二元二次形式の類数と被約形式：判別式ごとに類を数える

判別式が $-20$ の正定値な二元二次形式は、変数の変換で移り合うものを 1 つにまとめると、$x^2+5y^2$ と $2x^2+2xy+3y^2$ の 2 つしかありません。この個数 $2$ が判別式 $-20$ の類数です。

表せる素数もこの 2 つに分かれる。$29=3^2+5\cdot 2^2$ は前者で書け、$7=2\cdot 1^2+2\cdot 1\cdot 1+3\cdot 1^2$ は後者で書けますが、いれかえはききません。

二元二次形式と判別式

整数 $a$、$b$、$c$ で $f(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$ と書ける式を二元二次形式といい、$D=b^2-4ac$ を判別式と呼びます^[1]。$a$、$b$、$c$ の最大公約数が $1$ のものを原始的な形式という。

$D<0$ かつ $a>0$ なら、$(x,y)\ne (0,0)$ でつねに $f(x,y)>0$ になります。この形式を正定値と呼び、以降の形式はすべて正定値で原始的なものとする。

$b^2$ を $4$ で割った余りは $0$ か $1$ なので、$D$ も $4$ で割って $0$ か $1$ 余ります。$D\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)$ の形式は存在しない。

$$\begin{array}{rl}{x}^2+5y^2& :D=0-4\cdot 1\cdot 5=-20\\ 2x^2+2xy+3y^2& :D=4-4\cdot 2\cdot 3=-20\end{array}$$

同値な形式

行列式が $1$ の整数行列で、変数を $(x,y)\mapsto (px+qy,rx+sy)$ と置きかえます。形式の見た目は変わるが、判別式も、表す整数の集合も変わりません^[1]。

こうして移り合う 2 つの形式を同値といい、同値な形式の集まりを類と呼ぶ。判別式 $D$ の類の個数が類数 $h(D)$ です。

$x^2+5y^2$ の $x$ を $x+y$ に置きかえると、$(x+y{)}^2+5y^2=x^2+2xy+6y^2$ になります。判別式は $4-24=-20$ のままで、$x^2+5y^2$ と同じ類に入る。

同じ類の形式は無数にあるため、各類から代表を 1 つ選んで数えます。

被約形式

正定値の形式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$ は、次のどちらかを満たすとき被約であるといいます^[2]。

$$-a<b\le a<c\text{または}0\le b\le a=c$$

どの形式も、ちょうど 1 つの被約形式と同値になる^[2]。だから類数 $h(D)$ は、判別式 $D$ の被約形式の個数に等しい。

被約なら $|b|\le a\le c$ だから、$|D|=4ac-b^2\ge 4a^2-a^2=3a^2$ です。

$$a\le \sqrt{\frac{|D|}{3}}$$

$a$ に上限があり、$b$ は $-a$ から $a$ までに限られます^[3]。$c=\frac{b^2-D}{4a}$ も決まるため、調べる組は有限個で済む。

形式の根 $\tau =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ を上半平面にとると、条件はそのまま図形になります。実部は $-\frac{b}{2a}$ で、$|\tau {|}^2=\frac{b^2+|D|}{4a^2}=\frac{c}{a}$ です。

例：判別式 −20

$a\le \sqrt{20/3}\approx 2.58$ なので $a$ は $1$ か $2$。$D$ が偶数のため $b$ も偶数に限られます。

$a=1$ なら $b=0$ で、$c=\frac{0+20}{4}=5$。$x^2+5y^2$ が得られる。

$a=2$ なら $b$ は $0$ か $2$ です。$b=0$ では $c=\frac{20}{8}$ で整数にならず、$b=2$ で $c=\frac{4+20}{8}=3$ となって $2x^2+2xy+3y^2$ が残ります。

被約形式は 2 つで、$h(-20)=2$。冒頭の 2 つの形式が、そのまま全部の類の代表になっている。

例：判別式 −23

$a\le \sqrt{23/3}\approx 2.77$ で、$D$ が奇数だから $b$ も奇数です。$a=1$ から $x^2+xy+6y^2$ が、$a=2$ から $2x^2+xy+3y^2$ と $2x^2-xy+3y^2$ が得られる。

$h(-23)=3$ になります。$2x^2\pm xy+3y^2$ は $(x,y)\mapsto (x,-y)$ で移り合いますが、この変換の行列式は $-1$ です。2 つとも被約なので、行列式 $1$ の変換では移り合わず、別の類として数える^[2]。

例：判別式 −56

$a\le \sqrt{56/3}\approx 4.32$ なので、$a$ は $1$ から $4$ まで調べます。$b$ は偶数で、$-a<b\le a$ の範囲に限られる。

整数になって $a\le c$ も満たすのは 4 か所で、$x^2+14y^2$、$2x^2+7y^2$、$3x^2-2xy+5y^2$、$3x^2+2xy+5y^2$ の 4 つ。$h(-56)=4$ です。

類数の表

判別式ごとに被約形式を数えると、類数は次のようになります^[4]。

$|D|$ が大きくなるにつれて類数も増える傾向があるものの、単調ではありません。$-43$ でまた $1$ に戻り、$-47$ では $5$ になる。

合成と類群

同じ判別式の類の集合には、ガウスの合成で積が入ります。単位元は主形式の類で、$a{x}^2+bxy+c{y}^2$ の類の逆元は $a{x}^2-bxy+c{y}^2$ の類です^[5]。

主形式 $x^2+5y^2$ の値どうしをかけると、ふたたび $x^2+5y^2$ の値になる。

$$(x^2+5y^2)(z^2+5w^2)=(xz-5yw{)}^2+5(xw+yz{)}^2$$

$2x^2+2xy+3y^2$ の値どうしの積も、$x^2+5y^2$ で書けます。$2$、$3$、$7$ はどれも $2x^2+2xy+3y^2$ の値です。

$2x^2+2xy+3y^2$ の類を 2 回合成すると主形式の類に戻り、判別式 $-20$ の類群は位数 $2$ の巡回群になる。

逆元の形から、$b=0$、$b=a$、$a=c$ のどれかを満たす被約形式の類は、自分自身が逆元です。$a{x}^2-bxy+c{y}^2$ を被約にすると、もとの形式に戻るため。

$D=-84$ の被約形式は $x^2+21y^2$、$3x^2+7y^2$、$2x^2+2xy+11y^2$、$5x^2+4xy+5y^2$ です。類数が同じ $4$ でも、$-56$ とは群の形が違う。

イデアル類群との対応

判別式 $D$ の形式 $a{x}^2+bxy+c{y}^2$ に、$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ の整数環のイデアル $\left(a,\frac{-b+\sqrt{D}}{2}\right)$ を対応させます。$D$ が基本判別式なら、この対応で形式の類群とイデアル類群が同型になる^[5]。

$D=-20$ では整数環が $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で、$2x^2+2xy+3y^2$ にはイデアル $I=(2,1+\sqrt{-5})$ があたります。$I$ の元 $2x+(1+\sqrt{-5})y$ のノルムを $2$ で割ると、もとの形式が戻る。

$$\begin{array}{rl}N(2x+(1+\sqrt{-5})y)& =(2x+y{)}^2+5y^2\\ & =4x^2+4xy+6y^2\end{array}$$

$I$ は単項イデアルではありません。単項なら生成元のノルムは $2$ ですが、$x^2+5y^2=2$ は整数解を持たないため。$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の類数も $2$ で、形式の類数と一致します。

例：$x^2+5y^2$ で表せる素数

素数 $p$ が $x^2+5y^2$ で書けるのは、$p=5$ か $p\equiv 1,9(\mathrm{mod}20)$ のときに限られる^[6]。$2x^2+2xy+3y^2$ で書けるのは、$p=2$ か $p\equiv 3,7(\mathrm{mod}20)$ のときです^[7]。

$p\equiv 11,13,17,19(\mathrm{mod}20)$ の素数は、どちらの形式でも表せない。表せる素数が 20 で割った余りだけで 2 つの形式に振り分けられます。

被約形式を数えれば類数が決まり、類の積を見れば類群の形まで分かります。

出典