行列の積の計算練習

行列の積は、左の行列の行と右の行列の列の内積を並べたものである。計算ミスを防ぐには、成分を一つずつ丁寧に求めることが大切である。

問題1

次の行列の積 $A B$ を計算せよ。

$A = (1324), B = (5768)$

解答

$(1, 1)$ 成分は $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ 、 $(1, 2)$ 成分は $1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$ 、 $(2, 1)$ 成分は $3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$ 、 $(2, 2)$ 成分は $3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$ である。

答え

$A B = 0$

問題2

次の行列の積 $A B$ を計算せよ。

$A = (100123), B = 135246$

解答

$A$ は $2 \times 3$ 、 $B$ は $3 \times 2$ なので、積は $2 \times 2$ 行列になる。 $(1, 1)$ 成分は $1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 11$ 、 $(1, 2)$ 成分は $1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 6 = 14$ 、 $(2, 1)$ 成分は $0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 18$ 、 $(2, 2)$ 成分は $0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot 6 = 22$ である。

答え

$A B = 0$

問題3

次の行列の積 $A B$ と $B A$ をそれぞれ計算し、 $A B \neq = B A$ であることを確認せよ。

$A = (1021), B = (1301)$

解答

$A B$ を計算すると、 $(1, 1)$ 成分は $1 + 6 = 7$ 、 $(1, 2)$ 成分は $0 + 2 = 2$ 、 $(2, 1)$ 成分は $0 + 3 = 3$ 、 $(2, 2)$ 成分は $0 + 1 = 1$ である。 $B A$ を計算すると、 $(1, 1)$ 成分は $1 + 0 = 1$ 、 $(1, 2)$ 成分は $2 + 0 = 2$ 、 $(2, 1)$ 成分は $3 + 0 = 3$ 、 $(2, 2)$ 成分は $6 + 1 = 7$ である。

答え

$A B = 0$ , $B A = 1$

行列の積は一般に非可換であり、 $A B = B A$ となるのは特別な場合に限る。