群を置換として書き直す〜作用の定義と軌道・安定化群

群を集合に作用させることは、群の元を置換として使うことです^[1]。作用を 1 つ決めることと、準同型 $G \to Sym (X)$ を 1 つ決めることが同じになります。

この言い換えから、抽象的な群の話が置換の話に変わります。剰余類の集合に作用させるだけで、指数の小さい部分群が正規になる、といった結論まで出てくる。

定義

群 $G$ が集合 $X$ に作用するとは、写像 $G \times X \to X$ 、 $(g, x) \mapsto g \cdot x$ があって次を満たすことです^[1]。

$e \cdot x = x, g \cdot (h \cdot x) = (g h) \cdot x$

条件はこの 2 つだけ。 $G$ の側が群であること以外、 $X$ には何の構造も要りません。

すぐ出る性質があります^[1]。 $y = g \cdot x$ なら $x = g^{- 1} \cdot y$ で、 $x \neq = x^{'}$ なら $g \cdot x \neq = g \cdot x^{'}$ です。どちらも $g^{- 1}$ を作用させれば出ます。

置換表現

$g$ を固定して $π_{g} (x) = g \cdot x$ と置きます^[1]。

1 つ目の条件は $π_{e} = id_{X}$ 、2 つ目は $π_{g} \circ π_{h} = π_{g h}$ を言っています。 $π_{g^{- 1}}$ が $π_{g}$ の逆写像になるので、 $π_{g}$ は $X$ の置換です。

つまり $g \mapsto π_{g}$ は準同型 $G \to Sym (X)$ になる。

逆に準同型 $f : G \to Sym (X)$ があれば、 $g \cdot x = f (g) (x)$ で作用が定まります^[1]。2 つの条件は $f$ が準同型であることそのものです。

作用と置換表現は、同じものの 2 通りの書き方でした^[1]。

核と忠実さ

準同型としての核が、作用の核です。すべての $x$ で $g \cdot x = x$ となる $g$ の全体で、正規部分群になります^[1]。

核が自明なとき、作用は忠実であるといいます。忠実なら $G$ は $Sym (X)$ の部分群と見なせる。

核が大きいほど、作用は群の情報を落とします。 $G$ が $X$ に自明に作用すれば核は $G$ 全体で、何も分かりません。

Cayley の定理

いちばん基本の作用は、 $G$ が自分自身に左から掛ける作用です^[1]。

$g \cdot x = g x$

条件は結合律と単位元の性質そのものなので、確かに作用です。核を見ると、すべての $x$ で $g x = x$ になる $g$ は $x = e$ を入れて $g = e$ 。核は自明で、作用は忠実です。

したがって準同型 $G \to Sym (G)$ は単射になります^[1]。

有限群 $G$ は $Sym (G) ≅ S_{∣ G ∣}$ に埋め込める。これが Cayley の定理です^[1]。どんな群も置換群として実現できる、という主張になります。

3 つの基本の作用

どんな群にも、最初から用意されている作用が 3 つあります^[1]。

自分自身への左からの積。

g \cdot x = g x

。

自分自身への共役。

g \cdot x = g x g^{- 1}

。

部分群

H

の左剰余類の集合への積。

g \cdot a H = g a H

。

この 3 つで、群論の基本的な概念がほとんど軌道か安定化群として言い換えられます^[1]。

軌道

$x \in X$ の軌道を $G \cdot x = {g \cdot x : g \in G}$ とします^[2]。

軌道は $X$ を分割します。 $z$ が 2 つの軌道に入っているとして $z = g_{1} \cdot x = g_{2} \cdot y$ と書くと、 $x = g_{1}^{- 1} g_{2} \cdot y$ なので $x \in G \cdot y$ 。すると $G \cdot x \subseteq G \cdot y$ で、 $x$ と $y$ を入れ替えれば逆も出ます^[1]。

3 つの基本の作用で軌道が何になるかを見ます^[1]。

左からの積では、 $g = g e$ から $G \cdot e = G$ 。軌道は 1 つだけです。

共役では、軌道が共役類になります。 $x$ の軌道が 1 点なのは、 $x$ が中心にいるときです。

剰余類への作用でも軌道は 1 つです。 $a H = a \cdot H$ なので、 $H$ からどの剰余類へも届く。

置換 $σ$ の巡回置換への分解も軌道です^[1]。 $⟨ σ ⟩$ を ${1, \dots, n}$ に作用させると、軌道がちょうど巡回になります。

安定化群

$x$ を動かさない元の全体 $G_{x} = {g : g \cdot x = x}$ を安定化群といいます^[2]。

部分群になります。 $e \in G_{x}$ で、 $g, h \in G_{x}$ なら $(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x) = x$ 、 $g^{- 1} \cdot x = g^{- 1} \cdot (g \cdot x) = x$ です^[2]。

同じ軌道の点では、安定化群が共役になります。 $y = g \cdot x$ のとき $G_{y} = g G_{x} g^{- 1}$ です^[1]。

軌道の長さと安定化群の指数は等しくなります^[1]。 $g G_{x} \mapsto g \cdot x$ が全単射になるためです。

$∣ G \cdot x ∣ = [G : G_{x}]$

共役作用でこれを読むと、共役類の大きさが中心化群の指数だと言っています。剰余類への作用で読むと、 $H$ の安定化群が $H$ 自身だという当たり前のことになる。

作用の型

作用にはいくつかの型があります^[3]。

可移。軌道が 1 つだけ。どの点からどの点へも動かせる。

忠実。核が自明。群が置換群として実現される。

自由。単位元以外はどの点も動かさないままにしない。

正則。可移かつ自由。

X

と

G

が 1 対 1 に対応する。

$S_{n}$ の ${1, \dots, n}$ への作用は可移で忠実ですが自由ではありません^[3]。 $n \geq 3$ なら $2$ 点以上を固定する置換があります。

$D_{n}$ の正 $n$ 角形の頂点への作用も可移です^[3]。 $G$ が自分自身に左から掛ける作用は正則になります^[3]。

$G L_{2} (R)$ の $R^{2}$ への作用は可移ではありません^[3]。原点が単独の軌道になるためです。原点を除けば可移になります。

有限群が可移に作用するなら、 $∣ X ∣$ は $∣ G ∣$ を割ります^[3]。軌道が全体なので、軌道と安定化群の関係がそのまま効きます。

可移な作用は剰余類への作用と同じ

可移な作用は、本質的に 1 種類しかありません^[3]。

$G$ が $X$ に可移に作用するとし、 $x_{0} \in X$ を 1 つ固定して $H = G_{x_{0}}$ と置きます。すると $g H \mapsto g \cdot x_{0}$ が $G / H$ から $X$ への全単射で、 $G$ の作用と両立します^[3]。

つまり、可移な作用を調べることは、部分群を 1 つ選んでその剰余類への作用を調べることと同じです。作用の分類が部分群の分類に落ちる、という形になります。

剰余類への作用の核

$G$ を $G / H$ に左から作用させたときの核を計算します。

$g$ が核に入るのは、すべての $a$ で $g a H = a H$ となるとき。書き替えると $a^{- 1} g a \in H$ 、つまり $g \in a H a^{- 1}$ がすべての $a$ で成り立つときです。

$ker = a \in G ⋂ a H a^{- 1}$

これは $H$ に含まれる最大の正規部分群です。 $a = e$ をとれば $H$ に入り、 $N ⊴ G$ で $N \subseteq H$ なら $N = a N a^{- 1} \subseteq a H a^{- 1}$ がすべての $a$ で成り立つためです。

$[G : H] = n$ なら $G / ker$ が $S_{n}$ に埋め込めます。指数の小さい部分群があると、群の大きさに強い制限がかかることになる。

指数が最小の素数なら正規

$∣ G ∣ > 1$ の有限群で $p$ を $∣ G ∣$ の最小の素因数とします。指数 $p$ の部分群 $H$ は正規になります^[1]。

$G$ を $G / H$ に作用させます。 $∣ G / H ∣ = p$ なので、準同型 $G \to Sym (G / H) ≅ S_{p}$ ができる。核を $K$ と置きます。

$G / K$ は $S_{p}$ に埋め込めるので $[G : K]$ は $p!$ を割ります。一方 $[G : K]$ は $∣ G ∣$ を割る。 $∣ G ∣$ の素因数は $p$ 以上で、 $p!$ の $p$ より大きい素因数はないので、共通の約数は $1$ と $p$ しかありません^[1]。

$K \subseteq H$ なので $[G : K] = [G : H] [H : K] = p \cdot [H : K] \geq p$ 。よって $[G : K] = p$ かつ $[H : K] = 1$ 、つまり $H = K$ です。核なので正規になります^[1]。

$p = 2$ の場合が、指数 $2$ の部分群は正規、という見慣れた形です。

作用の側から見る

$G$ を $G / H$ の置換として書き、核を調べる

部分群の側から見る

指数が小さいと、 $H$ に入る最大の正規部分群が $H$ 自身まで大きくなる

何をしているのか

作用を 1 つ選ぶことは、群を「どの集合の置換として見るか」を選ぶことです。

見方を変えると、同じ群から違う情報が出ます。自分自身への左からの積は忠実で、群を丸ごと置換群にする。共役は核が中心なので、中心のぶんだけ情報を落とす代わりに、共役類という新しい分割を出す。

剰余類への作用は、その中間にあります。核は $H$ に入る最大の正規部分群で、 $H$ の選び方でどれだけ情報を残すかが変わる。

群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき、作用の核として正しいのはどれですか。

ある 1 点 $x$ を動かさない元の全体
すべての点を動かさない元の全体
軌道が 1 点になる点の全体

__RESULT__

核は準同型 $G \to Sym (X)$ の核なので、恒等置換へ写る元の全体、つまりすべての点を固定する元の全体です。ある 1 点だけを固定する元の全体は安定化群で、こちらは正規とは限りません。核は安定化群すべての共通部分にあたります。

作用を決めることは準同型を決めることでした。だから作用の話はすべて準同型の話に翻訳できて、核と像という 2 つの道具がそのまま使えます。軌道が像の側、安定化群が核の側にあたる、と見ると全体の見通しがよくなります。

参考

Keith Conrad, *Group Actions*, University of Connecticut

Philippe Caldero, *Groupes et Actions de groupes*, Université Claude Bernard Lyon 1

Keith Conrad, *Transitive Group Actions*, University of Connecticut

群を集合に作用させることは、群の元を置換として使うことです。作用を 1 つ決めることと、対称群への準同型を 1 つ決めることが同じになります。この言い換えから Cayley の定理が出て、どんな群も置換群として実現できる。どの群にも最初から用意されている 3 つの作用、つまり自分自身への左からの積、共役、剰余類への積を並べ、軌道がそれぞれ全体・共役類・全体になることを見ました。可移と忠実と自由と正則の区別、可移な作用が剰余類への作用と同じになること、剰余類への作用の核が $H$ に入る最大の正規部分群になること。そこから、指数が最小の素因数に等しい部分群は正規になる、という定理まで。