曲線の長さ（弧長）の求め方

曲線の長さ（弧長）を求める問題は、面積や体積と並ぶ積分の重要な応用だ。直線の長さは 2 点間の距離で求まるが、曲がった線の長さはどう測るのか。微小な線分の長さを足し合わせるという発想が、弧長の積分公式に直結する。

弧長公式の導出

曲線 $y = f (x)$ （ $a \leq x \leq b$ ）の長さを考える。区間 $[a, b]$ を $n$ 等分し、隣り合う 2 点を線分で結ぶと、折れ線の長さの総和は

$k = 1 \sum n (Δ x_{k})^{2} + (Δ y_{k})^{2}$

となる。 $Δ y_{k} \approx f^{'} (x_{k}) Δ x_{k}$ を代入して $Δ x_{k}$ でくくると、

$k = 1 \sum n 1 + {f^{'} (x_{k})}^{2} Δ x_{k}$

$n \to \infty$ の極限をとれば、これは定積分になる。

$L = \int_{a}^{b} 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$

これが $y = f (x)$ で表された曲線の弧長公式だ。被積分関数 $1 + (y^{'})^{2}$ は微小な線素 $d s$ の長さに対応している。

弧長公式の核心は、ピタゴラスの定理にある。微小区間での水平変位 $d x$ と垂直変位 $d y$ から、線素の長さ $d s = d x^{2} + d y^{2}$ を作り、それを積分するという構造だ。

曲線上の無限に短い区間の長さ。 $d s = 1 + (y^{'})^{2} d x$ と書ける。

媒介変数表示の弧長

曲線が $x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ と媒介変数表示されている場合、 $d x = f^{'} (t) d t$ 、 $d y = g^{'} (t) d t$ を代入して、

$L = \int_{α}^{β} {f^{'} (t)}^{2} + {g^{'} (t)}^{2} d t$

となる。 $x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分し、二乗和のルートを積分する形だ。

y = f (x)

の弧長

$L = \int_{a}^{b} 1 + (y^{'})^{2} d x$

媒介変数表示の弧長

$L = \int_{α}^{β} (x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} d t$

具体例 1：放物線の弧長

$y = x^{2}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）の弧長を求めてみよう。 $y^{'} = 2 x$ だから、

$L = \int_{0}^{1} 1 + 4 x^{2} d x$

$x = \frac{1}{2} tan θ$ と置換すると $d x = \frac{1}{2} sec^{2} θ d θ$ 、 $1 + 4 x^{2} = sec θ$ となり、

$L = \int_{0}^{a r c t a n 2} \frac{1}{2} sec^{3} θ d θ$

$sec^{3} θ$ の積分は部分積分を使って

$\int sec^{3} θ d θ = \frac{1}{2} sec θ tan θ + \frac{1}{2} ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C$

と求まる。 $θ = arctan 2$ のとき $tan θ = 2$ 、 $sec θ = 5$ だから、

$L = \frac{1}{4} [sec θ tan θ + ln ∣ sec θ + tan θ ∣]_{0}^{a r c t a n 2} = \frac{5}{2} + \frac{ln ( 2 + 5 )}{4}$

弧長の計算では、ルートを含む積分が現れることが多く、三角関数置換が頻繁に必要になる。

具体例 2：サイクロイドの弧長

サイクロイド $x = r (t - sin t)$ 、 $y = r (1 - cos t)$ （ $0 \leq t \leq 2 π$ ）の一周期分の弧長を求める。

$x^{'} = r (1 - cos t)$ 、 $y^{'} = r sin t$ だから、

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = r^{2} (1 - cos t)^{2} + r^{2} sin^{2} t$

展開すると、

$r^{2} (1 - 2 cos t + cos^{2} t + sin^{2} t) = r^{2} (2 - 2 cos t) = 2 r^{2} (1 - cos t)$

半角公式 $1 - cos t = 2 sin^{2} \frac{t}{2}$ を使えば、

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = r 4 sin^{2} \frac{t}{2} = 2 r sin \frac{t}{2}$

$0 \leq t \leq 2 π$ では $sin \frac{t}{2} \geq 0$ なので絶対値は外せる。よって、

$L = \int_{0}^{2 π} 2 r sin \frac{t}{2} d t = 2 r [- 2 cos \frac{t}{2}]_{0}^{2 π} = 2 r (- 2 (- 1) + 2 (1)) = 8 r$

サイクロイド一周期の弧長は $8 r$ で、転がる円の直径 $2 r$ のちょうど 4 倍になるという簡潔な結果が得られる。

放物線の弧長

$1 + 4 x^{2}$ の積分になり、三角関数置換と $sec^{3} θ$ の積分が必要。計算はやや煩雑だが、手順通りに進めれば求まる。

サイクロイドの弧長

半角公式により被積分関数が $2 r sin \frac{t}{2}$ に簡約され、初等的な積分で $8 r$ が得られる。

極座標での弧長

曲線が極座標 $r = f (θ)$ で表されている場合の弧長公式も導いておく。 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ を $θ$ で微分すると、

$x^{'} = r^{'} cos θ - r sin θ, y^{'} = r^{'} sin θ + r cos θ$

二乗和を計算すると $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ により交差項が消え、

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = (r^{'})^{2} + r^{2}$

よって極座標での弧長公式は

$L = \int_{α}^{β} r^{2} + (\frac{d r}{d θ})^{2} d θ$

となる。たとえばアルキメデスの螺旋 $r = a θ$ やカージオイド $r = a (1 + cos θ)$ の弧長がこの公式で求まる。

$y = f (x)$ の弧長： $1 + (y^{'})^{2}$ を積分

媒介変数の弧長： $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}$ を積分

極座標の弧長： $r^{2} + (r^{'})^{2}$ を積分

いずれの形式でも「微小線素を足し合わせる」という基本思想は同じだ。曲線の表現方法に応じて使い分ければよい。弧長の計算では $\cdot$ の中身をいかに簡単にするかが勝負であり、三角関数の恒等式や半角公式が頻繁に活躍する。