Spec とザリスキ位相：素イデアルを点、イデアルを閉集合にする

$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ の点は、$(2)$、$(3)$、$(5)$、… という素数のイデアルと、$(0)$ です。素イデアルを 1 つずつ点と呼び、その集合に位相を入れる。

イデアルが閉集合を決め、環準同型が連続写像を決めます。代数の言葉が、そのまま位相の言葉になる。

素イデアルを点と呼ぶ

可換環 $R$ の素イデアル全体の集合を $\mathrm{Spec}R$ と書きます^[2]。

$$\mathrm{Spec}R=\{\mathfrak{p}\subseteq R:\mathfrak{p}\text{ は素イデアル}\}$$

極大イデアルだけを集めるのではありません。$\mathbb{Z}$ では $(0)$ も素イデアルで、これも点として数える。

$0$ でない環には極大イデアルがあり、極大イデアルは素です^[2]。だから $\mathrm{Spec}R$ が空になるのは、零環のときだけ。

閉集合は $V(I)$

$R$ のイデアル $I$ について、$I$ を含む素イデアルを集めます^[1]。

$$V(I)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R:I\subseteq \mathfrak{p}\}$$

この形の集合を閉集合と定めたものが、ザリスキ位相です。位相の公理を満たすことは、次の 3 つで確かめられます^[1]。

集合の和がイデアルの積に、集合の交わりがイデアルの和に移る。演算が入れかわる。

無限個の和は閉集合にならない

保証されているのは有限個の和までです。$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ で確かめます。

閉集合 $V((n))$ は、$n\ne 0$ なら $n$ の素因数に当たる有限集合、$n=0$ なら $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$ 全体になる。

閉点 $(2)$、$(3)$、$(5)$、… を全部集めた集合は、この形に当てはまりません。素数すべてを含む $V(I)$ をとると $I\subseteq {\bigcap }_{p}p\mathbb{Z}=(0)$ になり、$V(I)$ が全体になってしまう。

つまり閉点全体の閉包には $(0)$ が入る。無限個の閉点を寄せ集めても、閉集合にはならない。

$V(I)$ は根基までしか区別しない

$I$ と $\sqrt{I}$ は同じ閉集合を決める。$\mathfrak{p}$ が素で $I\subseteq \mathfrak{p}$ なら、$x^n\in I$ から $x\in \mathfrak{p}$ が言えるためです。

$$V(I)=V(\sqrt{I})$$

$\mathbb{Z}$ で $V((12))$ と $V((6))$ がどちらも $\{(2),(3)\}$ になるのは、この理由。

代数的に閉じた体の上のアフィン多様体では、根基イデアルと閉集合がちょうど 1 対 1 に対応します^[4]。$V$ が根基までしか区別しないところは、$\mathrm{Spec}$ でも変わらない。

$V(I)$ が空になるのは $I=R$ のときだけです^[2]。真のイデアルは極大イデアルに含まれ、極大イデアルは素だから。

基本開集合 $D(f)$

開集合は $V(I)$ の補集合です。$f\in R$ 1 つで決まるものを $D(f)$ と書きます^[1]。

$$D(f)=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}R:f\notin \mathfrak{p}\}$$

$D(f)$ の全体が位相の基底になる^[1]。$I$ の生成元を $f_{\lambda }$ とすると、$\mathrm{Spec}R\setminus V(I)$ は $D(f_{\lambda })$ の和集合だからです。

$D(f)\cap D(g)=D(fg)$ も成り立つ。$\mathfrak{p}$ が素だから、$fg\notin \mathfrak{p}$ と「$f\notin \mathfrak{p}$ かつ $g\notin \mathfrak{p}$」が同じ条件になる。

$D(f)$ が空になるのは、$f$ がすべての素イデアルに入るとき。素イデアル全体の交わりは冪零元の集合で、$f$ が冪零のときにあたります。

例：$\mathrm{Spec}k[x]$

$k$ を代数的に閉じた体とします。$k[x]$ は単項イデアル整域だから、素イデアルは $(0)$ と既約多項式の $(f)$ だけ。

代数閉体では既約多項式が $x-a$ の形しかなく、点は 2 種類になる。

$D(f)$ は、$f$ の根に当たる有限個の閉点を除いた全体です。空でない開集合は、どれも有限個を除く全部を含む。

空でない開集合がどの 2 つも交わるため、$\mathrm{Spec}k[x]$ は既約な空間になります。

例：$\mathrm{Spec}k[x,y]$

変数が 2 つになると、点が 3 段になります。

$(f)$ の閉包 $V((f))$ には、その曲線の上にある閉点と $(f)$ 自身が入る。曲線 1 本ぶんの情報が、$\mathrm{Spec}$ では 1 つの点として置かれている。

座標環が代数閉体上のアフィン多様体のものなら、閉点は古典的な点に当たり、残りの素イデアルは既約な閉部分多様体に当たります^[1]。

点の閉包

$\mathfrak{p}$ の閉包は $V(\mathfrak{p})$ です。$\mathfrak{p}$ を含む閉集合 $V(I)$ は $I\subseteq \mathfrak{p}$ を満たし、そのとき $V(I)\supseteq V(\mathfrak{p})$ になるためです。

$$\overline{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$$

$\mathfrak{p}$ が閉点であることと、$\mathfrak{p}$ が極大イデアルであることは同値になる^[1]。

分離できない 2 点がある

$\mathrm{Spec}k[x]$ で $(0)$ と $(x)$ を分けようとします。$(0)$ はどの空でない開集合にも入っている。

$(x)$ を含む開集合も空ではないため、2 つは必ず交わります。ハウスドルフになりません。

ただし $T_0$ ではある。$\mathfrak{p}\ne \mathfrak{q}$ なら片方に入って他方に入らない $f$ がとれ、$D(f)$ が 2 点を分ける。

有限集合だけを閉集合にすると、この 2 つが入れかわる^[3]。

準コンパクト

$\mathrm{Spec}R$ はいつでも準コンパクトです^[1]。証明は 1 つの等式で済む。

$\mathrm{Spec}R={\bigcup }_{\lambda }D(f_{\lambda })$ とすると、どの素イデアルも $f_{\lambda }$ を全部は含みません。$f_{\lambda }$ たちが生成するイデアルは真のイデアルになれず、$R$ そのものになる。

$$1=a_1{f}_{{\lambda }_1}+\cdots +a_n{f}_{{\lambda }_n}$$

右辺に現れるのは有限個です。

もし $\mathfrak{p}$ がこの $n$ 個の $D(f_{{\lambda }_i})$ のどれにも入らないなら $f_{{\lambda }_1},\dots ,f_{{\lambda }_n}$ が全部 $\mathfrak{p}$ に入り、$1\in \mathfrak{p}$ になってしまう。

だから $n$ 個で覆えます^[1]。コンパクトと呼ばないのは、ハウスドルフ性を含めた語として使う流儀があるためです。

環準同型は連続写像を与える

$\phi :R\to S$ に対し、$\mathfrak{q}\mapsto {\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ が写像 $\mathrm{Spec}S\to \mathrm{Spec}R$ を決めます^[1]。

素イデアルの引き戻しは素イデアルになる。$xy\in {\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ なら $\phi (x)\phi (y)\in \mathfrak{q}$ で、$\mathfrak{q}$ が素だから片方が $\mathfrak{q}$ に入るためです。

$I$ を $R$ のイデアル、$J$ を $\phi (I)$ が $S$ の中で生成するイデアルとすると、次が成り立ちます^[1]。

$$(\mathrm{Spec}\phi {)}^{-1}(V(I))=V(J)$$

閉集合の逆像が閉集合になり、連続です。合成のほうは $\mathrm{Spec}(\phi )\circ \mathrm{Spec}(\psi )=\mathrm{Spec}(\psi \circ \phi )$ と、順序が逆になる^[1]。

環の射と空間の射が逆向きに対応する。これが反変関手です。

全射なら閉集合を切りとる

$\phi$ が全射なら $\mathrm{Spec}\phi$ は単射で、像はちょうど $V(\ker \phi )$ になります^[1]。

$R\to R/I$ に当てると、$\mathrm{Spec}(R/I)$ が $V(I)$ と同じものになる。閉集合のほうが、別の環のスペクトルとして書き直せます。

局所化は逆に開集合を切りとる。$\mathrm{Spec}(R_f)$ が $D(f)$ と同じものになる。$f$ を可逆にすると、$f$ を含む素イデアルが消えるためです。

素イデアルを点に、イデアルを閉集合に、環準同型を連続写像に置きかえる。この 3 つの言いかえだけで、可換環の話がそのまま位相空間の話になります。

参考