Hilbert基底定理

Hilbert 基底定理は、ネーター環の多項式環がふたたびネーター環になることを保証する。可換環論と代数幾何学の基礎を支える定理の一つだ。

定理の主張

$R$ がネーター環ならば、多項式環 $R[x]$ もネーター環である。

帰納的に適用すれば、$R$ がネーター環のとき $R[x_1,\dots ,x_n]$ もネーター環となる。特に、体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\dots ,x_n]$ はネーター環である。

証明の方針

$R[x]$ のイデアル $I$ が有限生成であることを示す。基本的なアイデアは、$I$ の元を次数で分類し、最高次係数を集めてくることにある。

$I$ に属する多項式の最高次係数全体を集めると、$R$ のイデアル $J$ が得られる。$R$ がネーター環なので $J$ は有限生成であり、$J=(a_1,\dots ,a_m)$ と書ける。各 $a_i$ を最高次係数としてもつ $I$ の元 $f_i$ を選ぶ。

次数が $\max \{\mathrm{deg}{f}_i\}$ 未満の部分については帰納法を用いる。これにより、$I$ 全体が $f_1,\dots ,f_m$ と低次数の有限個の元で生成されることが示される。

代数幾何学との関係

Hilbert 基底定理は代数幾何学において本質的な役割を果たす。アフィン多様体のイデアルが有限生成であること、つまり有限個の多項式方程式で定義できることを保証するからだ。

冪級数環への拡張

類似の結果として、$R$ がネーター環ならば形式的冪級数環 $R[[x]]$ もネーター環である。証明は多項式環の場合と同様の議論による。

一方、無限変数の多項式環 $R[x_1,x_2,x_3,\dots ]$ はネーター環にならない。イデアル $(x_1,x_2,x_3,\dots )$ が有限生成でないためだ。Hilbert 基底定理が有限変数に限定されることの本質がここにある。

歴史的背景

この定理は David Hilbert が 1888 年に不変式論の研究の中で証明した。当時は存在証明のみで具体的な生成元の構成を与えなかったため、「神学であって数学ではない」と批判されたという逸話がある。しかし現代では、この抽象的アプローチこそが可換環論と代数幾何学の発展を導いたと評価されている。