L 関数とディリクレ指標（代数的整数論）

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots = \frac{π}{4}$

ライプニッツの級数として知られるこの等式は、法 $4$ のディリクレ指標に付随する L 関数の $s = 1$ での値である。

符号が $+, -, +, -$ と交代し、偶数の項が抜けている。この係数の並びが指標であり、 $n^{- s}$ をかけて足したものが L 関数になる。

法 4 の指標を書き出す

$4$ と互いに素な整数は、 $4$ で割った余りが $1$ か $3$ である。 $(Z /4 Z)^{\times} = {1, 3}$ の 2 元。

この群から $C^{\times}$ への準同型は 2 つしかない。 $3^{2} \equiv 1$ なので、 $χ (3)$ は $\pm 1$ に限られるからである。

$n mod 4$	$χ_{0} (n)$	$χ_{- 4} (n)$
$1$	$1$	$1$
$2$	$0$	$0$
$3$	$1$	$- 1$
$0$	$0$	$0$

$χ_{0}$ が主指標、 $χ_{- 4}$ が非自明な指標である。ライプニッツの級数の係数は、 $χ_{- 4} (1), χ_{- 4} (2), χ_{- 4} (3), \dots$ をそのまま並べたもの。

$4$ と互いに素でない $n$ では値が $0$ になり、偶数の項が消える。

ディリクレ指標の定義

正整数 $q$ を法とするディリクレ指標とは、群準同型 $χ : (Z / q Z)^{\times} \to C^{\times}$ を、 $g cd (n, q) > 1$ のとき $χ (n) = 0$ と定めて $Z$ 全体へ広げた関数である^[1]。

この $0$ による拡張のおかげで、性質が 2 つに整理される。

完全乗法的

どの $m, n$ についても $χ (mn) = χ (m) χ (n)$ が成り立つ。互いに素という条件はいらない。

周期

q

$χ (n + q) = χ (n)$ が成り立つ。値は $q$ 個の余りだけで決まる。

値は $1$ の冪根になる。 $(Z / q Z)^{\times}$ は位数 $φ (q)$ の有限群なので、 $χ (n)^{φ (q)} = χ (n^{φ (q)}) = χ (1) = 1$ が従うためである。

法 $q$ の指標は全部で $φ (q)$ 個ある。有限アーベル群の指標群がもとの群と同型になることから決まる個数。

例：法 5 の指標は 4 つ

$(Z /5 Z)^{\times} = {1, 2, 3, 4}$ は $2$ を生成元とする位数 $4$ の巡回群である。冪を並べると $2^{0} = 1$ 、 $2^{1} = 2$ 、 $2^{2} = 4$ 、 $2^{3} = 3$ 。

生成元の行き先を決めれば指標が決まる。 $χ (2)$ は $1, i, - 1, - i$ のどれかで、4 通り。

$n$	$χ_{1} (n)$	$χ_{2} (n)$
$1$	$1$	$1$
$2$	$i$	$- 1$
$3$	$- i$	$- 1$
$4$	$- 1$	$1$

主指標 $χ_{0}$ はすべて $1$ 、残る $χ_{3}$ は $χ_{1}$ の複素共役である。

$χ_{2}$ だけが $\pm 1$ の値をとる実指標である。 $5$ を法とする平方剰余は $1$ と $4$ で、確かにそこだけ $+ 1$ になっている。

これはルジャンドル記号 $(\frac{n}{5})$ にほかならない。実指標と平方剰余が結びつくのは偶然ではなく、あとで二次体の話につながる。

直交関係

指標どうしの内積をとると、 $0$ か $φ (q)$ になる。

$a \in (Z / q Z)^{\times} \sum χ (a) \overline{ψ (a)} = {φ (q) 0 (χ = ψ) (χ \neq = ψ)$

法 $4$ で確かめる。 $χ_{0}$ と $χ_{- 4}$ の組では $1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$ 、同じ指標どうしなら $1 + 1 = 2 = φ (4)$ である。

向きを変えた形も使う。 $a$ を固定して指標全体を足すと、 $a \equiv 1$ のときだけ $φ (q)$ が残る。

$χ \sum χ (a) = {φ (q) 0 (a \equiv 1 mod q) (それ以外)$

法 $4$ なら、 $a = 1$ で $1 + 1 = 2$ 、 $a = 3$ で $1 + (- 1) = 0$ 。この式が、特定の剰余類だけを取り出すふるいになる。

L 関数の定義

指標 $χ$ に対して、係数を $χ (n)$ にしたディリクレ級数を L 関数という。

$L (s, χ) = n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n )}{n ^{s}}$

$∣ χ (n) ∣ \leq 1$ なので、 $Re (s) > 1$ で絶対収束する。完全乗法的であることから、オイラー積にも書き直せる^[1]。

$L (s, χ) = p \prod \frac{1}{1 - χ ( p ) p ^{- s}}$

積は素数全体を走るが、 $p ∣ q$ の因子は $χ (p) = 0$ で $1$ になり、実質は $q$ と互いに素な素数だけの積になる。

例：法 4 の L 関数

$χ_{- 4}$ を入れると、係数が $1, 0, - 1, 0, 1, \dots$ と並ぶ。

$L (s, χ_{- 4}) = 1 - \frac{1}{3 ^{s}} + \frac{1}{5 ^{s}} - \frac{1}{7 ^{s}} + \frac{1}{9 ^{s}} - \dots$

オイラー積のほうは、素数を $4$ で割った余りで 2 つに分かれる。

$L (s, χ_{- 4}) = p \equiv 1 (4) \prod \frac{1}{1 - p ^{- s}} \cdot p \equiv 3 (4) \prod \frac{1}{1 + p ^{- s}}$

$s = 1$ を入れた値が $\frac{π}{4}$ である。冒頭の等式は、この L 関数を $s = 1$ で評価したものにあたる。

主指標はゼータ関数に戻る

$χ_{0}$ を入れると、 $q$ と互いに素な $n$ だけを残した級数になる。オイラー積で見ると、 $q$ を割る素数の因子を抜いた形である。

$L (s, χ_{0}) = ζ (s) p ∣ q \prod (1 - \frac{1}{p ^{s}})$

$ζ (s)$ は $s = 1$ で極を持つので、 $L (s, χ_{0})$ も $s = 1$ で発散する。有限個の因子をかけただけでは、この極は消えない。

非自明な指標では事情が変わる。級数の符号が交代するため収束がよくなり、 $s = 1$ でも有限の値をとる。

原始指標と導手

法 $8$ の指標を並べると、この違いが見える。 $(Z /8 Z)^{\times} = {1, 3, 5, 7}$ で、指標は 4 つある。

$n mod 8$	$χ_{- 4} (n)$	$χ_{8} (n)$
$1$	$1$	$1$
$3$	$- 1$	$- 1$
$5$	$1$	$- 1$
$7$	$- 1$	$1$

主指標のほかにもう 1 つ、積 $χ_{- 8} = χ_{- 4} χ_{8}$ があり、 $1, 1, - 1, - 1$ の値をとる。

表の $χ_{- 4}$ は、値が $n mod 4$ だけで決まっている。 $1$ と $5$ が同じ値、 $3$ と $7$ が同じ値だからである。

これはさきほどの法 $4$ の指標を、法 $8$ の指標として読み直したものにすぎない。このように小さい法の指標から来ているものを非原始、来ていないものを原始指標という。

原始指標が属する最小の法を導手という。 $χ_{- 4}$ の導手は $4$ 、 $χ_{8}$ と $χ_{- 8}$ の導手は $8$ である。

L 関数の関数等式や解析接続の形は、法ではなく導手で決まる。非原始な指標の L 関数は、原始指標のものから有限個の因子を抜いただけの形になる。

実指標は二次体から来る

値が $\pm 1$ と $0$ しかとらない指標を実指標という。 $χ^{2} = χ_{0}$ をみたす指標のことでもある。

原始的な実指標は、二次体の判別式と 1 対 1 に対応する。基本判別式 $D$ に対してクロネッカー記号 $χ_{D} (n) = (\frac{D}{n})$ を対応させたものが、導手 $∣ D ∣$ の原始実指標である。

$D$	二次体	導手
$- 4$	$Q (- 1)$	$4$
$8$	$Q (2)$	$8$
$- 8$	$Q (- 2)$	$8$
$5$	$Q (5)$	$5$

$D = - 4$ が法 $4$ の $χ_{- 4}$ 、 $D = 5$ が法 $5$ の $χ_{2}$ にあたる。

$χ_{D} (p)$ の値が、 $p$ の二次体での分解のしかたを示す。 $+ 1$ なら 2 つの素イデアルに分解し、 $- 1$ なら惰性のまま、 $0$ なら分岐する。

$D$ の符号は指標の偶奇に現れる。 $χ_{D} (- 1) = 1$ なら偶指標で $D > 0$ 、 $χ_{D} (- 1) = - 1$ なら奇指標で $D < 0$ になる。

$χ_{- 4} (- 1) = χ_{- 4} (3) = - 1$ なので、法 $4$ の指標は奇指標である。虚二次体 $Q (- 1)$ に対応することと合っている。

L 関数が 0 にならないこと

非自明な指標について $L (1, χ) \neq = 0$ が成り立つ。これがディリクレの算術級数定理を支える一点である^[1]。

法 $4$ で筋道を追う。 $lo g$ をとってオイラー積を開くと、素数についての和になる。

$lo g ζ (s) lo g L (s, χ_{- 4}) = p \equiv 1 (4) \sum p^{- s} + p \equiv 3 (4) \sum p^{- s} + O (1) = p \equiv 1 (4) \sum p^{- s} - p \equiv 3 (4) \sum p^{- s} + O (1)$

2 つを足して $2$ で割れば、 $4$ で割って $1$ 余る素数だけの和が残る。直交関係が符号でふるいをかけた形である。

$s \to 1^{+}$ で $lo g ζ (s)$ は $+ \infty$ に飛ぶ。 $L (1, χ_{- 4})$ が $0$ でなければ $lo g L (s, χ_{- 4})$ は有限にとどまるので、左辺の和も発散する。

発散するということは、 $4$ で割って $1$ 余る素数が無限にあるということ。一般の法 $q$ でも、指標をすべて足し合わせて同じ議論を通す。

指標の直交関係で剰余類を取り出す

オイラー積の対数を素数の和に開く

主指標の項が発散する

残りが有限なら素数は無限個

類数へつながる

実指標では $L (1, χ_{D})$ が $0$ でないことを、類数公式が保証する。虚二次体 $Q (D)$ （ $D < 0$ ）では次の形になる^[2]。

$L (1, χ_{D}) = \frac{2 π h _{K}}{w ∣ D ∣}$

$h_{K}$ が類数、 $w$ は $K$ に含まれる $1$ の冪根の個数である。 $D = - 3$ なら $w = 6$ 、 $D = - 4$ なら $w = 4$ 、それ以外は $w = 2$ 。

$D = - 4$ で確かめる。 $h_{K} = 1$ 、 $w = 4$ 、 $∣ D ∣ = 2$ を入れると $\frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}$ になり、ライプニッツの級数の値と一致する。

$D$	$h_{K}$	$L (1, χ_{D})$
$- 4$	$1$	$π /4$
$- 8$	$1$	$π / (22)$
$- 20$	$2$	$π / 5$

右辺はいつも正なので、 $L (1, χ_{D}) > 0$ が従う。解析の側の値が、類数という代数の量で書けている。

ヘッケ指標への拡張

ディリクレ指標は $Q$ 上の話である。一般の数体 $K$ でイデアル群の指標を考えたものがヘッケ指標で、対応する L 関数がヘッケ L 関数になる。

$L (s, χ) = p \prod \frac{1}{1 - χ ( p ) N ( p ) ^{- s}}$

$K = Q$ で自明な指標をとればデデキントゼータ関数、ディリクレ指標をとればディリクレ L 関数に戻る。解析接続と関数等式は、いずれの場合も同じ形で成り立つ。

法 $8$ の指標のうち、導手が $8$ でないものはどれか。

$χ_{8}$
$χ_{- 4}$
$χ_{- 8}$

__RESULT__

$χ_{- 4}$ は $n mod 4$ だけで値が決まり、 $1$ と $5$ 、 $3$ と $7$ が同じ値になる。法 $4$ の指標から誘導された非原始指標なので、導手は $4$ である。 $χ_{8}$ と $χ_{- 8}$ は $mod 8$ を見ないと値が決まらないので、導手は $8$ になる。

$L (s, χ_{0})$ が $s = 1$ で発散するのはなぜか。

$ζ (s)$ の極が有限個の因子では消えないため
係数の符号が交代しないため
主指標の値が $1$ の冪根でないため

__RESULT__

$L (s, χ_{0}) = ζ (s) \prod_{p ∣ q} (1 - p^{- s})$ で、 $ζ (s)$ は $s = 1$ に単純極を持つ。かけているのは有限個の因子だけなので、極はそのまま残る。符号の交代は非自明な指標が収束する理由のほうで、主指標にはあてはまらない。

係数を指標に取り替えると、素数を剰余類ごとに数えられるようになる。ライプニッツの級数から二次体の類数まで、同じ 1 本の級数がつないでいる。

参考

Andrew V. Sutherland. *18.785 Number Theory I, Lecture 18: Dirichlet L-functions, primes in arithmetic progressions*. MIT.

Andrew V. Sutherland. *18.785 Number Theory I, Lecture 19: The analytic class number formula*. MIT.

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}$ の左辺は、法 $4$ のディリクレ指標に付随する L 関数の $s = 1$ での値です。指標は $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ からの準同型を $0$ で拡張したもので、法 $4$ に 2 つ、法 $5$ に 4 つある。直交関係が剰余類だけを取り出すふるいになり、オイラー積の対数を素数の和に開くと、算術級数の中の素数が無限にあると分かります。法 $8$ で原始指標と導手を見分け、実指標が二次体の判別式と対応するところまで。$D = -4$ では類数公式の値が $\pi/4$ になり、ライプニッツの級数と一致する。