接点が分からないなら文字でおく〜曲線の外の点から引く接線

点 $(0,-1)$ から放物線 $y=x^2$ へは、接線が 2 本引けます。$y=2x-1$ と $y=-2x-1$ です。

この点は放物線の上にありません。だから接点がどこかも分かっていない。接点を先に決められないところが、この型の難しさです。

わからないものは文字でおきます。接点を $(t,t^2)$ として、条件から $t$ を求める^[1]。

接点が与えられている場合との違い

接点が分かっていれば、公式に代入するだけで終わります。

$y=x^2$ の $(1,1)$ なら $f^{\prime }(1)=2$ で、接線は $y=2(x-1)+1=2x-1$。

ところが「点 $(0,-1)$ から接線を引け」では、代入する $a$ がありません。$(0,-1)$ は接点ではないためです。

問題を見たら、与えられた点が曲線の上にあるかどうかを先に確かめます。代入して等式が成り立つかを見るだけ。

$(0,-1)$ を $y=x^2$ に入れると $-1=0$ で成り立ちません。曲線の外の点です。

解く手順

接点を $(t,f(t))$ とおくところから始めます。

$y=x^2$ の接点を $(t,t^2)$ とすると、傾きは $f^{\prime }(t)=2t$ です。

$$y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2$$

この直線が $(0,-1)$ を通るので、$x=0$、$y=-1$ を入れます。

$$-1=-t^2$$

$t^2=1$ から $t=\pm 1$。接点が 2 つ出たので、接線も 2 本になります。

$t=1$ なら $y=2x-1$、$t=-1$ なら $y=-2x-1$ です。

赤い点は接点ではありません。2 本の接線がそこで交わっているだけです。緑の点が接点になります。

例：頂点がずれた放物線

点 $(2,0)$ から $y=x^2-4x+5$ に引いた接線を求めます。

$f^{\prime }(x)=2x-4$ なので、接点を $(t,t^2-4t+5)$ とすると傾きは $2t-4$ です。

$$y=(2t-4)(x-t)+t^2-4t+5=(2t-4)x-t^2+5$$

$(2,0)$ を代入します。

$$\begin{array}{rl}0& =(2t-4)\cdot 2-t^2+5\\ & =-t^2+4t-3\end{array}$$

$t^2-4t+3=0$ から $(t-1)(t-3)=0$ で、$t=1,3$。

$t=1$ のとき接線は $y=-2x+4$、$t=3$ のとき $y=2x-4$ です。

例：接線が 1 本だけになる

点 $(1,0)$ から $y=x^2$ に引きます。接線 $y=2tx-t^2$ に代入する。

$$0=2t-t^2=t(2-t)$$

$t=0$ と $t=2$ が出ます。接線は $y=0$ と $y=4x-4$ の 2 本です。

一方、原点 $(0,0)$ から引くと $0=-t^2$ で $t=0$ の重解。接線は $y=0$ の 1 本だけになります。

原点は放物線の上にあるので、そこが接点そのもの。曲線上の点から引ける接線は 1 本です。

例：接線が引けない位置

点 $(0,1)$ から $y=x^2$ に引こうとします。

$$1=-t^2$$

左辺は正、右辺は $0$ 以下なので、成り立つ $t$ がありません。実数解なしです。

この点は放物線の内側にあります。内側からは、どちらを向いても曲線を突き抜けてしまう。

放物線の下側にいるあいだは 2 本、境目の曲線上で 1 本、内側に入ると $0$ 本。$t$ の 2 次方程式の判別式が、この境目を決めています。

例：3 次関数から引く

点 $(2,0)$ から $y=x^3$ に引いた接線を求めます。

接点を $(t,t^3)$ とすると $f^{\prime }(t)=3t^2$ なので、接線はこうなります。

$$y=3t^2(x-t)+t^3=3t^{2}x-2t^3$$

$(2,0)$ を代入して整理します。

$$\begin{array}{rl}0& =6t^2-2t^3\\ & =2t^2(3-t)\end{array}$$

$t=0$ が重解、$t=3$ が単解です。接線は $t=0$ から $y=0$、$t=3$ から $y=27x-54$ の 2 本。

3 次関数では $t$ の方程式が 3 次になるので、解が最大 3 つ。接線も最大 3 本まで引けます^[2]。

例：曲線上の点から 2 本引ける

放物線では、曲線上の点から引ける接線は 1 本だけでした。3 次関数だと事情が変わります。

$y=x^3-3x$ の点 $(1,-2)$ で試します。$f(1)=1-3=-2$ なので、この点は曲線の上にあります。

接点を $(t,t^3-3t)$ とすると、接線は次のとおり。

$$y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t=(3t^2-3)x-2t^3$$

$(1,-2)$ を代入して整理します。

$$\begin{array}{rl}-2& =3t^2-3-2t^3\\ 2t^3-3t^2+1& =0\\ (t-1{)}^2(2t+1)& =0\end{array}$$

$t=1$ が重解、$t=-\frac{1}{2}$ が単解です。

$t=1$ からは $y=-2$ という水平な接線。これは点そのものでの接線です。

$t=-\frac{1}{2}$ からは $y=-\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}$。曲線の左側で接し、そこから伸びて $(1,-2)$ を通ります。

曲線の上にある点でも、離れた場所で接する線が別に引けることがある。3 次関数では最初にこれを疑います。

接点が重解になる意味

接するというのは、曲線と直線を連立したときに重解が出る、ということでした^[3]。

$y=x^2$ と $y=2tx-t^2$ を連立すると $x^2-2tx+t^2=(x-t{)}^2=0$ になります。

$x=t$ が重解です。1 点で 2 回出会っている、という形が接するの中身になります。

本数の判定も確かめます。

接点が分からないなら文字でおく。この一手さえ出れば、あとは代入して方程式を解くだけです。

参考