曲線外の点から接線を引く問題の解き方：数学Ⅱ微分

曲線 $y = f (x)$ の接線を求める問題には、大きく分けて 2 つのパターンがある。1 つは「曲線上の点における接線」、もう 1 つは「曲線上にない点から引いた接線」だ。前者は基本公式に代入するだけで解けるが、後者はひと工夫が必要になる。

曲線上の点における接線（復習）

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の方程式は、次の公式で求まる。

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

たとえば $y = x^{2}$ 上の点 $(1, 1)$ における接線なら、 $f^{'} (x) = 2 x$ より $f^{'} (1) = 2$ だから、

$y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$

これは微分の基本問題であり、接点が最初から与えられているので迷うことは少ない。

曲線外の点から接線を引く問題

ところが「点 $(0, - 1)$ から曲線 $y = x^{2}$ に接線を引け」のような問題では、接点がわからない。与えられた点 $(0, - 1)$ は曲線上にないため、先ほどの公式にそのまま代入しても接線は得られない。

この種の問題では、接点を文字でおくのが定石だ。

解法の手順

接点を $(t, t^{2})$ とおく。 $y = x^{2}$ 上の点だから、 $y$ 座標は $t^{2}$ になる。この接点における接線の方程式は、

$y - t^{2} = 2 t (x - t)$

整理すると、

$y = 2 t x - t^{2}$

この接線が点 $(0, - 1)$ を通るという条件を使う。 $x = 0$ , $y = - 1$ を代入すると、

$- 1 = 2 t \cdot 0 - t^{2} = - t^{2}$

よって $t^{2} = 1$ だから $t = \pm 1$ となる。

t = 1

のとき

接線は $y = 2 x - 1$ 。接点は $(1, 1)$ で、確かに曲線上にある。

t = - 1

のとき

接線は $y = - 2 x - 1$ 。接点は $(- 1, 1)$ で、こちらも曲線上にある。

点 $(0, - 1)$ からは 2 本の接線が引けるという結果になった。曲線外の点から接線を引く場合、接線が複数本存在することは珍しくない。

なぜ接点を文字でおくのか

この解法のポイントは「接点の座標がわからないなら、文字で表して条件を立てる」という考え方にある。接線の方程式には接点の情報が含まれており、その接線が通過すべき点の座標を代入すれば、接点に関する方程式が得られる。

接点を $(t, f (t))$ とおく

接線の方程式を $t$ で表す

通過点の座標を代入して $t$ を求める

$t$ の値を接線の式に戻す

この手順は $y = x^{2}$ に限らず、 $y = x^{3}$ や $y = x^{2} - 3 x + 1$ など、どんな関数でも同じように使える。

練習問題

点 $(2, 0)$ から曲線 $y = x^{2} - 4 x + 5$ に引いた接線の方程式を求めよ。

接点を $(t, t^{2} - 4 t + 5)$ とおく。 $f^{'} (x) = 2 x - 4$ なので、接点における接線は、

$y - (t^{2} - 4 t + 5) = (2 t - 4) (x - t)$

展開・整理すると、

$y = (2 t - 4) x - t^{2} + 5$

この接線が $(2, 0)$ を通るので、

$0 = (2 t - 4) \cdot 2 - t^{2} + 5$

$0 = 4 t - 8 - t^{2} + 5 = - t^{2} + 4 t - 3$

$t^{2} - 4 t + 3 = 0 ⟹ (t - 1) (t - 3) = 0$

$t = 1$ のとき接線は $y = - 2 x + 4$ 、 $t = 3$ のとき接線は $y = 2 x - 4$ となる。

点 $(0, - 4)$ から曲線 $y = x^{2}$ に接線を引くとき、接点の $x$ 座標として正しいものはどれか。

$t = \pm 1$
$t = \pm 3$
$t = \pm 2$
$t = 0$ のみ

__RESULT__

接線 $y = 2 t x - t^{2}$ が $(0, - 4)$ を通る条件は $- 4 = - t^{2}$ 、つまり $t^{2} = 4$ なので $t = \pm 2$ が正解。

まとめ

曲線上の点が与えられているなら公式にそのまま代入すればよい。一方、曲線外の点から接線を引く問題では、接点を $t$ とおいて条件式を立てるのが基本戦略だ。 $t$ の方程式が 2 次になれば接線は最大 2 本、3 次関数なら最大 3 本引ける可能性がある。問題を見たとき「接点が曲線上か、そうでないか」を最初に判断することが、正しい解法を選ぶための第一歩になる。