければ行、右から掛ければ列。この見分けは実務でよく使う。

問題 10

$3$ 次の積 $A B$ を求めよ。

$A = 120011101, B = 101110011$

第 1 行 $(1, 0, 1)$ と $B$ の各列を掛ける。 $(1 + 0 + 1, 1 + 0 + 0, 0 + 0 + 1) = (2, 1, 1)$ 。

第 2 行 $(2, 1, 0)$ では $(2, 3, 1)$ 、第 3 行 $(0, 1, 1)$ では $(1, 1, 2)$ 。

$A B = 221131112$

問題 11

$A^{2}$ 、 $A^{3}$ を求め、 $A^{n}$ を推測せよ。

$A = (1011)$

2 乗と 3 乗を順に計算する。

$A^{2} = (1021), A^{3} = (1031)$

右上だけが $1$ ずつ増える。 $A^{n}$ の右上は $n$ である。

$A^{n} = (10 n 1)$

帰納法で示せる。 $A^{n} = A^{n - 1} A$ を計算すると、右上が $(n - 1) + 1 = n$ になる。

問題 12

$(A B) C = A (B C)$ を確かめよ。

$A = (1011), B = (1101), C = (2003)$

まず左から。 $A B$ を出してから $C$ を掛ける。

$A B = (2111), (A B) C = (4233)$

次に右から。 $B C$ を出してから $A$ を掛ける。

$B C = (2203), A (B C) = (4233)$

一致した。積は非可換だが結合的である^[1]。括弧の付け替えは自由にできる。

問題 13

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ を、問題 1 の $A$ 、 $B$ で確かめよ。

問題 1 の答えを転置する。

$(A B)^{T} = (19224350)$

$B^{T} A^{T}$ を計算すると $(1, 1) = 5 \cdot 1 + 7 \cdot 2 = 19$ 、 $(1, 2) = 5 \cdot 3 + 7 \cdot 4 = 43$ 。残りも合う。

順番が入れ替わる点が要点である。 $A^{T} B^{T}$ では一致しない。

型を確かめる

行と列を順に掛けて足す

一致する成分に書き込む

よくあるミス

型を確かめずに計算を始める。内側がそろわなければ、積そのものが存在しません。

A B

を出したあと

B A

も同じだと思う。値が違うことも、型が違うこともあります。

成分ごとに掛け算する。

(A B)_{ij} = a_{ij} b_{ij}

ではありません。これはアダマール積という別の演算です。

A B = O

から

A = O

または

B = O

と結論する。行列では零因子が存在します。

A B = A C

から

B = C

と約分する。

A

が正則でないと通りません。

転置で順番を変えない。

(A B)^{T} = B^{T} A^{T}

です。

$4 \times 3$ 行列と $3 \times 5$ 行列の積は、どんな型になりますか。

$4 \times 5$
$3 \times 3$
定義されない

__RESULT__

内側の $3$ がそろっているので積が作れます。外側の $4$ と $5$ が残り、 $4 \times 5$ になります。逆順の $3 \times 5$ と $4 \times 3$ では内側が $5$ と $4$ で合わず、こちらは作れません。

非可換の意味も確かめる。

$A B = O$ かつ $A \neq = O$ のとき、 $B$ について言えるのはどれですか。

必ず $B = O$
$B \neq = O$ でもよい
$B$ は正則

__RESULT__

問題 8 のように、どちらも零行列でないのに積が零になる場合があります。ただし $A$ が正則なら、両辺に $A^{- 1}$ を掛けて $B = O$ が出ます。

型を見て、行と列を掛けて足す。手順そのものは短い。順番と型でつまずくことが多いので、そこだけ先に確かめる習慣をつけると計算が速くなる。

出典

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 1. Brown University.

Andreas Gathmann. *Lineare Abbildungen als Matrizen*. Grundlagen der Mathematik, RPTU Kaiserslautern.

*Matrix Multiplication*. Linear Algebra and Its Application, LibreTexts.

計算より先に型を見ます。$m \times r$ と $r \times n$ で内側がそろえば積が作れ、外側が答えの型になる。$2 \times 3$ と $3 \times 2$ では $AB$ が $2 \times 2$、$BA$ が $3 \times 3$ で、大きさからして違います。13 問で、$2$ 次と $3$ 次の計算、行列とベクトルの積、対角行列を左右から掛けたときの違い、$A \neq O$ かつ $B \neq O$ なのに $AB = O$ になる例、$A^n$ の推測、結合法則と $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$ の確認まで。成分ごとの掛け算と混同しやすい点も並べました。