p で何回割れるかを距離にとる（p 進数と完備化の入口）

$|6{|}_2=\frac{1}{2}$、$|48{|}_2=\frac{1}{16}$。$2$ で割り切れる回数が多いほど小さい、という物差しです。

この距離で $\mathbb{Q}$ を完備化すると ${\mathbb{Q}}_2$ が出ます。$\mathbb{R}$ とは別の完備化があり、しかも素数ごとに $1$ つずつ並んでいる。

割れる回数を距離にする

素数 $p$ を固定します。$0$ でない有理数を $x=p^a\frac{m}{n}$（$p\nmid mn$）と書いたとき、$v_p(x)=a$ を $p$ 進付値と呼びます。

絶対値は $|x{|}_p=p^{-v_p(x)}$ と決めます^[3]。$|0{|}_p=0$ とおく。

付値は $v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y)$ と $v_p(x+y)\ge \min \{v_p(x),v_p(y)\}$ を満たします。$2$ つ目を絶対値で書くと、通常の三角不等式より強い形になる。

$$|x+y{|}_p\le \max \{|x{|}_p,|y{|}_p\}$$

これを強三角不等式、非アルキメデス的と呼びます。

どの三角形も二等辺になる

強三角不等式からは、直感に反する事実がいくつも出ます。$|x{|}_p\ne |y{|}_p$ なら等号が成り立つので、$3$ 点のうち $2$ 辺の長さが必ず一致する。

球の中のどの点も中心になります。半径が離散的な値しかとらないので、球は入れ子になるか、たがいに交わらないかのどちらかです。

図のように ${\mathbb{Z}}_3$ は $3$ つの球に分かれ、それぞれがまた $3$ つに分かれます。木構造がそのまま距離を表している。

完備化は実数と $p$ 進数しかない

$\mathbb{Q}$ の上に絶対値はいくつあるか。答えは意外なほど少ない。

自明でない絶対値は、通常の絶対値のべきか、ある素数 $p$ の $p$ 進絶対値のべきに限られます^[1]。オストロフスキーが 1916 年に示しました^[1]。

だから $\mathbb{Q}$ の完備化は $\mathbb{R}$ か ${\mathbb{Q}}_p$ のどれかです^[1]。ヘンゼルが 19 世紀の終わりに $p$ 進数を作ってから約 20 年後に、その自然さが説明された形になります^[1]。

展開は逆向きに無限

${\mathbb{Q}}_p$ の元は級数で書けます^[3]。

$$x=\sum _{k=k_0}^{\infty }{a}_k{p}^k,0\le a_k<p$$

小数と逆で、負の方向が有限、正の方向が無限です。$p^k$ は $k$ が大きいほど小さいので、この級数はきちんと収束します。

$|x{|}_p\le 1$ の元を集めたものが $p$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_p$ です。射影極限としても書けます^[3]。

$${\mathbb{Z}}_p=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$$

$p^n$ を法とする情報を全部そろえたもの、という読み方になります。

近似を改良し続ける

$p$ 進の世界では、合同式が近似です。$a\equiv b(\mathrm{mod}{p}^n)$ と $|a-b{|}_p\le p^{-n}$ が同じ意味になる^[2]。

近似を $1$ 段上げる手続きがヘンゼルの補題です。1904 年にヘンゼルが証明しました^[2]。

$f\in {\mathbb{Z}}_p[X]$ と $a\in {\mathbb{Z}}_p$ が $f(a)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ かつ $f^{\prime }(a)\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ を満たすなら、$f(\alpha )=0$ かつ $\alpha \equiv a(\mathrm{mod}p)$ となる $\alpha \in {\mathbb{Z}}_p$ がただ $1$ つ存在します^[2]。

微分が $0$ でない、つまり単純根であることが条件です。ニュートン法と同じ構造で、$1$ 回の反復で精度が上がっていく。

例：$7$ 進の世界で $\sqrt{2}$ を作る

$f(X)=X^2-2$ を $p=7$ で見ます。$3^2=9\equiv 2(\mathrm{mod}7)$ なので $a=3$ が根、$f^{\prime }(3)=6\not\equiv 0(\mathrm{mod}7)$ なので条件を満たします。

順に持ち上げると $3$、$10$、$108$、$2166$、$4567$ と伸びます。$108^2=11664=343\cdot 34+2$ なので、$7^3$ を法として $2$ に一致している。

$7$ 進展開に直すと $3+1\cdot 7+2\cdot 7^2+6\cdot 7^3+1\cdot 7^4+\cdots$ です。この無限級数が ${\mathbb{Z}}_7$ の中で $\sqrt{2}$ になります。

数体でも同じことをする

数体 $K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対しても、$\mathfrak{p}$ 進絶対値で完備化できます。$\mathfrak{p}\mid (p)$ なら $K_{\mathfrak{p}}$ は ${\mathbb{Q}}_p$ の有限拡大です。

拡大次数が $e_{\mathfrak{p}}{f}_{\mathfrak{p}}$ になり、${\sum }_{\mathfrak{p}\mid p}[K_{\mathfrak{p}}:{\mathbb{Q}}_p]=n$ が成り立ちます。素イデアル分解の情報が、完備化の次数として現れる。

分岐や分解の議論は、完備化してからのほうが軽くなります。素イデアルが $1$ つだけの環になるので、${\mathbb{Z}}_p$ と同じ扱いができる。

$p$ で何回割れるかを距離に読み替える。それだけで、合同式が近似になり、無限級数が収束し、素数ごとに別々の解析の場が立ち上がります。

参考