p 進数と p 進絶対値〜有理数の完備化とヘンゼルの補題

$∣6 ∣_{2} = \frac{1}{2}$ 、 $∣48 ∣_{2} = \frac{1}{16}$ 。 $2$ で割り切れる回数が多いほど小さい、という物差しです。

この距離で $Q$ を完備化すると $Q_{2}$ が出ます。 $R$ とは別の完備化があり、しかも素数ごとに $1$ つずつ並んでいる。

割れる回数を距離にする

素数 $p$ を固定します。 $0$ でない有理数を $x = p^{a} \frac{m}{n}$ （ $p ∤ mn$ ）と書いたとき、 $v_{p} (x) = a$ を $p$ 進付値と呼びます。

絶対値は $∣ x ∣_{p} = p^{- v_{p} (x)}$ と決めます^[3]。 $∣0 ∣_{p} = 0$ とおく。

$∣6 ∣_{2} = \frac{1}{2}$	$6 = 2 \cdot 3$ で $2$ が $1$ 回
$∣48 ∣_{2} = \frac{1}{16}$	$48 = 2^{4} \cdot 3$ で $2$ が $4$ 回
$∣6 ∣_{5} = 1$	$5$ で割れないので $v_{5} = 0$
$\frac{1}{4}_{2} = 4$	$\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ で $v_{2} = - 2$

付値は $v_{p} (x y) = v_{p} (x) + v_{p} (y)$ と $v_{p} (x + y) \geq min {v_{p} (x), v_{p} (y)}$ を満たします。 $2$ つ目を絶対値で書くと、通常の三角不等式より強い形になる。

$∣ x + y ∣_{p} \leq max {∣ x ∣_{p}, ∣ y ∣_{p}}$

これを強三角不等式、非アルキメデス的と呼びます。

どの三角形も二等辺になる

強三角不等式からは、直感に反する事実がいくつも出ます。 $∣ x ∣_{p} \neq = ∣ y ∣_{p}$ なら等号が成り立つので、 $3$ 点のうち $2$ 辺の長さが必ず一致する。

球の中のどの点も中心になります。半径が離散的な値しかとらないので、球は入れ子になるか、たがいに交わらないかのどちらかです。

図のように $Z_{3}$ は $3$ つの球に分かれ、それぞれがまた $3$ つに分かれます。木構造がそのまま距離を表している。

完備化は実数と $p$ 進数しかない

$Q$ の上に絶対値はいくつあるか。答えは意外なほど少ない。

自明でない絶対値は、通常の絶対値のべきか、ある素数 $p$ の $p$ 進絶対値のべきに限られます^[1]。オストロフスキーが 1916 年に示しました^[1]。

だから $Q$ の完備化は $R$ か $Q_{p}$ のどれかです^[1]。ヘンゼルが 19 世紀の終わりに $p$ 進数を作ってから約 20 年後に、その自然さが説明された形になります^[1]。

実数

R

通常の絶対値による完備化。素点は $1$ つだけ

p

進数

Q_{p}

$p$ 進絶対値による完備化。素数の個数だけある

展開は逆向きに無限

$Q_{p}$ の元は級数で書けます^[3]。

$x = k = k_{0} \sum \infty a_{k} p^{k}, 0 \leq a_{k} < p$

小数と逆で、負の方向が有限、正の方向が無限です。 $p^{k}$ は $k$ が大きいほど小さいので、この級数はきちんと収束します。

$∣ x ∣_{p} \leq 1$ の元を集めたものが $p$ 進整数環 $Z_{p}$ です。射影極限としても書けます^[3]。

$Z_{p} = n lim Z / p^{n} Z$

$p^{n}$ を法とする情報を全部そろえたもの、という読み方になります。

近似を改良し続ける

$p$ 進の世界では、合同式が近似です。 $a \equiv b (mod p^{n})$ と $∣ a - b ∣_{p} \leq p^{- n}$ が同じ意味になる^[2]。

近似を $1$ 段上げる手続きがヘンゼルの補題です。1904 年にヘンゼルが証明しました^[2]。

$f \in Z_{p} [X]$ と $a \in Z_{p}$ が $f (a) \equiv 0 (mod p)$ かつ $f^{'} (a) \neq \equiv 0 (mod p)$ を満たすなら、 $f (α) = 0$ かつ $α \equiv a (mod p)$ となる $α \in Z_{p}$ がただ $1$ つ存在します^[2]。

微分が $0$ でない、つまり単純根であることが条件です。ニュートン法と同じ構造で、 $1$ 回の反復で精度が上がっていく。

例： $7$ 進の世界で $2$ を作る

$f (X) = X^{2} - 2$ を $p = 7$ で見ます。 $3^{2} = 9 \equiv 2 (mod 7)$ なので $a = 3$ が根、 $f^{'} (3) = 6 \neq \equiv 0 (mod 7)$ なので条件を満たします。

順に持ち上げると $3$ 、 $10$ 、 $108$ 、 $2166$ 、 $4567$ と伸びます。 $10 8^{2} = 11664 = 343 \cdot 34 + 2$ なので、 $7^{3}$ を法として $2$ に一致している。

$7$ 進展開に直すと $3 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 7^{2} + 6 \cdot 7^{3} + 1 \cdot 7^{4} + \dots$ です。この無限級数が $Z_{7}$ の中で $2$ になります。

$R$ には $2$ が入り、 $Q_{7}$ にも入る。ところが $Q_{3}$ には入りません。

$x^{2} \equiv 2 (mod 3)$ に解がなく、持ち上げる出発点そのものがない。

数体でも同じことをする

数体 $K$ の素イデアル $p$ に対しても、 $p$ 進絶対値で完備化できます。 $p ∣ (p)$ なら $K_{p}$ は $Q_{p}$ の有限拡大です。

拡大次数が $e_{p} f_{p}$ になり、 $\sum_{p ∣ p} [K_{p} : Q_{p}] = n$ が成り立ちます。素イデアル分解の情報が、完備化の次数として現れる。

分岐や分解の議論は、完備化してからのほうが軽くなります。素イデアルが $1$ つだけの環になるので、 $Z_{p}$ と同じ扱いができる。

$Q_{5}$ の中に $- 1$ は存在しますか。

存在しない。 $- 1$ は平方数ではないから
存在する。 $2^{2} \equiv - 1 (mod 5)$ から持ち上がるから
存在するが、ヘンゼルの補題では作れない

__RESULT__

$f (X) = X^{2} + 1$ について $f (2) = 5 \equiv 0 (mod 5)$ 、 $f^{'} (2) = 4 \neq \equiv 0 (mod 5)$ です。ヘンゼルの補題の条件を満たすので、 $α \equiv 2 (mod 5)$ となる $α \in Z_{5}$ で $α^{2} = - 1$ となるものが存在します。

$p$ で何回割れるかを距離に読み替える。それだけで、合同式が近似になり、無限級数が収束し、素数ごとに別々の解析の場が立ち上がります。

参考

Keith Conrad, *Ostrowski's theorem for Q*, University of Connecticut

Keith Conrad, *Hensel's lemma*, University of Connecticut

p-adic number - Encyclopedia of Mathematics

$|6|_2 = \frac{1}{2}$、$|48|_2 = \frac{1}{16}$。$2$ で何度も割り切れる数ほど小さくなる絶対値です。$|x+y|_p \leq \max\{|x|_p, |y|_p\}$ という強三角不等式から、球は入れ子か交わらないかの二択になり、$\mathbb{Z}_3$ は 3 分岐の木になる。オストロフスキーが 1916 年に示したとおり、$\mathbb{Q}$ の完備化は $\mathbb{R}$ か $\mathbb{Q}_p$ しかありません。ヘンゼルの補題で $\sqrt{2}$ を $\mathbb{Z}_7$ の中に作ると $3, 10, 108, 2166$ と精度が上がり、$3 + 7 + 2 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7^3 + \cdots$ に落ち着きます。