局所大域原理はどこまで通じるか？すべての素点で解けても足りない

$\mathbb{Q}$ 上の方程式が解けるかを調べるとき、$\mathbb{R}$ と全部の ${\mathbb{Q}}_p$ で調べてから戻る、という道筋があります。

ハッセが 1920 年代に、ミンコフスキーの二次形式の仕事をこの形に整理しました^[1]。局所大域原理と呼ばれます。$\mathbb{Q}$ が大域体、$\mathbb{R}$ と ${\mathbb{Q}}_p$ が局所体です^[1]。

素点は素数の個数だけ、それに 1 つ

$\mathbb{Q}$ 上の自明でない絶対値は、通常の絶対値のべきか $p$ 進絶対値のべきに限られます^[3]。同値なものをまとめた類を素点と呼ぶ。

つまり素点は、素数ごとの有限素点と、通常の絶対値に対応する無限素点の $1$ つで尽きます。

数体 $K$ でも同じ構造です。有限素点は ${\mathcal{O}}_K$ の素イデアルに、無限素点は $K$ の実埋め込みと複素埋め込みの対に対応します。

すべて掛けると 1 になる

各素点で正規化された絶対値をとると、$0$ でない有理数について次が成り立ちます。

$$\prod _v\Vert x{\Vert }_v=1$$

証明は素因数分解そのものです。$x=\pm \prod p_i^{a_i}$ と書くと、$\Vert x{\Vert }_{p_i}=p_i^{-a_i}$、$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\prod p_i^{a_i}$。掛け合わせると打ち消し合います。

$x=\frac{12}{5}$ で確かめます。${\Vert \frac{12}{5}\Vert }_{\infty }=2.4$、${\Vert \frac{12}{5}\Vert }_2=\frac{1}{4}$、${\Vert \frac{12}{5}\Vert }_3=\frac{1}{3}$、${\Vert \frac{12}{5}\Vert }_5=5$。積は $2.4\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}\times 5=1$ です。

積公式は大域体の特徴です。素点が全部そろってはじめて成り立つので、$1$ つでも欠けると崩れる。

二平方和を局所条件に書き直す

古典的な定理を局所の言葉に翻訳してみます。正の整数 $m$ が $2$ つの平方数の和になるのは、$m$ を割る $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ の素数がどれも偶数回現れるときです^[1]。

$p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ なら、${\mathbb{Z}}_p$ のどの元も $2$ つの平方の和になります^[1]。$-1$ が $p$ を法として平方なので、ヘンゼルの補題で $s^2+1=0$ が ${\mathbb{Z}}_p$ で解けるからです^[1]。

$15=3\cdot 5$ は $3$ が $1$ 回なので平方和になりません。$45=3^2\cdot 5$ は $3$ が $2$ 回なので $45=9+36=3^2+6^2$ と書けます^[1]。

二次形式では原理が成り立つ

ハッセ・ミンコフスキーの定理が、局所大域原理のいちばん整った例です^[1]。

$Q(x_1,\dots ,x_n)$ を有理係数の二次形式とすると、$Q(x)=c$ が $\mathbb{Q}$ で解けることと、$\mathbb{R}$ とすべての ${\mathbb{Q}}_p$ で解けることは同値になります^[1]。$Q(x)=0$ の非自明解についても同じ^[1]。

無限個の条件に見えますが、実際は有限個です。対角形に直したとき、$p=2$ と、係数の分子か分母を割る奇素数だけを調べれば足ります^[1]。

3 次に上がると破れる

次数が $3$ 以上になると、局所大域原理は成り立たなくなります^[1]。有名な反例がセルマーの方程式です^[1]。

$$3x^3+4y^3+5z^3=0$$

$\mathbb{R}$ と、すべての ${\mathbb{Q}}_p$ に $(0,0,0)$ 以外の解があります。それでも $\mathbb{Q}$ には自明解しかない^[1]。

局所解の作り方を追うと、原理の限界がよく見えます。$\mathbb{R}$ では $\left(\sqrt[3]{5/3},0,-1\right)$ が解^[1]。$p=3$ では $x=0$、$z=-1$ とおいて $y^3=5/4$ を解き、$\alpha =2$ が ${\alpha }^3\equiv 5/4(\mathrm{mod}27)$ を満たすことからヘンゼルの補題が使えます^[1]。

$p=5$ では $y=z=-1$ とおいて $x^3=3$。$3\equiv 2^3(\mathrm{mod}5)$ なので持ち上がります^[1]。$3$ でも $5$ でもない $p$ については、$p\not\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ ならすべての元が立方数になるので自動的に解けます^[1]。

この差を測るのがシャファレヴィッチ・テイト群です。局所大域原理からのずれを群として捉える。

全部の局所体を同時に扱う

素点ごとにばらばらに見るのではなく、まとめて $1$ つの環にする道具がアデール環です。制限直積として定義します。

$${\mathbb{A}}_K={\prod }_v^{\prime }{K}_v$$

ほとんどすべての有限素点で $x_v\in {\mathcal{O}}_{K_v}$ となる元だけを集める、という意味の直積です。可逆元の全体がイデール群 ${\mathbb{I}}_K$ になります。

$K^{\times }$ はイデール群に対角に埋め込まれ、商 $C_K={\mathbb{I}}_K/K^{\times }$ がイデール類群です。積公式が、この埋め込みがきちんと定義できる根拠になっています。

類体論がつなぎ直す

イデール類群は類体論の中心にいます。$K$ の最大アーベル拡大のガロア群と、$C_K$ のあいだに正準な写像があります^[2]。

$K$ のヒルベルト類体は、$C_K$ の中で $K^{\times }{\prod }_{v}U(K_v)$ の像に対応する体です^[2]。その商が類群 ${\mathrm{Cl}}_K$ に同型なので、$\mathrm{Gal}(F/K)\cong {\mathrm{Cl}}_K$ が出ます^[2]。

局所の情報を全部束ねると、大域のアーベル拡大が再現できる。局所大域原理が定理として成立する、いちばん深い場面です。

素点を全部並べる、局所で調べる、大域へ戻す。$2$ 次までなら戻れて、$3$ 次からは戻れない。この境目そのものが、現代の整数論の主題になっています。

参考文献