行列の積を手で計算する（型の確認から非可換の実例まで）

計算を始める前に型を見る。$A$ が $m\times r$、$B$ が $r\times n$ なら積は $m\times n$ になる^[3]。

内側の $r$ がそろっていないと積は定義されない。外側の $m$ と $n$ が答えの型を決める。

$$(m\times r)(r\times n)⟶m\times n$$

$(i,j)$ 成分は、$A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列を掛けて足したものである。

$$(AB{)}_{ij}=\sum _{k=1}^r{a}_{ik}{b}_{kj}$$

以下 13 問。型の確認、$2$ 次と $3$ 次の計算、非可換の実例、零因子まで並べた。

問題 1

次の積 $AB$ を求めよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$

$(1,1)$ 成分は $1\cdot 5+2\cdot 7=19$、$(1,2)$ 成分は $1\cdot 6+2\cdot 8=22$。

$(2,1)$ 成分は $3\cdot 5+4\cdot 7=43$、$(2,2)$ 成分は $3\cdot 6+4\cdot 8=50$。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$$

問題 2

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$

$A$ は $2\times 3$、$B$ は $3\times 2$。内側が $3$ でそろうので、積は $2\times 2$ になる^[2]。

$(1,1)=1+0+10=11$、$(1,2)=2+0+12=14$、$(2,1)=0+3+15=18$、$(2,2)=0+4+18=22$。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}11& 14\\ 18& 22\end{array}\right)$$

問題 3

同じ $A$、$B$ で $BA$ を求めよ。

$B$ が $3\times 2$、$A$ が $2\times 3$ なので、積は $3\times 3$。$AB$ と型からして違う。

$$BA=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 8\\ 3& 4& 18\\ 5& 6& 28\end{array}\right)$$

$AB$ が $2\times 2$、$BA$ が $3\times 3$。順番を変えると、値どころか大きさが変わる例である。

問題 4

$AB$ と $BA$ をそれぞれ求め、一致しないことを確かめよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$$

$AB$ は $(1,1)=1+6=7$、$(1,2)=0+2=2$、$(2,1)=0+3=3$、$(2,2)=0+1=1$。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& 1\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)$$

型は同じ $2\times 2$ だが、中身が違う。行列の積が非可換だという典型例である^[1]。

問題 5

行列とベクトルの積を求めよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$$

$2\times 2$ と $2\times 1$ なので、答えは $2\times 1$。

$(1)=2\cdot 3+(-1)\cdot 1=5$、$(2)=1\cdot 3+3\cdot 1=6$ で $A\mathbf{x}=(5,6{)}^{\mathsf{T}}$ である。

列ベクトルは $n\times 1$ の行列として扱う。だから右から掛ける。

問題 6

$3\times 4$ と $4\times 2$、$4\times 2$ と $3\times 4$ について、積が作れるかを答えよ。

$3\times 4$ と $4\times 2$ は、内側が $4$ でそろう。積は $3\times 2$ になる。

$4\times 2$ と $3\times 4$ は、内側が $2$ と $3$ で合わない。この順では積が作れない。

型を見るだけで、計算する前に判断できる^[3]。

問題 7

$AI=IA=A$ を確かめよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

$AI$ の $(1,1)$ 成分は $1\cdot 1+2\cdot 0=1$。同じように計算すると、すべての成分が $A$ と同じになる。

$IA$ も同様。単位行列は掛ける順番によらず、相手をそのまま返す。

問題 8

次の積を計算し、$AB=O$ になることを確かめよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$$

$(1,1)=1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$、$(1,2)=1\cdot (-1)+1\cdot 1=0$。第 2 行も同じ計算で $0$ になる。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$A\ne O$、$B\ne O$ なのに積が零行列。数では起こらないことが、行列では起こる。

問題 9

対角行列を左から掛けた場合と右から掛けた場合を比べよ。

$$D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

$DA$ では第 1 行が $2$ 倍、第 2 行が $3$ 倍される。

$$DA=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 9& 12\end{array}\right),AD=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 12\end{array}\right)$$

$AD$ では列が倍される。左から掛ければ行、右から掛ければ列。この見分けは実務でよく使う。

問題 10

$3$ 次の積 $AB$ を求めよ。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

第 1 行 $(1,0,1)$ と $B$ の各列を掛ける。$(1+0+1,1+0+0,0+0+1)=(2,1,1)$。

第 2 行 $(2,1,0)$ では $(2,3,1)$、第 3 行 $(0,1,1)$ では $(1,1,2)$。

$$AB=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

問題 11

$A^2$、$A^3$ を求め、$A^n$ を推測せよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

2 乗と 3 乗を順に計算する。

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$$

右上だけが $1$ ずつ増える。$A^n$ の右上は $n$ である。

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$$

帰納法で示せる。$A^n=A^{n-1}A$ を計算すると、右上が $(n-1)+1=n$ になる。

問題 12

$(AB)C=A(BC)$ を確かめよ。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

まず左から。$AB$ を出してから $C$ を掛ける。

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),(AB)C=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$$

次に右から。$BC$ を出してから $A$ を掛ける。

$$BC=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 3\end{array}\right),A(BC)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 3\end{array}\right)$$

一致した。積は非可換だが結合的である^[1]。括弧の付け替えは自由にできる。

問題 13

$(AB{)}^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}$ を、問題 1 の $A$、$B$ で確かめよ。

問題 1 の答えを転置する。

$$(AB{)}^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{cc}19& 43\\ 22& 50\end{array}\right)$$

$B^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}$ を計算すると $(1,1)=5\cdot 1+7\cdot 2=19$、$(1,2)=5\cdot 3+7\cdot 4=43$。残りも合う。

順番が入れ替わる点が要点である。$A^{\mathsf{T}}{B}^{\mathsf{T}}$ では一致しない。

よくあるミス

非可換の意味も確かめる。

型を見て、行と列を掛けて足す。手順そのものは短い。順番と型でつまずくことが多いので、そこだけ先に確かめる習慣をつけると計算が速くなる。

出典