熱方程式

熱方程式は、熱伝導や拡散現象を記述する放物型偏微分方程式です。フーリエがこの方程式を解くために発明したフーリエ級数は、現代解析学の基礎となりました。

熱方程式の形

1次元の熱方程式は、

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

ここで $u (x, t)$ は位置 $x$ 、時刻 $t$ における温度、 $k > 0$ は熱拡散率です。

熱量保存則（エネルギー保存）とフーリエの法則（熱流束は温度勾配に比例）を組み合わせると、この方程式が得られます。直感的には、「周囲より温度が高い点は熱を放出して冷え、低い点は熱を吸収して温まる」という現象を表しています。

$0 \leq x \leq L$ で両端の温度が0に保たれている棒を考えます。

$u_{t} = k u_{xx}, u (0, t) = u (L, t) = 0, u (x, 0) = f (x)$

$u (x, t) = X (x) T (t)$ と変数分離します。方程式に代入すると、

$X (x) T^{'} (t) = k X^{''} (x) T (t)$

両辺を $k XT$ で割ると、

$\frac{T ^{'}}{k T} = \frac{X ^{''}}{X} = - λ (定数)$

空間部分

$X^{''} + λ X = 0$ , $X (0) = X (L) = 0$ 。固有値問題になります。

時間部分

$T^{'} = - kλ T$ 。指数関数的な減衰を与えます。

境界条件 $X (0) = X (L) = 0$ を満たす非自明な解は、

$λ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}, X_{n} (x) = sin \frac{nπ x}{L} (n = 1, 2, 3, \dots)$

対応する時間部分は $T_{n} (t) = e^{- k λ_{n} t}$ です。

重ね合わせの原理より、一般解は

$u (x, t) = n = 1 \sum \infty B_{n} e^{- k (nπ / L)^{2} t} sin \frac{nπ x}{L}$

係数 $B_{n}$ は初期条件 $u (x, 0) = f (x)$ から、フーリエ正弦級数の係数として決まります。

$B_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$

減衰

各項は $e^{- k λ_{n} t}$ で減衰します。 $n$ が大きいほど速く減衰するので、時間が経つと低次の項が支配的になります。

平滑化

初期分布がどんなに粗くても、 $t > 0$ で即座に滑らかになります。これは熱方程式の「正則化効果」と呼ばれます。

$- \infty < x < \infty$ では、フーリエ変換を用いて解けます。

$u (x, t) = \frac{1}{4 πk t} \int_{- \infty}^{\infty} f (ξ) e^{- (x - ξ)^{2} / (4 k t)} d ξ$

被積分関数に現れるガウス関数 $e^{- (x - ξ)^{2} / (4 k t)}$ は熱核（基本解）と呼ばれ、点熱源からの熱の広がりを表します。

熱方程式は、拡散現象の基本モデルとして、物理学だけでなく確率論（ブラウン運動）や金融工学（ブラック＝ショールズ方程式）にも応用されています。