p進数と完備化（代数的整数論）

$p$ 進数は有理数を「 $p$ で何回割れるか」という視点で完備化したもので、局所的な解析を可能にする重要な道具です。

$p$ 進付値

素数 $p$ を固定します。 $0$ でない有理数 $x = p^{a} \frac{m}{n}$ （ $p ∤ mn$ ）に対し、 $p$ 進付値を $v_{p} (x) = a$ で定義します。 $v_{p} (0) = \infty$ とおきます。

$v_{p}$ は以下の性質を満たします。

v_{p} (x y) = v_{p} (x) + v_{p} (y)

v_{p} (x + y) \geq min {v_{p} (x), v_{p} (y)}

（等号は

v_{p} (x) \neq = v_{p} (y)

のとき成立）

2番目の性質は通常の絶対値よりも強く、非アルキメデス的または超距離的と呼ばれます。

$p$ 進絶対値

$p$ 進絶対値を $∣ x ∣_{p} = p^{- v_{p} (x)}$ で定義します。 $∣0 ∣_{p} = 0$ です。

$∣6 ∣_{2}$	$1/2$ （ $6 = 2 \cdot 3$ ）
$∣6 ∣_{3}$	$1/3$ （ $6 = 2 \cdot 3$ ）
$∣6 ∣_{5}$	$1$ （ $5 ∤ 6$ ）
$∣1/4 ∣_{2}$	$4$ （ $1/4 = 2^{- 2}$ ）

通常の絶対値と異なり、 $p$ で割り切れるほど「小さい」と見なされます。

$p$ 進数体 $Q_{p}$

$Q$ を $∣ \cdot ∣_{p}$ で完備化して得られる体を $p$ 進数体と呼び、 $Q_{p}$ と書きます。実数 $R$ が通常の絶対値による完備化であるのと並行します。

実数

R

通常の絶対値 $∣ \cdot ∣$ による $Q$ の完備化

p

進数

Q_{p}

$p$ 進絶対値 $∣ \cdot ∣_{p}$ による $Q$ の完備化

$Q_{p}$ の元は $p$ 進展開で表せます。

$x = \sum_{n = v_p(x)}^{\infty} a_n p^n \quad (0 \leq a_n < p)$

負の方向は有限、正の方向は無限に続きます。

$p$ 進整数環

$Z_{p} = {x \in Q_{p} ∣ ∣ x ∣_{p} \leq 1} = {x \in Q_{p} ∣ v_{p} (x) \geq 0}$ を $p$ 進整数環と呼びます。

$Z_{p}$ は $Q_{p}$ の付値環であり、 $Z$ の $p$ 進完備化でもあります。

$Z_{p} = n lim Z / p^{n} Z$

と射影極限で特徴付けられます。

$p$ 進数の単数

$Z_{p}^{\times} = {x \in Q_{p} ∣ ∣ x ∣_{p} = 1}$ は $p$ 進単数群です。

$Z_{p}^{\times} ≅ (Z / p Z)^{\times} \times (1 + p Z_{p})$

と分解します。 $1 + p Z_{p}$ は $Z_{p}$ と同型（ $p \neq = 2$ のとき）であり、これは対数写像 $lo g (1 + x) = x - x^{2} /2 + x^{3} /3 - \dots$ が $p$ 進的に収束することから従います。

数体の完備化

数体 $K$ の素イデアル $p$ に対しても同様に $p$ 進完備化 $K_{p}$ が定義できます。 $p ∣ (p)$ のとき $K_{p}$ は $Q_{p}$ の有限拡大になります。

分解する素数

$K_{p_{i}} ≅ Q_{p}$ の有限拡大で、 $[K_{p_{i}} : Q_{p}] = e_{i} f_{i}$ 。

局所体

$K_{p}$ は局所体と呼ばれ、局所類体論の舞台となる。

局所大域原理

方程式を解くとき、まず各素点での可解性（局所条件）を調べ、次に大域的な可解性を考える方法があります。

二次形式に対するハッセ・ミンコフスキーの定理は、局所条件から大域的可解性が従う例です。一般には局所条件だけでは不十分で、その障害がシャファレヴィッチ・テイト群として現れます。

p進数と完備化（代数的整数論）

p 進付値

p 進絶対値

p 進数体 Qp​

p 進整数環