折れ線を細かくして測る曲線の長さ〜弧長の公式とサイクロイドの 8r

半径 $r$ の円を 1 回転ぶん転がすとき、円周上の点が描くサイクロイド 1 山の長さは $8 r$ です。円の直径 $2 r$ のちょうど 4 倍。

この値は 1658 年に示されました^[2]。曲線を伸ばして直線にすることはできませんが、長さは積分で測れます。

$L = \int_{a}^{b} 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$

折れ線で近づける

曲線上に点をいくつかとり、となり合う点を線分で結びます。折れ線の長さは、各線分の長さの和。

線分 1 本の長さは、横に $Δ x$ 、縦に $Δ y$ 進んだ直角三角形の斜辺です。三平方の定理から $(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ 。

$(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} = 1 + (\frac{Δ y}{Δ x})^{2} Δ x$

$Δ x$ でくくり出しました。 $Δ x$ を小さくすると $\frac{Δ y}{Δ x}$ は $\frac{d y}{d x}$ に近づき、和は積分に変わります。

点を増やすほど折れ線は曲線に沿い、長さは決まった値に近づいていく。その値を曲線の長さと呼びます。

媒介変数のときの式

$x = f (t)$ 、 $y = g (t)$ と書かれている場合は、 $Δ x$ と $Δ y$ を両方とも $t$ で測ります。

$d x = f^{'} (t) d t$ 、 $d y = g^{'} (t) d t$ を入れると、 $d x^{2} + d y^{2}$ から $d t$ がくくり出せる。

$L = \int_{α}^{β} {f^{'} (t)}^{2} + {g^{'} (t)}^{2} d t$

$y = f (x)$ の式のほうも、 $x$ 自身を媒介変数と見たものになっています。 $\frac{d x}{d x} = 1$ だから、根号の中の 1 つ目が $1$ になる。

y = f (x)

の形

$1 + (y^{'})^{2}$ を $x$ で積分する。縦の変化だけを $y^{'}$ で測る

媒介変数の形

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}$ を $t$ で積分する。縦も横も $t$ で測る

例 1：直線で確かめる

$y = m x$ の $0 \leq x \leq a$ の部分。 $y^{'} = m$ で、根号の中は定数です。

$L = \int_{0}^{a} 1 + m^{2} d x = a 1 + m^{2}$

横に $a$ 、縦に $ma$ 進んだ線分の長さ $a^{2} + (ma)^{2} = a 1 + m^{2}$ と一致しました。

もとが三平方の定理だから、直線に当てると三平方の定理そのものに戻ります。

例 2：円の周

$x = r cos t$ 、 $y = r sin t$ を $0 \leq t \leq 2 π$ で動かします。

$x^{'} = - r sin t$ 、 $y^{'} = r cos t$ だから、2 乗の和は $r^{2} (sin^{2} t + cos^{2} t) = r^{2}$ 。

$L = \int_{0}^{2 π} r d t = 2 π r$

根号の中が定数になり、積分は $r$ に区間の幅をかけるだけになりました。

例 3：サイクロイド

$x = r (t - sin t), y = r (1 - cos t) (0 \leq t \leq 2 π)$

$x^{'} = r (1 - cos t)$ 、 $y^{'} = r sin t$ です。2 乗の和を展開します。

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = r^{2} (1 - 2 cos t + cos^{2} t) + r^{2} sin^{2} t = r^{2} (2 - 2 cos t)$

ここで $1 - cos t = 2 sin^{2} \frac{t}{2}$ を当てると、根号の中が完全な 2 乗になる。

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = 4 r^{2} sin^{2} \frac{t}{2} = 2 r sin \frac{t}{2}$

$0 \leq t \leq 2 π$ では $0 \leq \frac{t}{2} \leq π$ で $sin \frac{t}{2} \geq 0$ 。絶対値が外れます^[1]。

$L = \int_{0}^{2 π} 2 r sin \frac{t}{2} d t = 2 r [- 2 cos \frac{t}{2}]_{0}^{2 π} = 2 r (2 + 2) = 8 r$

横に進む距離は $2 π r$ で、転がる円の円周と同じ。曲線に沿うと $8 r$ で、差の $1.72 r$ ほどが上下に動いたぶんです。

例 4： $y = \frac{2}{3} x^{3/2}$

$y^{'} = x^{1/2}$ だから、根号の中は $1 + x$ です。

$L = \int_{0}^{3} 1 + x d x = [\frac{2}{3} (1 + x)^{3/2}]_{0}^{3} = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3}$

この関数は、 $1 + (y^{'})^{2}$ がきれいな形になるように作られています。

例 5： $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$

$y^{'} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$ です。2 乗して $1$ を足します。

$1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x}}{4} = \frac{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}}{4} = (\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2})^{2}$

$- 2$ が $+ 2$ に変わり、完全な 2 乗になりました。根号の中がもとの $y$ の 2 乗です。

$L = \int_{0}^{1} \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} d x = [\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e - e ^{- 1}}{2}$

値は約 $1.175$ 。この曲線は、糸の両端を持ってぶら下げたときの形にあたります。

例 6： $y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{lo g x}{2}$

$y^{'} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 x}$ です。2 乗すると真ん中の項が $- \frac{1}{2}$ になります。

$1 + (y^{'})^{2} = 1 + \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x ^{2}} = (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x})^{2}$

$- \frac{1}{2}$ に $1$ を足して $+ \frac{1}{2}$ になり、符号が反転しました。

$L = \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + \frac{1}{2 x}) d x = [\frac{x ^{2}}{4} + \frac{lo g x}{2}]_{1}^{e} = \frac{e ^{2} + 1}{4}$

$y^{'}$ が $\frac{A}{2} - \frac{1}{2 A}$ の形をしていると、 $1$ を足したときに $\frac{A}{2} + \frac{1}{2 A}$ の 2 乗になります。

例 7：アステロイド

$x = a cos^{3} t, y = a sin^{3} t$

$x^{'} = - 3 a cos^{2} t sin t$ 、 $y^{'} = 3 a sin^{2} t cos t$ です。

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = 9 a^{2} cos^{2} t sin^{2} t (cos^{2} t + sin^{2} t) = 9 a^{2} sin^{2} t cos^{2} t$

根号を外すと $3 a ∣ sin t cos t ∣$ 。1 周ぶんでは絶対値が外せないため、第 1 象限の $0 \leq t \leq \frac{π}{2}$ を計算して 4 倍します。

$L = 4 \int_{0}^{π /2} 3 a sin t cos t d t = 12 a \int_{0}^{π /2} \frac{sin 2 t}{2} d t = 6 a [- \frac{cos 2 t}{2}]_{0}^{π /2} = 6 a$

根号が外れる形ばかりが並ぶ理由

これまでの例では、 $1 + (y^{'})^{2}$ や $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}$ が必ず完全な 2 乗になりました。偶然ではありません。

根号の中が 2 乗にならないと、そこから先が進まないためです。試しに楕円の周を書いてみます。 $x = a cos t$ 、 $y = b sin t$ とする。

$(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = a^{2} sin^{2} t + b^{2} cos^{2} t$

$a \neq = b$ だとまとまりません。この積分は楕円積分と呼ばれ^[3]、高校で扱う関数の組み合わせでは書けない形になります。

面積のほうは $π ab$ ときれいに求まるのに、周の長さは書けない。楕円ではこの 2 つが分かれます。

$y = f (x)$ の曲線の長さの式で、根号の中が $1 + (y^{'})^{2}$ になる理由はどれですか。

横に $Δ x$ 、縦に $Δ y$ 進んだ線分の長さを $Δ x$ でくくり出したから
$y^{'}$ が接線の傾きだから
$sin^{2} + cos^{2} = 1$ を使ったから

__RESULT__

$(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$ を $Δ x$ でくくると $1 + (Δ y /Δ x)^{2} Δ x$ になります。 $1$ は横方向のぶん、 $(y^{'})^{2}$ は縦方向のぶんにあたる。もとは三平方の定理です。

$x = t^{2}$ 、 $y = \frac{2}{3} t^{3}$ の $0 \leq t \leq 1$ の部分の長さはどれですか。

$\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3} (22 - 1)$
$22 - 1$

__RESULT__

$x^{'} = 2 t$ 、 $y^{'} = 2 t^{2}$ から $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2} = 4 t^{2} (1 + t^{2})$ で、根号を外すと $2 t 1 + t^{2}$ です。 $u = 1 + t^{2}$ と置くと $\int_{1}^{2} u d u = \frac{2}{3} (22 - 1)$ になります。

小さな線分の長さを足し上げた式です。 $y = f (x)$ なら根号の中が $1 + (y^{'})^{2}$ 、媒介変数なら $(x^{'})^{2} + (y^{'})^{2}$ 。あとは根号が外れる形に整えます。

出典

*Longueur d'un arc de courbe*. Toutes les mathématiques (TLM1), complément.

Cycloid. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Ellipse. Wolfram MathWorld.

円を 1 回転ぶん転がすとき、円周上の点が描くサイクロイド 1 山の長さは $8r$。直径 $2r$ のちょうど 4 倍です。曲線に点をとって線分でつなぎ、三平方の定理で $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ を作って $\Delta x$ でくくり出すと $\sqrt{1+(y')^2}$ が現れる。媒介変数なら $\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ になります。直線に当てれば三平方の定理に戻り、円に当てれば $2\pi r$。$\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ や $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{\log x}{2}$ で根号の中が完全な 2 乗になる仕組み、アステロイドの $6a$、楕円の周だけは書けない理由まで。