商体からつくる関数体：有理関数体の拡大次数と超越次数

$Z$ から $Q$ を作るのと同じ手つきで、整域 $R$ からは体が 1 つ決まります。これを $R$ の商体といい、 $Frac (R)$ と書きます。

多項式環 $k [x]$ に当てると有理関数体 $k (x)$ になり、曲線や曲面の座標環に当てるとその多様体の関数体になります。

商体の構成

$R$ を整域とします。 $a \in R$ と $b \in R ∖ {0}$ の組を分数 $a / b$ と見て、次の関係で同一視します。

$\frac{a}{b} \sim \frac{c}{d} ⟺ a d = b c$

足し算と掛け算は、分数の計算そのままに決めます。

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}, \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$

整域であることは、ここで 2 か所に効きます。まず $b, d \neq = 0$ なら $b d \neq = 0$ なので、右辺の分母が使えます。

もう 1 つは推移律です。 $a d = b c$ と $c f = d e$ から $a f = b e$ を出すには、両辺に $d$ を掛けて得た $d (a f - b e) = 0$ から $d$ を消す必要があります。零因子があると、この打ち消しができません。

例：よく出る商体

整数環

$Frac (Z) = Q$ です。分数を作る操作そのものが、この例から来ています。

多項式環

$Frac (k [x]) = k (x)$ を有理関数体といいます。元は $f (x) / g (x)$ （ $g \neq = 0$ ）の形です。

ガウス整数環

$Frac (Z [i]) = Q (i)$ になります。 $Q$ に $i$ を添加した体です。

形式的冪級数環

$Frac (k [[x]]) = k ((x))$ で、有限個の負冪を許したローラン級数の体になります。

商体は局所化の特別な場合

積閉集合 $S$ による局所化 $S^{- 1} R$ で $S = R ∖ {0}$ ととると、 $S^{- 1} R = Frac (R)$ です^[1]。 $0$ 以外をすべて可逆にした、いちばん極端な局所化にあたります。

商体は普遍性でも特徴づけられます。単射環準同型 $φ : R ↪ K$ （ $K$ は体）があれば、 $φ$ は $Frac (R) \to K$ をただ 1 つ経由します^[1]。 $R$ を含む体のうち最小のもの、という言い方と同じ内容です。

素イデアル $p$ での局所化 $R_{p}$ も商体を変えません。 $Frac (R_{p}) = Frac (R)$ で、どの局所環も同じ体の中に住んでいます。

有理関数体と超越次数

$n$ 変数の多項式環の商体を $k (x_{1}, \dots, x_{n})$ と書きます。 $x_{i}$ はどれも $k$ 上の代数方程式を満たさないので、この拡大は超越拡大です。

$k (x_{1}, \dots, x_{n})$ の $k$ 上の超越次数は $n$ です。

超越次数とは、 $k$ 上代数的に独立な元を最大で何個とれるかという数です。

超越次数は体の拡大だけで決まる量で、次の節で見るとおり、多様体の次元と一致します。

多様体の関数体

$V$ を $k$ 上の既約アフィン多様体とします。 $I (V)$ が素イデアルなので座標環

$k [V] = k [x_{1}, \dots, x_{n}] / I (V)$

は整域になり、その商体 $k (V) = Frac (k [V])$ を $V$ の関数体といいます。

元は $V$ 上の有理関数です。 $V$ 全体では定義されず、分母が消える場所を除いた開集合の上で値を持ちます。

既約多様体 $V$

座標環 $k [V]$ は整域

商体 $k (V)$ が関数体

次元との関係は、可換環論の側の定理から出ます。体 $k$ 上有限生成な整域 $A$ について、 $A$ のクルル次元は $Frac (A)$ の $k$ 上の超越次数と一致します^[2]。

$dim V = tr.deg_{k} k (V)$

曲線なら超越次数 1、曲面なら 2 です。図形の次元を、体の言葉だけで測れます。

例：円の関数体は 1 変数の有理関数体

$C : x^{2} + y^{2} = 1$ をとります。点 $(- 1, 0)$ を通る傾き $t$ の直線 $y = t (x + 1)$ を円に代入すると、 $x = - 1$ ともう 1 つの交点が出ます。

$x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, y = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$

逆に $t = \frac{y}{x + 1}$ は $k (C)$ の元です。 $x$ と $y$ が $t$ の有理式で書けて、 $t$ が $x, y$ の有理式で書けるので $k (C) = k (t)$ になります。

つまり円の関数体は 1 変数の有理関数体そのもので、円は直線と双有理同値です。傾きを有理数にとれば交点の座標も有理数になるので、この図はピタゴラス数の作り方にもなっています。

例： $y^{2} = x^{3} + 1$ は 2 次拡大

$C : y^{2} = x^{3} + 1$ の座標環は $k [x, y] / (y^{2} - x^{3} - 1)$ で、関数体は $k (x)$ に $x^{3} + 1$ を添加した体です。

$k (C) = k (x) (x^{3} + 1), [k (C) : k (x)] = 2$

$x^{3} + 1$ は $k (x)$ の中で平方になりません。次数が奇数で、しかも重根を持たないためです。

円と違って、この曲線には有理式によるパラメータ表示がありません。 $k (C)$ は $k (t)$ と同型にならず、曲線は直線と双有理同値ではない、ということです。

支配的射は関数体の拡大になる

既約多様体の間の射 $φ : V \to W$ が支配的（像が $W$ で稠密）なら、座標環の間に単射 $k [W] ↪ k [V]$ が誘導され、商体をとって $k (W) ↪ k (V)$ が決まります。

向きが逆になるところが大事です。図形は $V$ から $W$ へ、体は $k (W)$ から $k (V)$ へ入ります。

多様体の側

射 $φ : V \to W$ が図形どうしの関係を表す。ファイバーの形や次元の変化が目に見える

関数体の側

拡大 $k (W) ↪ k (V)$ が体どうしの関係を表す。拡大次数や分岐が計算で出せる

この対応は、既約多様体と双有理写像の圏と、 $k$ 上有限生成な体拡大の圏との間の反変同値として述べられます。幾何の問題を体の拡大の問題に移して考えられる、という意味です。

拡大次数はファイバーの点の個数

$[k (V) : k (W)] = d$ が有限のとき、 $W$ の一般の点のファイバーは $d$ 個の点になります。ただしこれは拡大が分離的な場合の話で、標数 $0$ なら自動的に満たされます。

いちばん小さい例が $u = x^{2}$ です。 $k (u) \subset k (x)$ は 2 次拡大で、 $u = a \neq = 0$ の上には $x = \pm a$ の 2 点があります。

原点の上だけ様子が違います。 $u = 0$ の上には $x = 0$ の 1 点しかなく、 $v_{0} (u) = v_{0} (x^{2}) = 2$ なので、この点の分岐指数は $e = 2$ です。

分岐と離散付値

滑らかな射影曲線 $C$ の閉点 $P$ ごとに、離散付値 $v_{P} : k (C)^{\times} \to Z$ が決まります。 $v_{P} (f)$ は $f$ の $P$ での零点の位数で、極なら負の値になります。

この仕組みは $Q$ の $p$ 進付値と同じ形をしています。

数体

Q

素数 $p$ ごとに $v_{p}$ が決まる。付値環は $Z_{(p)}$ で、 $v_{p} (a / b) = v_{p} (a) - v_{p} (b)$

関数体

k (C)

閉点 $P$ ごとに $v_{P}$ が決まる。付値環は局所環 $O_{C, P}$ で、 $v_{P}$ は零点と極の位数を測る

拡大 $k (C^{'}) / k (C)$ では、 $P$ の上にある点 $Q$ について $v_{Q} (f) = e_{Q} \cdot v_{P} (f)$ が成り立ち、 $e_{Q}$ を分岐指数といいます。 $e_{Q} > 1$ の点が分岐点で、上の $u = x^{2}$ なら原点がそれにあたります。

$k (x)$ の自己同型は 1 次分数変換だけ

$k (x)$ の $k$ -自己同型は、 $x$ を $k (x)$ の生成元へ移すものに限られます。生成元は $\frac{a x + b}{c x + d}$ （ $a d - b c \neq = 0$ ）の形しかないので、自己同型群は $PGL_{2} (k)$ と同型になります。

射影直線 $P_{k}^{1}$ の自己同型群も $PGL_{2} (k)$ です。関数体の側と図形の側で、同じ群が出てきます。

リュロートの定理は、これに関係する事実を中間体の言葉で述べたものです。 $k ⊊ L \subseteq k (x)$ なる中間体はすべて $k (t)$ と同型になります。

リュロートの定理が成り立つのは1 変数のときです。

2 変数以上では、 $k (x, y)$ の中間体で純超越でないものがあります。単有理な多様体が有理的とは限らない、という事実に対応します。

局所環は関数体の中に並ぶ

$Frac (R_{p}) = Frac (R)$ なので、素イデアルごとの局所環はすべて同じ体の部分環です。関数体を固定して、その中に局所環が並んでいる、という見方ができます。

整域 $R$ の素イデアル $p$

局所環 $R_{p}$

どれも $Frac (R)$ の部分環

$R$ がネーターかつ正規なら、高さ 1 の素イデアルだけを集めて $R$ を復元できます。

$R = ht p = 1 ⋂ R_{p}$

高さ 1 の素イデアルは、幾何では余次元 1 の部分多様体にあたります。因子の理論はここから始まります。

$C : x^{2} + y^{2} = 1$ の関数体 $k (C)$ について正しいのはどれですか。

$k$ 上の超越次数は 2 である
$k (t)$ と同型で、 $k$ 上の超越次数は 1 である
$k (x)$ の 2 次拡大で、 $k (t)$ とは同型にならない

__RESULT__

$t = \frac{y}{x + 1}$ と置くと $x$ も $y$ も $t$ の有理式で書けるため、 $k (C) = k (t)$ になります。曲線なので次元は 1 で、超越次数も 1 です。2 次拡大になるのは $y^{2} = x^{3} + 1$ のような曲線のほうで、こちらは $k (t)$ と同型になりません。

整域から分数を作るという操作だけで、図形の次元も、射のファイバーの個数も、分岐の位数も体の言葉に移ります。曲線を調べるのに数体の道具が使えるのは、両方が同じ付値の形をしているからです。

参考

Nicolas Perrin. *Algèbre commutative*, §3.1（局所化と商体、普遍性）. Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines.

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*, Satz 5.4.13（クルル次元と超越次数の一致）. Universität Freiburg.

$\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Q}$ を作る手つきをそのまま整域に当てると商体になり、$k[x]$ なら有理関数体 $k(x)$、多様体の座標環なら関数体 $k(V)$ が決まります。整域であることが効くのは、分母の積が $0$ にならないところと、同値関係の推移律で打ち消しが要るところの 2 か所。円 $x^2 + y^2 = 1$ の関数体は $k(t)$ と同型で、傾きを有理数にとれば交点の座標も有理数になります。$y^2 = x^3 + 1$ のほうは $k(x)$ の 2 次拡大で、$k(t)$ とは同型になりません。多様体の次元は関数体の超越次数と一致し、支配的射の拡大次数は一般のファイバーの点の個数を表します。$u = x^2$ の分岐まで扱いました。