区間の端も候補に入れないと3次関数の最大値は決まらない

$f (x) = x^{3} - 3 x$ を $- 2 \leq x \leq 3$ で考えると、最大値は $18$ です。極大値は $2$ ですが、そちらではありません。

$x = 3$ という右端で $f (3) = 27 - 9 = 18$ になり、極大値をはるかに上回ります。

2 次関数なら頂点だけ見れば済みました。3 次関数では、区間の端も候補に入れないと答えが出ません^[1]。

候補は 2 種類だけ

閉区間 $[a, b]$ での最大値と最小値は、次のどちらかで起きます。

区間の端

$f (a)$ と $f (b)$ 。区間が切れている以上、そこで打ち止めになる

区間の中の極値

$f^{'} (x) = 0$ の解が区間の中にあるときだけ。外にあれば候補に入らない

候補を全部書き出して、いちばん大きいものが最大値、いちばん小さいものが最小値です。

途中で急に飛び上がることはありません。多項式のグラフはつながっているので、山と谷と端しか候補になりません。

例： $x^{3} - 3 x$ を $[- 2, 3]$ で

導関数から始めます。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = - 1$ と $x = 1$ 。どちらも区間 $[- 2, 3]$ の中にあります。

$x f^{'} (x) f (x) - 2 - 2 \dots + ↗ - 1 02 \dots - ↘ 10 - 2 \dots + ↗ 318$

候補は 4 つ。 $f (- 2) = - 2$ 、 $f (- 1) = 2$ 、 $f (1) = - 2$ 、 $f (3) = 18$ です。

最大値は $18$ 、最小値は $- 2$ になります。最小値は $x = - 2$ と $x = 1$ の 2 か所でとる。

極大値は「近所でいちばん高い」だけです。遠くにもっと高い場所があれば、最大値にはなりません^[2]。

例：端で最大も最小もとる

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ を $0 \leq x \leq 4$ で調べます。

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x - 1) (x - 2)$

解は $x = 1$ と $x = 2$ で、どちらも区間の中にあります。

$f (0) = 0$ 、 $f (1) = 2 - 9 + 12 = 5$ 、 $f (2) = 16 - 36 + 24 = 4$ 、 $f (4) = 128 - 144 + 48 = 32$ 。

$x$	$f (x)$	種類
$0$	$0$	左端
$1$	$5$	極大
$2$	$4$	極小
$4$	$32$	右端

最大値は $32$ 、最小値は $0$ 。どちらも端でとりました。極大の $5$ も極小の $4$ も、どちらでもありません。

例：極値が区間の外にある

$f (x) = x^{3} - 3 x$ を $2 \leq x \leq 5$ で考えます。

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = \pm 1$ で、どちらも区間の外です。候補は端の 2 つだけになります。

区間の中では $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 > 0$ なので、 $f$ はずっと増えている。

$f (2) = 8 - 6 = 2$ 、 $f (5) = 125 - 15 = 110$ 。最大値は $110$ 、最小値は $2$ です。

単調な区間では、左端が最小で右端が最大。増減表を書くまでもなく決まります。

例：極値が片方だけ入る

同じ関数を $0 \leq x \leq 2$ で考えます。 $x = 1$ は区間の中、 $x = - 1$ は外です。

候補は $f (0) = 0$ 、 $f (1) = - 2$ 、 $f (2) = 2$ の 3 つ。

最大値は $2$ 、最小値は $- 2$ になります。極小値がそのまま最小値になった形です。

$f^{'} (x) = 0$ を解く

解が区間の中にあるかを確かめる

中にある解と両端の値を並べて比べる

2 段目を飛ばすと、区間の外の極値まで候補に入れてしまいます。解が出るたびに区間と照らします。

区間をずらすと、赤と緑の点が端と山谷のあいだを行き来します。関数は同じでも答えは変わる。

例：4 次関数でも同じ

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ を $- 1 \leq x \leq 3$ で調べます。

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2)$

解は $x = 0$ と $x = \pm 2$ 。区間に入るのは $x = 0$ と $x = 2$ の 2 つです。 $x = - 2 \approx - 1.41$ は外。

$f (- 1) = 1 - 4 = - 3$ 、 $f (0) = 0$ 、 $f (2) = 4 - 8 = - 4$ 、 $f (3) = 81 - 36 = 45$ 。

最大値は $45$ 、最小値は $- 4$ です。次数が上がっても、候補を並べて比べる手順は変わりません。

区間に文字が入る場合

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の $0 \leq x \leq a$ における最大値を、 $a > 0$ の範囲で求めます。

区間の中では $x = 1$ が極小です。極大の $x = - 1$ は $0$ より左なので入りません。

$f$ は $x = 1$ まで減り、そこから増えます。最大値の候補は左端の $f (0) = 0$ と右端の $f (a) = a^{3} - 3 a$ だけ。

どちらが大きいかは $a$ しだいです。 $a^{3} - 3 a > 0$ を解きます。

$a (a^{2} - 3) > 0$

$a > 0$ なので $a^{2} > 3$ 、つまり $a > 3$ です。

0 < a \leq 3

右端がまだ低い。最大値は左端の $f (0) = 0$

3 < a

右端が追い越す。最大値は $f (a) = a^{3} - 3 a$

$a = 3$ のときは $f (3) = 33 - 33 = 0$ で、左端と並びます。境目がここになる。

$a$ が小さいうちは左端が高いままです。 $3$ を越えたところで右端が追い抜きます。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ の $0 \leq x \leq 4$ における最大値はいくつですか。

$0$
$4$
$27$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ なので候補は $x = 0, 1, 3, 4$ 。値は $0$ 、 $4$ 、 $0$ 、 $4$ です。極大値 $4$ と右端の $f (4) = 64 - 96 + 36 = 4$ が並び、最大値は $4$ になります。

区間外の解を見分ける問題も確かめます。

$f (x) = x^{3} - 12 x$ の $3 \leq x \leq 5$ における最小値はいくつですか。

$- 9$
$- 16$
$65$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x + 2) (x - 2)$ の解 $x = \pm 2$ はどちらも区間の外です。区間内では $f^{'} (x) > 0$ なので単調増加で、最小は左端の $f (3) = 27 - 36 = - 9$ 。 $- 16$ は区間外にある $x = 2$ での極小値にあたります。

候補を全部出して比べる。この一手で、区間が変わっても文字が入っても同じように片づきます。

参考文献

4.3 Maxima and Minima. Calculus Volume 1, OpenStax.

Extremum. Encyclopedia of Mathematics.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

$x^3 - 3x$ を $[-2, 3]$ で見ると最大値は 18。極大値の 2 ではなく、右端でとります。候補になるのは区間の両端と、区間の中にある極値だけ。$f'(x) = 0$ の解が区間の外なら候補から外します。$2x^3 - 9x^2 + 12x$ を $[0, 4]$ で見ると最大も最小も端でとり、$x^3 - 3x$ を $[2, 5]$ で見ると単調増加なので端だけで決まる。4 次関数、そして右端が文字の $[0, a]$ で $\sqrt{3}$ を境に主役が入れかわる場合まで扱いました。