折れ線を細かくして測る曲線の長さ〜弧長の公式とサイクロイドの 8r

半径 $r$ の円を 1 回転ぶん転がすとき、円周上の点が描くサイクロイド 1 山の長さは $8r$ です。円の直径 $2r$ のちょうど 4 倍。

この値は 1658 年に示されました^[2]。曲線を伸ばして直線にすることはできませんが、長さは積分で測れます。

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$$

折れ線で近づける

曲線上に点をいくつかとり、となり合う点を線分で結びます。折れ線の長さは、各線分の長さの和。

線分 1 本の長さは、横に $\Delta x$、縦に $\Delta y$ 進んだ直角三角形の斜辺です。三平方の定理から $\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。

$$\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}^2}\Delta x$$

$\Delta x$ でくくり出しました。$\Delta x$ を小さくすると $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ は $\frac{dy}{dx}$ に近づき、和は積分に変わります。

点を増やすほど折れ線は曲線に沿い、長さは決まった値に近づいていく。その値を曲線の長さと呼びます。

媒介変数のときの式

$x=f(t)$、$y=g(t)$ と書かれている場合は、$\Delta x$ と $\Delta y$ を両方とも $t$ で測ります。

$dx=f^{\prime }(t)dt$、$dy=g^{\prime }(t)dt$ を入れると、$\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$ から $dt$ がくくり出せる。

$$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\{f^{\prime }(t){\}}^2+\{g^{\prime }(t){\}}^2}dt$$

$y=f(x)$ の式のほうも、$x$ 自身を媒介変数と見たものになっています。$\frac{dx}{dx}=1$ だから、根号の中の 1 つ目が $1$ になる。

例 1：直線で確かめる

$y=mx$ の $0\le x\le a$ の部分。$y^{\prime }=m$ で、根号の中は定数です。

$$L={\int }_0^a\sqrt{1+m^2}dx=a\sqrt{1+m^2}$$

横に $a$、縦に $ma$ 進んだ線分の長さ $\sqrt{a^2+(ma{)}^2}=a\sqrt{1+m^2}$ と一致しました。

もとが三平方の定理だから、直線に当てると三平方の定理そのものに戻ります。

例 2：円の周

$x=r\cos t$、$y=r\sin t$ を $0\le t\le 2\pi$ で動かします。

$x^{\prime }=-r\sin t$、$y^{\prime }=r\cos t$ だから、2 乗の和は $r^2({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)=r^2$。

$$L={\int }_0^{2\pi }rdt=2\pi r$$

根号の中が定数になり、積分は $r$ に区間の幅をかけるだけになりました。

例 3：サイクロイド

$$x=r(t-\sin t),y=r(1-\cos t)(0\le t\le 2\pi )$$

$x^{\prime }=r(1-\cos t)$、$y^{\prime }=r\sin t$ です。2 乗の和を展開します。

$$\begin{array}{rl}(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2& =r^2(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)+r^2{\sin }^{2}t\\ & =r^2(2-2\cos t)\end{array}$$

ここで $1-\cos t=2{\sin }^2\frac{t}{2}$ を当てると、根号の中が完全な 2 乗になる。

$$\sqrt{(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2}=\sqrt{4r^2{\sin }^2\frac{t}{2}}=2r\left|\sin \frac{t}{2}\right|$$

$0\le t\le 2\pi$ では $0\le \frac{t}{2}\le \pi$ で $\sin \frac{t}{2}\ge 0$。絶対値が外れます^[1]。

$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^{2\pi }2r\sin \frac{t}{2}dt\\ & =2r{\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]}_0^{2\pi }\\ & =2r(2+2)=8r\end{array}$$

横に進む距離は $2\pi r$ で、転がる円の円周と同じ。曲線に沿うと $8r$ で、差の $1.72r$ ほどが上下に動いたぶんです。

例 4：$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$

$y^{\prime }=x^{1/2}$ だから、根号の中は $1+x$ です。

$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^3\sqrt{1+x}dx\\ & ={\left[\frac{2}{3}(1+x{)}^{3/2}\right]}_0^3\\ & =\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}\end{array}$$

この関数は、$1+(y^{\prime }{)}^2$ がきれいな形になるように作られています。

例 5：$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$y^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ です。2 乗して $1$ を足します。

$$\begin{array}{rl}1+(y^{\prime }{)}^2& =1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}\\ & =\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}\\ & ={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2\end{array}$$

$-2$ が $+2$ に変わり、完全な 2 乗になりました。根号の中がもとの $y$ の 2 乗です。

$$L={\int }_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}dx={\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]}_0^1=\frac{e-e^{-1}}{2}$$

値は約 $1.175$。この曲線は、糸の両端を持ってぶら下げたときの形にあたります。

例 6：$y=\frac{x^2}{4}-\frac{\log x}{2}$

$y^{\prime }=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}$ です。2 乗すると真ん中の項が $-\frac{1}{2}$ になります。

$$1+(y^{\prime }{)}^2=1+\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^2}={\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)}^2$$

$-\frac{1}{2}$ に $1$ を足して $+\frac{1}{2}$ になり、符号が反転しました。

$$\begin{array}{rl}L& ={\int }_1^e\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)dx\\ & ={\left[\frac{x^2}{4}+\frac{\log x}{2}\right]}_1^e\\ & =\frac{e^2+1}{4}\end{array}$$

$y^{\prime }$ が $\frac{A}{2}-\frac{1}{2A}$ の形をしていると、$1$ を足したときに $\frac{A}{2}+\frac{1}{2A}$ の 2 乗になります。

例 7：アステロイド

$$x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$$

$x^{\prime }=-3a{\cos }^{2}t\sin t$、$y^{\prime }=3a{\sin }^{2}t\cos t$ です。

$$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=9a^2{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=9a^2{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t$$

根号を外すと $3a|\sin t\cos t|$。1 周ぶんでは絶対値が外せないため、第 1 象限の $0\le t\le \frac{\pi }{2}$ を計算して 4 倍します。

$$\begin{array}{rl}L& =4{\int }_0^{\pi /2}3a\sin t\cos tdt\\ & =12a{\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin 2t}{2}dt\\ & =6a{\left[-\frac{\cos 2t}{2}\right]}_0^{\pi /2}=6a\end{array}$$

根号が外れる形ばかりが並ぶ理由

これまでの例では、$1+(y^{\prime }{)}^2$ や $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2$ が必ず完全な 2 乗になりました。偶然ではありません。

根号の中が 2 乗にならないと、そこから先が進まないためです。試しに楕円の周を書いてみます。$x=a\cos t$、$y=b\sin t$ とする。

$$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t$$

$a\ne b$ だとまとまりません。この積分は楕円積分と呼ばれ^[3]、高校で扱う関数の組み合わせでは書けない形になります。

面積のほうは $\pi ab$ ときれいに求まるのに、周の長さは書けない。楕円ではこの 2 つが分かれます。

小さな線分の長さを足し上げた式です。$y=f(x)$ なら根号の中が $1+(y^{\prime }{)}^2$、媒介変数なら $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2$。あとは根号が外れる形に整えます。

出典