最大の底で割ると不定形が消える、指数関数の極限と発散の速さ

$2^{10} = 1024$ 、 $2^{20} = 1048576$ 、 $2^{30}$ は約 10 億。 $x$ を 3 倍にしただけで桁が 3 倍になる。

一方 $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$ で、同じ速さで $0$ へ落ちていく。

指数関数の極限は、底が $1$ より大きいか小さいかだけで向きが決まる。あとは不定形をどう崩すかの話になる。

底で行き先が決まる

$a > 1$ なら $x \to \infty$ で $a^{x} \to \infty$ 、 $x \to - \infty$ で $a^{x} \to 0$ である。

$0 < a < 1$ では向きが入れ替わる。 $a = 1$ なら $1^{x} = 1$ で動かない。

指数関数の値域は $0$ より大きい範囲すべてで、負にも $0$ にもならない^[2]。だから $x$ 軸が漸近線になる。

底が違う指数関数を足したり割ったりすると、 $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形が出る。ここからが本題になる。

いちばん大きい底で割る

$x \to \infty lim \frac{5 ^{x}}{5 ^{x + 1} + 2 ^{x}}$ を考える。分子も分母も $\infty$ に発散する形。

出てくる底のうち最大のものは $5$ なので、分子と分母を $5^{x}$ で割る。

$\frac{5 ^{x}}{5 ^{x + 1} + 2 ^{x}} = \frac{1}{5 + ( \frac{2}{5} ) ^{x}} \to \frac{1}{5 + 0} = \frac{1}{5}$

$0 < \frac{2}{5} < 1$ なので $(\frac{2}{5})^{x} \to 0$ となり、不定形が消えた。

割ったあとに残るのは、最大の底につく係数だけである。他の項は全部 $0$ へ落ちる。

例：係数と指数のずれ

$x \to \infty lim \frac{3 ^{x} + 2 ^{x}}{3 ^{x + 1} - 2 ^{x + 1}}$ では、 $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ と $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ に直してから割る。

$\frac{1 + ( \frac{2}{3} ) ^{x}}{3 - 2 ( \frac{2}{3} ) ^{x}} \to \frac{1}{3}$

肩に乗った $+ 1$ を係数へ下ろす手順を飛ばすと、答えが $1$ になってしまう。

例：底が 3 種類

$x \to \infty lim \frac{7 ^{x} + 5 ^{x} + 3 ^{x}}{2 \cdot 7 ^{x} - 3 ^{x}}$ でも手順は変わらない。最大の底 $7$ で割る。

$\frac{1 + ( \frac{5}{7} ) ^{x} + ( \frac{3}{7} ) ^{x}}{2 - ( \frac{3}{7} ) ^{x}} \to \frac{1}{2}$

底が何種類あっても、最大のもの以外はすべて $0$ に向かう。残るのは係数の比だけ。

例：答えが $0$ になる

$x \to \infty lim \frac{2 ^{x}}{3 ^{x} + 2 ^{x}}$ は $0$ である。 $3^{x}$ で割ると分子が $(\frac{2}{3})^{x}$ になる。

$\frac{( \frac{2}{3} ) ^{x}}{1 + ( \frac{2}{3} ) ^{x}} \to \frac{0}{1} = 0$

分子の底が分母の最大の底より小さければ、比は $0$ に潰れる。

例： $e$ を含む形

$x \to \infty lim \frac{e ^{2 x} + e ^{x}}{e ^{2 x} - 3 e ^{x}}$ では $e^{2 x} = (e^{2})^{x}$ と見る。底は $e^{2}$ と $e$ で、大きいのは $e^{2}$ 。

$\frac{1 + e ^{- x}}{1 - 3 e ^{- x}} \to \frac{1}{1} = 1$

$e^{- x} \to 0$ を使うだけで済む。底が $e$ でも手順は同じである。

分子と分母に出てくる底を全部書き出す。

そのうち最大のものを選ぶ。

a^{x + k} = a^{k} a^{x}

で肩の定数を係数に下ろす。

最大の底で分子と分母を割る。

残った

(\frac{b}{a})^{x}

を

0

に置きかえる。

$x \to - \infty$ では逆になる

$x$ が負の方向へ進むと、大小関係がひっくり返る。 $2^{- 10} = \frac{1}{1024}$ に対し $(\frac{1}{2})^{- 10} = 1024$ である。

$a > 1$ なら $a^{x} \to 0$ 、 $0 < a < 1$ なら $a^{x} \to \infty$ 。生き残るのは底が小さいほうになる。

x \to + \infty

底が大きいほど速く伸びる。最大の底で割る

x \to - \infty

底が小さいほど速く伸びる。最小の底で割る

例：負の側で割る

$x \to - \infty lim \frac{5 ^{x} + 3 ^{x}}{5 ^{x} - 3 ^{x}}$ では、生き残るのは $3^{x}$ のほう。 $3^{x}$ で割る。

$\frac{( \frac{5}{3} ) ^{x} + 1}{( \frac{5}{3} ) ^{x} - 1} \to \frac{0 + 1}{0 - 1} = - 1$

$\frac{5}{3} > 1$ なので $x \to - \infty$ で $(\frac{5}{3})^{x} \to 0$ 。分母が負のまま残り、答えの符号が負になる。

例：負の側で係数が残る

$x \to - \infty lim \frac{2 \cdot 4 ^{x} - 3 \cdot 2 ^{x}}{4 ^{x} + 2 ^{x}}$ では、最小の底は $2$ である。

$\frac{4 ^{x}}{2 ^{x}} = 2^{x} \to 0$ に注意しながら割る。

$\frac{2 \cdot 2 ^{x} - 3}{2 ^{x} + 1} \to \frac{0 - 3}{0 + 1} = - 3$

$x \to + \infty$ なら $4^{x}$ で割ることになり、答えは $2$ に変わる。同じ式でも向きで結果が違う。

多項式では追いつけない

指数関数は、どんな多項式よりも速く伸びる。 $a > 1$ と正の整数 $b$ に対して次が成り立つ^[1]。

$x \to \infty lim \frac{a ^{x}}{∣ x ∣ ^{b}} = \infty, x \to - \infty lim ∣ x ∣^{b} a^{x} = 0$

ドイツ語の教科書でも、この主張は指数関数の基本性質として最初に置かれている^[2]。

例：多項式と指数の比

$x \to \infty lim \frac{x ^{3}}{e ^{x}}$ は $0$ である。 $e^{x}$ を級数で開くと $\frac{x ^{4}}{4 !}$ の項が含まれる^[2]。

$e^{x} > \frac{x ^{4}}{24} (x > 0)$

これを分母に使うと、比は $\frac{24}{x}$ より小さい。 $x \to \infty$ で $0$ に落ちる。

$x^{3} e^{- x}$ と書いても同じことで、 $\infty \times 0$ の形が $0$ に決まる例になっている。

例： $x$ 乗根をとる

$x \to \infty lim (2^{x} + 3^{x})^{\frac{1}{x}}$ を求める。最大の底 $3$ をくくり出す。

$(3^{x} (1 + (\frac{2}{3})^{x}))^{\frac{1}{x}} = 3 (1 + (\frac{2}{3})^{x})^{\frac{1}{x}}$

括弧の中は $1$ に向かい、指数の $\frac{1}{x}$ も $0$ に向かう。全体は $3 \cdot 1 = 3$ である。

和のうち最大の項だけが $x$ 乗根に残る。項を何個足しても結果は最大の底になる。

例：向かい合う 2 つの指数

$tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ の極限を見る^[3]。 $x \to \infty$ では $e^{x}$ で割る。

$\frac{1 - e ^{- 2 x}}{1 + e ^{- 2 x}} \to \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

$x \to - \infty$ では $e^{- x}$ で割ることになり、答えは $- 1$ 。 $y = 1$ と $y = - 1$ の 2 本が漸近線になる。

同じ形は人口の増え方にも出てくる。ロジスティック曲線 $P (t) = \frac{P _{0} K e ^{r t}}{( K - P _{0} ) + P _{0} e ^{r t}}$ は $t \to \infty$ で $K$ に近づく^[4]。

分子と分母を $e^{r t}$ で割れば $\frac{P _{0} K}{P _{0}} = K$ が残る。環境が支えられる上限が、指数関数の比として出てくる形になっている^[4]。

$\frac{\infty}{\infty}$ を崩す手は、分数関数で最高次の項を選ぶのと同じ考え方である。

多項式なら次数、指数関数なら底の大小。いちばん速く伸びるもので全体を割る。

肩に $x$ が乗る不定形

底も指数も動く形では、 $1^{\infty}$ という別の不定形が出る。 $(1 + \frac{1}{x})^{x}$ がその代表になる。

底は $1$ に近づき、指数は $\infty$ に向かう。 $1$ の何乗でも $1$ だと考えると誤る。実際の行き先は $e$ である^[2]。

$x^{x}$ を $x \to + 0$ で見ると $0^{0}$ の形になり、こちらの行き先は $1$ 。指数の形の不定形は、対数をとって和や積に直してから扱う。

$x \to \infty lim \frac{4 ^{x + 1} + 2 ^{x}}{4 ^{x} - 3 \cdot 2 ^{x}}$ はいくつか。

$4$
$1$
$- \frac{4}{3}$

__RESULT__

$4^{x + 1} = 4 \cdot 4^{x}$ に直し、 $4^{x}$ で割ると $\frac{4 + ( \frac{1}{2} ) ^{x}}{1 - 3 ( \frac{1}{2} ) ^{x}}$ になり $4$ である。 $1$ は肩の $+ 1$ を下ろし忘れた値、 $- \frac{4}{3}$ は $2^{x}$ の項だけを残した値になる。

向きを変えると答えも変わる。

$x \to - \infty lim \frac{3 ^{x} - 2 ^{x}}{3 ^{x} + 2 ^{x}}$ はいくつか。

$1$
$- 1$
$0$

__RESULT__

$x \to - \infty$ では $2^{x}$ のほうが大きいので $2^{x}$ で割る。 $(\frac{3}{2})^{x} \to 0$ より $\frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1$ である。 $1$ は $x \to + \infty$ のときの値、 $0$ は分子だけを $0$ にした誤りになる。

出てくる底を書き出し、向きに応じて最大か最小かを選ぶ。その 1 つで割れば、指数の不定形はどれも同じ手順で片づく。

出典

Exponential function. Encyclopedia of Mathematics.

Oliver Deiser. *Die reelle Exponentialfunktion*. Erste Hilfe in Analysis.

*Calculus of the Hyperbolic Functions*. Calculus Volume 1, OpenStax.

*The Logistic Equation*. Calculus Volume 2, OpenStax.

$2^{30}$ は約 10 億、$\left(\frac{1}{2}\right)^{30}$ は 10 億分の 1。底が $1$ をまたぐと伸びる向きが入れ替わります。$\frac{5^{x}}{5^{x+1}+2^{x}}$ のような形は、出てくる底のうち最大のもので割れば $\left(\frac{2}{5}\right)^{x} \to 0$ が効いて $\frac{1}{5}$ が残る。$x \to -\infty$ では逆に最小の底で割ります。$\frac{x^{3}}{e^{x}}$、$(2^{x}+3^{x})^{1/x}$、$\tanh x$、ロジスティック曲線まで 10 通りの計算を並べ、指数がどんな多項式よりも速く伸びる理由と、$1^{\infty}$ という別の不定形も添えました。