「p を法とする q」と「q を法とする p」が結びつく、相互法則の全体像

$x^{2} \equiv 3 (mod 383)$ が解けるかどうかは、 $x^{2} \equiv 383 (mod 3)$ が解けるかどうかでほぼ決まります。 $2$ つの素数の役割を入れ替えても、答えが対応する。

理由が見えないのに成り立つ関係です。ガウスがこれを証明し、その後の整数論は「相互法則を一般化する」という一本の筋で進みました^[1]。

ルジャンドル記号

$p$ を奇素数、 $p ∤ a$ とします。 $x^{2} \equiv a (mod p)$ に解があるとき $a$ は平方剰余、ないとき平方非剰余です。

$(\frac{a}{p}) = {+ 1 - 1 a が平方剰余 a が平方非剰余$

オイラーの規準から $(\frac{a}{p}) \equiv a^{(p - 1) /2} (mod p)$ が成り立ちます。記号は $a$ について乗法的なので、 $a$ を素因数分解すれば計算が分解できる。

相互法則と補充法則

異なる奇素数 $p, q$ について次が成り立ちます。

$(\frac{p}{q}) (\frac{q}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2} \cdot \frac{q - 1}{2}}$

右辺が $- 1$ になるのは $p \equiv q \equiv 3 (mod 4)$ のときだけ。それ以外では $2$ つの記号が一致します。

$- 1$ と $2$ については別に規則が要ります。

$(\frac{- 1}{p})$	$p \equiv 1 (mod 4)$ で $+ 1$ 、 $p \equiv 3$ で $- 1$
$(\frac{2}{p})$	$p \equiv \pm 1 (mod 8)$ で $+ 1$ 、 $p \equiv \pm 3$ で $- 1$

図の橙は $3, 7, 11, 19, 23$ どうしの交点です。それ以外のマスでは $(\frac{p}{q}) = (\frac{q}{p})$ が成り立ちます。

例： $(\frac{219}{383})$ を最後まで

$383$ は素数で、 $219 = 3 \cdot 73$ です。記号が乗法的なので $2$ つに分けます。

$(\frac{219}{383}) = (\frac{3}{383}) (\frac{73}{383})$

$3$ と $383$ はどちらも $4$ で割って $3$ 余るので、符号が反転します。 $(\frac{3}{383}) = - (\frac{383}{3})$ で、 $383 \equiv 2 (mod 3)$ 。 $3$ を法とする平方数は $0$ と $1$ だけなので $(\frac{2}{3}) = - 1$ 、よって $(\frac{3}{383}) = + 1$ です。

$73$ は $4$ で割って $1$ 余るので、こちらは反転しません。 $(\frac{73}{383}) = (\frac{383}{73})$ で、 $383 = 5 \cdot 73 + 18$ より $(\frac{18}{73})$ 。

$18 = 2 \cdot 3^{2}$ なので $(\frac{18}{73}) = (\frac{2}{73})$ 。 $73 \equiv 1 (mod 8)$ なので $+ 1$ です。

合わせて $(\frac{219}{383}) = + 1$ 。実際 $16 9^{2} = 28561 = 383 \cdot 74 + 219$ なので、 $x = 169$ が解になります。

計算はユークリッドの互除法とそっくりに進みます。

大きい数を小さい数で割った余りに置き換え、法と真数を入れ替える。これを繰り返すだけ。

素数の分解則として読む

相互法則は、二次体で素数がどう分かれるかを述べたものでもあります。 $K = Q (d)$ の判別式を $Δ$ とすると、奇素数 $p$ の振る舞いは $Δ$ を $p$ で見るだけで決まる^[2]。

平方剰余なら

$(p)$ は $2$ つの素イデアルに分かれる。剰余体は $F_{p}$

平方非剰余なら

$(p)$ は素イデアルのまま。剰余体は $F_{p^{2}}$

相互法則を使うと、この条件を $p$ を法とする話から $Δ$ を法とする話に翻訳できます^[2]。すると分解のパターンが $p mod ∣Δ∣$ だけで決まる、つまり周期的になる。

$Q (i)$ なら $p \equiv 1 (mod 4)$ で分解、 $Q (2)$ なら $p \equiv \pm 1 (mod 8)$ で分解します。周期がそのまま判別式の大きさになっている。

高次へ持ち上げる

$2$ 乗を $3$ 乗や $4$ 乗に替えると、話は $Z$ の外へ出ます。三次剰余の相互法則はアイゼンシュタイン整数環 $Z [ω]$ で、四次剰余の相互法則はガウス整数環 $Z [i]$ で定式化されます。

$n$ 乗剰余なら $Z [ζ_{n}]$ が舞台になります。 $1$ の $n$ 乗根がないと、そもそも「 $n$ 乗剰余記号」が値をとる先がない。

相互法則を一般化したい、という動機が円分体の研究を押し進めました^[1]。19 世紀末には、アーベル拡大とイデアル類群の関係、素数の密度定理、相互法則という $3$ つの流れが合流します^[1]。

アルティンがまとめた形

合流の先が類体論です。 $L / K$ をアーベル拡大とすると、不分岐な素イデアル $p$ にフロベニウス元が対応します。

アルティンは 1923 年に $L$ 関数を定義し、その考察から $I_{m} / H_{m}$ と $Gal (L / K)$ のあいだの同型を見つけました^[1]。素イデアルをフロベニウス元へ送る写像です^[1]。

この同型がアルティンの相互法則で、二次相互法則も高次相互法則もその特別な場合になります。 $L = K (a)$ ととったときのフロベニウス元の計算が、ルジャンドル記号そのものです。

$(\frac{7}{11})$ と $(\frac{11}{7})$ の関係はどれですか。

等しい
符号が逆になる
一方が $0$ になる

__RESULT__

$7 \equiv 3$ 、 $11 \equiv 3 (mod 4)$ なので、相互法則の右辺 $(- 1)^{3 \cdot 5}$ が $- 1$ になります。実際 $(\frac{7}{11}) = - 1$ 、 $(\frac{11}{7}) = (\frac{4}{7}) = + 1$ です。

$2$ つの素数を入れ替えても答えが対応する。この不思議な事実が、円分体、類体論、そして非アーベルの世界への入口になっています。

出典

Keith Conrad, *History of class field theory*, University of Connecticut

B Edixhoven, L Moret-Bailly, *Théorie algébrique des nombres*, Université de Rennes 1

符号が反転するのは $p \equiv q \equiv 3 \pmod 4$ のときだけ、それ以外では $\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right)$ です。$\left(\frac{219}{383}\right)$ を $3$ と $73$ に分け、互除法のように法と真数を入れ替えると $+1$ が出て、実際 $169^2 = 383 \cdot 74 + 219$。この法則は二次体の分解則そのもので、$\mathbb{Q}(i)$ なら $p \equiv 1 \pmod 4$、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ なら $p \equiv \pm 1 \pmod 8$ で分解する。三次・四次の相互法則に $\mathbb{Z}[\omega]$ や $\mathbb{Z}[i]$ が要るわけまで。