Specとザリスキ位相

可換環 $R$ の素イデアル全体の集合 $\mathrm{Spec}R$ は、ザリスキ位相によって位相空間となる。これは代数幾何学におけるスキーム理論の出発点であり、環の代数的性質を幾何学的に捉える枠組みを与える。

Spec の定義

可換環 $R$ に対し、スペクトル $\mathrm{Spec}R$ とは $R$ の素イデアル全体の集合である。

$$\mathrm{Spec}R=\{\mathfrak{p}\subset R:\mathfrak{p}\text{ は素イデアル}\}$$

$R$ のイデアル $I$ に対し、$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R:I\subset \mathfrak{p}\}$ と定める。この $V(I)$ を $I$ で定まる閉集合とし、これらを閉集合系とする位相をザリスキ位相という。

位相的性質

ザリスキ位相は通常の位相と異なる性質をもつ。ハウスドルフ性を満たさないことが多く、開集合が「大きい」傾向にある。

$\mathrm{Spec}R$ は常に準コンパクト（任意の開被覆が有限部分被覆をもつ）である。$R$ がネーター環ならば、$\mathrm{Spec}R$ はネーター空間（開集合の昇鎖が停止する）となる。

点の閉包と既約性

$\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R$ に対し、一点集合 $\{\mathfrak{p}\}$ の閉包は $\overline{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$ である。これは $\mathfrak{p}$ を含む素イデアル全体に等しい。

点 $\mathfrak{p}$ が閉点であることと、$\mathfrak{p}$ が極大イデアルであることは同値だ。一方、極小素イデアルに対応する点は「一般点」と呼ばれ、その閉包が既約成分を与える。

具体例

$R=\mathbb{Z}$ のとき、$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}=\{(0),(2),(3),(5),(7),\dots \}$ である。$(0)$ は一般点であり、その閉包は $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 全体。各 $(p)$ は閉点で、閉包は自分自身のみ。

$R=k[x]$（$k$ は代数閉体）のとき、$\mathrm{Spec}k[x]=\{(0)\}\cup \{(x-a):a\in k\}$ となる。閉点はアフィン直線の点に対応し、一般点 $(0)$ は「すべての点を含む」抽象的な点である。

環準同型と連続写像

環準同型 $\phi :R\to S$ は連続写像 ${\phi }^{\ast }:\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$ を誘導する。$\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}S$ に対し ${\phi }^{\ast }(\mathfrak{q})={\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ と定める。これが素イデアルを素イデアルに写すことは容易に確かめられる。

この対応により、可換環の圏と affine scheme の圏の間に反変関手が構成される。