3次関数の最大値・最小値を求める：区間が指定された問題の解法

3 次関数の最大値・最小値を求める問題は、2 次関数のときとは少し事情が異なる。2 次関数なら頂点さえ押さえれば最大・最小がわかったが、3 次関数では極大値や極小値が存在しても、それが区間内の最大値・最小値になるとは限らない。区間の端点の値との比較が必ず必要になる。

基本方針

閉区間 $[a, b]$ における関数 $f (x)$ の最大値・最小値は、次の候補の中から見つかる。

区間の端点

f (a)

と

f (b)

区間内の極値（

f^{'} (x) = 0

の解が区間内にある場合）

この候補をすべて計算し、最も大きいものが最大値、最も小さいものが最小値だ。3 次関数に限らず、閉区間での最大・最小問題はこの原則に従う。

例題 1

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の $- 2 \leq x \leq 3$ における最大値と最小値を求めよ。

まず導関数を求める。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 3 (x + 1) (x - 1)$

$f^{'} (x) = 0$ とすると $x = - 1, 1$ で、いずれも区間 $[- 2, 3]$ に含まれる。

次に、端点と極値の候補をすべて計算する。

$x$	$f (x)$	種類
$- 2$	$- 2$	左端
$- 1$	$2$	極大
$1$	$- 2$	極小
$3$	$18$	右端

候補の中で最大は $f (3) = 18$ 、最小は $f (- 2) = f (1) = - 2$ となる。

ここで重要なのは、極大値 $f (- 1) = 2$ が最大値ではないという点だ。右端の $f (3) = 18$ のほうがはるかに大きい。極大値はあくまで「近くの値より大きい」だけであって、区間全体での最大値とは限らない。

極大値・極小値

局所的な山の頂上・谷の底。周辺と比べて大きい／小さいだけ。

最大値・最小値

区間全体の中で最も大きい値・小さい値。端点も含めて比較する。

例題 2

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ の $0 \leq x \leq 4$ における最大値と最小値を求めよ。

導関数は、

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x^{2} - 3 x + 2) = 6 (x - 1) (x - 2)$

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = 1, 2$ で、どちらも区間 $[0, 4]$ に入っている。各候補の値を計算すると、

$x$	$f (x)$	種類
$0$	$0$	左端
$1$	$5$	極大
$2$	$4$	極小
$4$	$16$	右端

最大値は $f (4) = 16$ 、最小値は $f (0) = 0$ である。極大値 $5$ も極小値 $4$ も、端点の値と比べると最大でも最小でもない。この問題では、最大・最小がどちらも端点で実現されるパターンになっている。

極値が区間外にある場合

$f^{'} (x) = 0$ の解がすべて指定区間の外にあることもある。たとえば $f (x) = x^{3} - 3 x$ を区間 $[2, 5]$ で考えると、 $f^{'} (x) = 0$ の解 $x = \pm 1$ はどちらも区間外だ。この場合、区間内に極値は存在せず、端点だけを比較すればよい。

$f (2) = 2$ 、 $f (5) = 110$ なので、最大値は $110$ 、最小値は $2$ となる。区間内で $f^{'} (x) > 0$ が成り立つため、 $f (x)$ は単調増加しており、端点での比較だけで結論が出る。

増減表を書く意義

候補の値さえ計算すれば答えは出るが、増減表を書くと関数の振る舞いが視覚的にわかりやすくなる。例題 1 の増減表は次のようになる。

x  | -2  ... -1  ...  1  ...  3
f' |     +    0   -   0   +
f  | -2  ↗   2  ↘  -2  ↗  18

増減表を書けば、極大・極小の位置と端点の大小関係が一目でわかるため、見落としを防げる。特に試験では、増減表を書いたかどうかが部分点に影響することもあるので、省略せずに書くのが望ましい。

よくある間違い

極大値を最大値と即断する

極大値は局所的な性質であり、端点の値がそれを超えることがある。必ず全候補を比較すること。

区間外の極値を候補に含める

$f^{'} (x) = 0$ の解が区間外なら、その極値は候補に入らない。区間の端点だけで判定する。

まとめ

閉区間での最大値・最小値を求める手順は明快だ。 $f^{'} (x) = 0$ を解いて区間内の極値候補を出し、端点の値とあわせてすべて比較する。3 次関数では極大値が最大値とは限らず、極小値が最小値とは限らないという点が、2 次関数との大きな違いになる。「候補を全部出して比較する」という原則を守れば、確実に正答にたどり着ける。