有限個の多項式で足りる - ヒルベルトの基底定理

$R$ がネーター環なら、多項式環 $R[x]$ もネーター環になります^[1,2,3]。ヒルベルトの基底定理です。

変数を足す操作を繰り返せば、$R[x_1,\dots ,x_n]$ まで一気に届く。体 $k$ は自明にネーターなので、$k[x_1,\dots ,x_n]$ のイデアルはどれも有限個の多項式で生成される。

「無限個の方程式を書いても、途中から新しいことは何も言えない」という主張だと読めます。

証明: 最高次係数を集める

$J$ を $R[x]$ のイデアルとします。次数 $n$ の元の最高次係数を集め、$0$ を足したものを $D_n$ と置く^[3]。

$D_n$ は $R$ のイデアルになる。同じ次数の元どうしの和も、係数倍も、最高次係数の側でそのまま対応するためです。

しかも $D_n\subseteq D_{n+1}$ が成り立つ。$x$ を掛ければ次数が $1$ 上がり、最高次係数は変わらない。

$R$ がネーターなので、この昇鎖は途中で止まる。ある $r$ から先で $D_r=D_{r+1}=\cdots$ となる^[3]。

各 $D_n$ は有限生成なので、その生成元を最高次係数に持つ多項式を $J$ の中から選べる。$n$ が $r$ 以下の分だけ選べば、有限個で済む。

あとは次数についての帰納法です^[3]。$f\in J$ の次数が $r$ より大きければ、選んだ多項式に適当な単項式を掛けて引くと次数が下がる。

$r$ 以下まで下がったら、その次数の生成元で処理できる。こうして $J$ が有限個の多項式で生成されると分かります。

例: 2 変数で証明を追う

$k[x,y]$ を $(k[y])[x]$ と見ます。$k[y]$ は $1$ 変数なので単項イデアル整域になり、ネーター環です。

イデアル $J=(x^2,xy)$ をとり、$x$ についての次数で分ける。$x$ の次数が $0$ の元は $J$ の中に $0$ しかないので、$D_0=0$。

$x$ の次数が $1$ の元は $a(y)\cdot xy$ の形だけ。最高次係数は $a(y)\cdot y$ なので $D_1=(y)$ になります。

$x$ の次数が $2$ になると $x^2$ そのものが使えます。最高次係数に $1$ が現れるので $D_2=k[y]$ で、ここから先はもう伸びない。

止まる番号は $r=2$ です。$D_1$ の生成元 $y$ を最高次係数に持つ $xy$ と、$D_2$ の生成元 $1$ を持つ $x^2$ を選べば、この $2$ 本で $J$ が生成されます。

次数が $3$ 以上の元は、$x^2$ に単項式を掛けて引くと次数が下がる。降りきったところで $xy$ が引き受けます。

変数の順序は結論を変えない

$k[x,y]$ を $(k[x])[y]$ と見ても、結論は同じです。どちらの順に変数を足しても、ネーター性は保たれる。

ただし途中に現れる $D_n$ の中身は変わります。証明の道具が順序に依存しても、結論は依存しません。

系: 有限個の方程式で足りる

$k^n$ の部分集合を無限個の多項式で定義しても、そのうち有限個で同じ集合が切り出せます^[2]。

生成するイデアルが有限生成だからです。生成元だけを残せば、消える点の集合は変わりません。

言いかえると、どのアフィン多様体も有限個の超曲面の共通部分になる^[1]。

$4$ 本目から先を足しても、残る点は動きません。無限に式を並べても、効いているのは最初の有限個だけ。

系: ザリスキ位相が位相になる

この有限性は、位相を入れるところでも効く^[2]。閉集合が任意個の共通部分について閉じている、という確認に使えます。

ドイツ語版の記述では、ザリスキ位相が位相であることの証明のうち、いちばん難しい部分がここだとされています^[2]。

反例: 変数が無限にある場合

$k[x_1,x_2,x_3,\dots ]$ はネーターになりません。イデアル $(x_1,x_2,\dots )$ が有限生成でないためです。

有限個の生成元をとると、そこに現れる変数も有限個で終わる。使われていない変数は、その有限個から作れません。

変数の本数が有限であることが、定理の前提として効く。$1$ 本足すたびに $1$ 回適用する、という形の証明だからです。

逆向きは剰余環から出る

$R[x]$ がネーター環なら、$R$ もネーター環になります。$R\cong R[x]/(x)$ と書けるので、剰余環がネーター性を受けつぐことから従う。

つまり $R$ と $R[x]$ のネーター性は同値です。変数を足しても引いても、この性質は動きません。

有限生成代数まで広がる

ネーター環 $R$ の上の有限生成代数は、すべてネーター環になります^[5]。$R[x_1,\dots ,x_n]$ の剰余環として書けるためです。

体上の有限生成代数、つまりアフィン多様体の座標環がここに入る。代数幾何で扱う環がほとんどネーターになるのは、この系のおかげです。

局所化についても同じことが言えます^[5]。ネーター環を局所化してもネーター環のまま。

単項式イデアルとディクソンの補題

多変数の場合には、別の見方もあります。単項式だけで生成されるイデアルに話を絞ると、議論が組合せ的になる。

ディクソンの補題は、単項式が真に減っていく列が有限で終わることを保証します^[4]。単項式イデアルがつねに有限個の単項式で生成される、という形でも述べられます。

指数の組を格子点と見ると、上向きに閉じた集合が有限個の点で決まる、という主張になる。先頭単項式のイデアルにこの補題を当てると、多変数の場合が処理できます。

グレブナー基底の理論は、この道すじの上に立っています^[4]。

冪級数環でも成り立つ

$R$ がネーター環なら、形式的冪級数環 $R[[x]]$ もネーター環になります。証明の骨は多項式環と同じで、最高次係数のかわりに最低次係数を使う。

冪級数には最高次がないので、下から数える。順序を逆にすると同じ議論が通る。

有限生成でない環はどこにあるか

ネーターでない環を探すには、多項式環から離れる必要があります。変数を無限にするか、連続関数の環のように多項式で書けない対象へ行くか。

基底定理は「方程式で書かれる側は安全だ」と言っています。有限個の変数と有限回の演算にとどまるかぎり、有限性は自動で付いてくる。

ヒルベルトの証明とゴルダン

ヒルベルトはこの定理を $1888$ 年に示し、$1890$ 年の論文「Über die Theorie der algebraischen Formen」で発表しました^[1,2]。

背景は不変式論です^[1]。群の作用で変わらない多項式を全部集めた環を考え、それが有限個の元で生成されるかどうかを問う。この問題が当時の中心にありました^[1]。

同じ論文には零点定理とシジジー定理も入っています^[1]。可換環論と代数幾何の骨格が、ここでまとめて据えられました。

不変式論の第一人者だったパウル・ゴルダンは、この論文を強く退けました^[1]。

ゴルダンはのちに撤回している^[1]。「神学にも見るべきところがあると納得した」と言い直したと伝わります。

なぜ「神学」と呼ばれたか

証明が非構成的だったためです^[1]。有限個の生成元が存在すると示すだけで、それを求める手続きを与えていません。

当時の不変式論は、生成元を実際に書き下す計算の学問でした。答えを出さずに存在だけ言う議論は、数学に見えなかった。

この抽象的なやり方が $20$ 世紀の数学を作り変えます^[1]。存在証明と構成的証明を分けて考える態度が、ここから広がりました。

ヒルベルト自身も、のちに構成的な方法へ立ち返っている^[1]。

グレブナー基底で計算にする

生成元を実際に求める道具は、$80$ 年ほど後に出ました。ブフバーガーが $1965$ 年の学位論文で導入したグレブナー基底です^[4]。

イデアルの生成集合のうち、先頭単項式のイデアルまでそろえたものを指す^[4]。これがあると、多項式がイデアルに属するかどうかを割り算だけで判定できます。

S 多項式を作って割り、余りが $0$ でなければ足す。この操作を繰り返す手続きが、ブフバーガーのアルゴリズムです^[4]。

停止することの根拠に、ディクソンの補題と基底定理が使われる^[4]。存在を保証する定理が、そのまま計算の終了保証に化けています。

よくある誤り

参考文献