指数関数の極限：不定形の問題について

指数関数 $a^x$ の極限は、底 $a$ の値によって振る舞いが大きく変わります。まずは基本的な性質を整理しておきましょう。

底の大きさと極限

$a>1$ のとき $a^x$ は $x\to \infty$ で発散し、$0<a<1$ のとき $a^x$ は $0$ に収束します。これが指数関数の極限を扱ううえで最も重要な事実です。

たとえば $a=2$ であれば $2^{10}=1024$、$2^{20}=1048576$ と急激に大きくなります。一方 $a=\frac{1}{2}$ であれば ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{1}{1024}$ と急速にゼロに近づいていきます。

この性質を式で書くと次のようになります。$0<r<1$ のとき、

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{r}^x=0$$

が成り立ちます。この事実が、以降で扱う極限計算の核心となるものです。

不定形 $\frac{\infty }{\infty }$ の処理

指数関数を含む分数の極限では、分子も分母も発散して $\frac{\infty }{\infty }$ の不定形になることが多くあります。このとき使うテクニックは「分子と分母を最も増加の速い指数関数で割る」というものです。

具体例で確認しましょう。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5^x}{5^{x+1}+2^x}$$

この式は分子・分母ともに $x\to \infty$ で発散するため、そのままでは極限を求められません。分子と分母に現れる指数関数のうち、底が最大のものは $5$ なので、全体を $5^x$ で割ります。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5^x}{5^{x+1}+2^x}& =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{5^x}{5^x}}{\frac{5^{x+1}}{5^x}+\frac{2^x}{5^x}}\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{5+{\left(\frac{2}{5}\right)}^x}\end{array}$$

ここで $0<\frac{2}{5}<1$ なので ${\left(\frac{2}{5}\right)}^x\to 0$ となり、

$$\frac{1}{5+0}=\frac{1}{5}$$

を得ます。割り算ひとつで不定形が解消されるわけです。

典型的な例題

同じテクニックを使って、さまざまなパターンの問題に取り組んでみましょう。

例題 1

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x+2^x}{3^{x+1}-2^{x+1}}$$

最大の底は $3$ なので $3^x$ で割ります。$3^{x+1}=3\cdot 3^x$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x$ であることに注意すると、

$$\begin{array}{rl}\frac{3^x+2^x}{3^{x+1}-2^{x+1}}& =\frac{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^x}{3-2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x}\end{array}$$

${\left(\frac{2}{3}\right)}^x\to 0$ より、

$$\frac{1+0}{3-0}=\frac{1}{3}$$

となります。

例題 2

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4\cdot 3^x-2^x}{3^{x+2}+5\cdot 2^x}$$

$3^x$ で割ると、分母の $3^{x+2}=9\cdot 3^x$ に注意して、

$$\begin{array}{r}\frac{4-{\left(\frac{2}{3}\right)}^x}{9+5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^x}\to \frac{4}{9}\end{array}$$

$3^{x+2}$ の処理を見落とさないようにしましょう。

例題 3：底が 3 つ以上

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{7^x+5^x+3^x}{2\cdot 7^x-3^x}$$

最大の底 $7$ で割ります。

$$\begin{array}{r}\frac{1+{\left(\frac{5}{7}\right)}^x+{\left(\frac{3}{7}\right)}^x}{2-{\left(\frac{3}{7}\right)}^x}\to \frac{1}{2}\end{array}$$

底が何種類あっても、最大のもので割れば残りはすべて $0$ に向かいます。この原理は変わりません。

例題 4：答えが $0$ になるケース

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^x}{3^x+2^x}$$

$3^x$ で割ると、

$$\begin{array}{r}\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^x}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^x}\to \frac{0}{1+0}=0\end{array}$$

分子の底が分母の最大の底より小さいとき、極限は $0$ になります。直感的にも、$3^x$ のほうが $2^x$ よりはるかに速く増大するため、分母に押しつぶされてゼロに向かうと理解できるでしょう。

例題 5：係数に注意が必要なケース

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6\cdot 4^x+3\cdot 2^x}{2\cdot 4^x-5\cdot 2^x}$$

$4^x$ で割ります。$\frac{2^x}{4^x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ なので、

$$\begin{array}{r}\frac{6+3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x}{2-5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x}\to \frac{6}{2}=3\end{array}$$

指数部分が消えた後に残る「係数の比」が答えになることを意識しておくと、計算の見通しが立ちやすくなります。

例題 6：$e^x$ を含む場合

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^{2x}+e^x}{e^{2x}-3e^x}$$

$e^{2x}$ で割ります。$\frac{e^x}{e^{2x}}=e^{-x}\to 0$ なので、

$$\begin{array}{r}\frac{1+e^{-x}}{1-3e^{-x}}\to \frac{1}{1}=1\end{array}$$

自然指数関数 $e^x$ でも考え方はまったく同じです。$e^{2x}=(e^2{)}^x$ と見れば底の比較ができますし、$e^{2x}$ を最大の項として割ればよいだけです。

$x\to -\infty$ のケース

$x\to -\infty$ の場合は状況が逆転します。$a>1$ のとき $a^x\to 0$ となり、$0<a<1$ のとき $a^x\to \infty$ になります。

例題 7

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5^x+3^x}{5^x-3^x}$$

$x\to -\infty$ では $3^x$ のほうが $5^x$ より大きくなります（$3<5$ なので、負の方向に進むと底が小さいほうが大きな値をとります）。$3^x$ で割ると、

$$\begin{array}{r}\frac{{\left(\frac{5}{3}\right)}^x+1}{{\left(\frac{5}{3}\right)}^x-1}\end{array}$$

$\frac{5}{3}>1$ なので ${\left(\frac{5}{3}\right)}^x\to 0$（$x\to -\infty$）。よって、

$$\frac{0+1}{0-1}=-1$$

を得ます。

例題 8

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2\cdot 4^x-3\cdot 2^x}{4^x+2^x}$$

$x\to -\infty$ では $2^x$ のほうが $4^x$ より大きいので、$2^x$ で割ります。$\frac{4^x}{2^x}=2^x\to 0$（$x\to -\infty$）なので、

$$\begin{array}{r}\frac{2\cdot 2^x-3}{2^x+1}\to \frac{0-3}{0+1}=-3\end{array}$$

$x\to -\infty$ の問題は一見取っつきにくいですが、「どの項が生き残るか」を正しく見極めれば、$x\to +\infty$ のときと同じ手順で解けます。

まとめ

どのような組み合わせであっても、底の大小関係を把握して適切な項で割れば、不定形は必ず解消できます。