数学 B ベクトルの成分と大きさ（長さ）

ベクトルとは、向きと大きさを持つ量のことです。図形的には矢印として描かれます。力や速度のように「どちらの方向にどれだけ」という情報を同時に持つ量を扱うとき、ベクトルの考え方が必要になります。

成分表示

高校数学では、ベクトルを座標のように 2 つの数の組で表します。たとえば原点から点 $(1, 2)$ に向かう矢印を考えると、このベクトル $a$ は

$a = (1, 2)$

と書けます。これをベクトルの成分表示といい、1 つ目の数を $x$ 成分、2 つ目の数を $y$ 成分と呼びます。

ここで注意したいのは、ベクトルは「位置」ではなく「移動量」を表しているという点です。 $a = (1, 2)$ は「 $x$ 方向に $1$ 、 $y$ 方向に $2$ 進む」という意味であり、始点がどこであっても同じベクトルとみなされます。

位置（点）

$(1, 2)$ は平面上の 1 つの点を指す。始点は常に原点。

ベクトル

$(1, 2)$ は「右に 1、上に 2」という移動を表す。始点はどこでもよい。

原点から $(1, 2)$ への矢印も、 $(3, 5)$ から $(4, 7)$ への矢印も、向きと大きさが同じなので同じベクトル $a = (1, 2)$ です。

ベクトルの演算

成分表示されたベクトルの足し算・引き算・スカラー倍は、各成分ごとに行います。 $a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ として、

足し算

$a + b = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$ 。矢印を「つなげる」操作に対応する。

引き算

$a - b = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2})$ 。 $b$ の先端から $a$ の先端へ向かうベクトルに対応する。

スカラー倍

$k a = (k a_{1}, k a_{2})$ 。矢印を $k$ 倍に伸縮する操作。 $k < 0$ なら向きが逆転する。

たとえば $a = (2, 3)$ 、 $b = (4, - 1)$ のとき、

$a + b a - b 3 a = (2 + 4, 3 + (- 1)) = (6, 2) = (2 - 4, 3 - (- 1)) = (- 2, 4) = (6, 9)$

成分ごとに計算するだけなので、操作そのものは難しくありません。

ベクトルの大きさ

ベクトルの大きさとは、矢印の長さのことです。 $a = (a_{1}, a_{2})$ の大きさは $∣ a ∣$ と書き、

$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$

で求められます。これは原点から点 $(a_{1}, a_{2})$ までの距離にほかならず、三平方の定理そのものです。

$x$ 成分方向に $a_{1}$ 、 $y$ 成分方向に $a_{2}$ 進んだときの斜辺の長さが $∣ a ∣$ であり、三平方の定理から $a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ が導かれます。

直角三角形の斜辺 $= 底辺^{2} + 高さ^{2}$ という関係。

いくつか具体例を見てみましょう。

$b = (3, 4)$ の大きさは $∣ b ∣ = 9 + 16 = 25 = 5$ です。 $3$ 、 $4$ 、 $5$ はピタゴラス数として有名な組み合わせですね。

$c = (1, 1)$ なら $∣ c ∣ = 1 + 1 = 2$ となります。きれいな整数にならないことのほうが多いので、のまま答えることに慣れておきましょう。

$d = (- 5, 12)$ の場合は $∣ d ∣ = 25 + 144 = 169 = 13$ です。成分が負でも 2 乗すれば正になるので、大きさは常に $0$ 以上になります。

単位ベクトル

大きさが $1$ のベクトルを単位ベクトルといいます。任意のベクトル $a$ （ $a \neq = 0$ ）に対して、

$e = \frac{a}{∣ a ∣}$

とすれば $∣ e ∣ = 1$ となり、 $a$ と同じ向きの単位ベクトルが得られます。

ベクトル $a$ の大きさ $∣ a ∣$ を求める

各成分を $∣ a ∣$ で割る

大きさ $1$ 、向き同じの単位ベクトルが得られる

たとえば $a = (3, 4)$ の単位ベクトルは $\frac{1}{5} (3, 4) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ です。実際に大きさを確認すると $(\frac{3}{5})^{2} + (\frac{4}{5})^{2} = \frac{9 + 16}{25} = 1$ となり、確かに単位ベクトルになっています。

単位ベクトルは「向きだけを取り出したベクトル」と考えることができ、ベクトルの分解や正規化といった場面で活躍します。

2 点間の距離とベクトル

点 $A (x_{1}, y_{1})$ から点 $B (x_{2}, y_{2})$ へ向かうベクトルは

$A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$

と表されます。このベクトルの大きさが 2 点間の距離にほかなりません。

$∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

中学で習った 2 点間の距離の公式が、ベクトルの大きさとして自然に再登場するわけです。

たとえば $A (1, 3)$ と $B (4, 7)$ の距離は $A B = (3, 4)$ の大きさなので $5$ です。

練習問題

$a = (5, 12)$ の大きさ $∣ a ∣$ は？

$17$
$13$
$17$
$119$

__RESULT__

$∣ a ∣ = 25 + 144 = 169 = 13$ です。

$a = (2, 3)$ 、 $b = (- 1, 4)$ のとき、 $a + b$ は？

$(3, 7)$
$(1, 7)$
$(1, - 1)$
$(- 2, 12)$

__RESULT__

$a + b = (2 + (- 1), 3 + 4) = (1, 7)$ です。

$a = (- 3, 4)$ と同じ向きの単位ベクトルは？

$(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$
$(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$
$(- \frac{3}{4}, 1)$
$(- 3, 4)$

__RESULT__

$∣ a ∣ = 5$ なので、各成分を $5$ で割って $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ です。

$A (2, 1)$ と $B (5, 5)$ の距離は？

__RESULT__

$A B = (3, 4)$ なので $∣ A B ∣ = 9 + 16 = 5$ です。

$a = (1, 3)$ の大きさ $∣ a ∣$ は？

$3$
$2$
$1 + 3$
$4$

__RESULT__

$∣ a ∣ = 1 + 3 = 4 = 2$ です。