つまんだ弦は半分ずつに割れて走る（波動方程式とダランベールの公式）

弦を 1 点だけつまんで放すと、山は動かずにその場で沈むのではなく、半分ずつに割れて左右へ走る。

$$u(x,t)=\frac{1}{2}f(x-ct)+\frac{1}{2}f(x+ct)$$

高さがちょうど半分になり、速さ $c$ で反対向きに離れていく。この形は方程式そのものから出てくる^[1]。

弦から方程式を作る

線密度 $\rho$ の弦が張力 $T$ で張られているとする。位置 $x$ の変位を $u(x,t)$ と書く。

長さ $\Delta x$ の微小部分に働く縦向きの力は、両端の張力の縦成分の差である。

$$T\sin \theta (x+\Delta x)-T\sin \theta (x)$$

傾きが小さければ $\sin \theta \approx \tan \theta =u_x$ としてよい。差は $T{u}_x$ の増分だから、$\Delta x$ で割れば偏微分になる。

$$\rho \Delta x\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=T[u_x(x+\Delta x)-u_x(x)]⟹\rho u_{tt}=T{u}_{xx}$$

書き直すと波動方程式になる。

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},c=\sqrt{\frac{T}{\rho }}$$

速さは張力の平方根に比例し、密度の平方根に反比例する^[4]。ギターの弦を強く張ると音が高くなり、太い弦ほど低い音が出るのはこのためである。

2 つの 1 階に分かれる

演算子として書くと、この方程式は因数分解できる。

$$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-c^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}=\left(\frac{\partial }{\partial t}-c\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(\frac{\partial }{\partial t}+c\frac{\partial }{\partial x}\right)$$

展開すると交差項が $-c{u}_{tx}+c{u}_{xt}$ で打ち消し、確かにもとに戻る。

$u_t+c{u}_x=0$ の解は $F(x-ct)$ である。形を変えずに右へ進む波。$u_t-c{u}_x=0$ なら左へ進む。

2 階の方程式が、この 2 種類の重ね合わせになる。

特性座標で解く

$\xi =x-ct$、$\eta =x+ct$ と置く。連鎖律で微分を書き直す。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}& =\frac{\partial }{\partial \xi }+\frac{\partial }{\partial \eta }\\ \frac{\partial }{\partial t}& =-c\frac{\partial }{\partial \xi }+c\frac{\partial }{\partial \eta }\end{array}$$

2 乗して引き算すると、方程式は 1 行になる^[1]。

$$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=-4c^2{u}_{\xi \eta }=0$$

$u_{\xi \eta }=0$ は、$\eta$ で微分して $\xi$ で微分すると $0$、という意味。$\xi$ だけの関数と $\eta$ だけの関数の和しかない。

$$u=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct)$$

$\xi$ と $\eta$ が一定になる直線を特性線と呼ぶ。情報はこの直線に沿って運ばれる。

ダランベールの公式

初期条件 $u(x,0)=f(x)$、$u_t(x,0)=g(x)$ から $F$ と $G$ を決める。

$t=0$ を入れると $F(x)+G(x)=f(x)$。時間で微分してから $t=0$ を入れると次が出る。

$$-c{F}^{\prime }(x)+c{G}^{\prime }(x)=g(x)⟹G(x)-F(x)=\frac{1}{c}{\int }_0^{x}g(s)ds$$

2 本を足し引きして $F$ と $G$ を求め、$x$ を $x\mp ct$ に置き換えて足す。

$$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$$

これがダランベールの公式である^[2]。1 次元では、級数を使わずに答えが閉じた形で書ける。

依存領域と影響領域

公式に現れるのは、区間 $[x-ct,x+ct]$ の初期値だけ。この区間を依存領域と呼ぶ^[2]。

逆に、$x_0$ にあった初期値が影響を与えるのは $|x-x_0|\le ct$ の範囲に限られる。時空図では円錐になる。

外側の初期値は、どんなに大きくても届かない。速さ $c$ が上限として効いている^[2]。

エネルギーが保存される

次の量を考える。運動エネルギーと位置エネルギーの和にあたる。

$$E(t)=\frac{1}{2}{\int }_0^L\left(u_t^2+c^2{u}_x^2\right)dx$$

時間で微分する。

$$E^{\prime }(t)={\int }_0^L\left(u_t{u}_{tt}+c^2{u}_x{u}_{xt}\right)dx$$

第 2 項を部分積分する。$u_{xt}=(u_t{)}_x$ と見て $u_x$ 側を微分に回す。

$${\int }_0^L{c}^2{u}_x{u}_{xt}dx=[c^2{u}_x{u}_t{]}_0^L-{\int }_0^L{c}^2{u}_{xx}{u}_{t}dx$$

両端を固定すれば $u_t=0$ なので、境界項が消える。

$$E^{\prime }(t)={\int }_0^L{u}_t(u_{tt}-c^2{u}_{xx})dx=0$$

括弧の中が方程式そのもので $0$。エネルギーは動かない。

一意性の証明

同じ初期条件と境界条件をもつ解が 2 つあったとして、差を $w$ と置く。

$w$ は波動方程式を満たし、初期変位も初期速度も $0$。したがって $E(0)=0$ である。

エネルギーが保存されるので $E(t)=0$。積分される中身は 2 乗の和なので、$w_t\equiv 0$ かつ $w_x\equiv 0$ が必要になる。

$w$ は定数で、初期値が $0$ だから $w\equiv 0$。2 つの解は一致する。

例：つまんで放す

弦の中央をつまんで三角の形にし、初速なしで放す。$f$ が三角、$g=0$ である。

公式の第 2 項が消えて、$u=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}$。高さ半分の三角が 2 つ、左右へ走る。

角のある形が、角のまま進む点に注意したい。熱の場合は角がすぐならされるが、波では残る。

例：たたく

こんどは形を平らなままにして、狭い範囲に初速だけ与える。$f=0$、$g$ が局所的である。

$$u(x,t)=\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$$

$ct$ が $g$ の台をすっかり覆うと、積分は全体の値 $Q=\int gds$ で止まる。

$$u⟶\frac{Q}{2c}$$

波が通り過ぎたあと、弦は元の位置に戻らない。$\frac{Q}{2c}$ だけ持ち上がったまま残る。

つまんだ場合と、たたいた場合で、あとに残るものが違う。ピアノとギターの音の違いが、この差から始まる。

端で跳ね返る

長さ $L$ の弦で両端を固定する。$u(0,t)=u(L,t)=0$ を保つには、初期形を奇関数として折り返して延長すればよい^[1]。

$f(-x)=-f(x)$ と決めておくと、公式の $\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2}$ は $x=0$ で自動的に $0$ になる。

反射のとき符号が反転するのは、この奇拡張の帰結である。上向きの山が、下向きの谷になって戻ってくる。

定在波と倍音

両端固定の弦を変数分離で解くと、飛び飛びの振動だけが残る。

$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_n\cos \frac{n\pi ct}{L}+B_n\sin \frac{n\pi ct}{L}\right)\sin \frac{n\pi x}{L}$$

$n$ 番目の振動数は $\frac{nc}{2L}$ である。基本音の整数倍がきれいに並ぶ。

$$f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho }}$$

弦の長さを半分にすると振動数は 2 倍、つまり 1 オクターブ上がる。フレットの位置がこの式で決まる。

倍音が整数倍になるのは、固有値が ${\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2$ という 2 乗の形で、時間側に平方根で入るからである。太鼓の膜では固有値がベッセル関数の零点で決まり、整数倍にならない。音程を感じにくいのはそのためである。

熱の伝わり方との違い

同じ 2 階の偏微分方程式でも、時間の微分が 1 階か 2 階かでここまで分かれる。

次元で変わる伝わり方

3 次元の波動方程式では、点で起きた乱れは球面として広がり、通り過ぎたあとには何も残らない。キルヒホッフの公式が球面上の平均だけを含むためである。

2 次元では違う。水面に石を落とすと、最初の波が届いたあとも波紋が長く続く。

奇数次元でだけ、鋭い信号が鋭いまま届く。これをホイヘンスの原理と呼ぶ^[3]。偶数次元では信号が尾を引き、輪郭がぼやける。

3 次元で暮らしているおかげで、音は残響なく届く。もし空間が 2 次元なら、話し声はいつまでも尾を引いて言葉が重なる。

検算のしかた

ダランベールの公式を出したら、まず $t=0$ を入れる。第 1 項が $f(x)$ になり、第 2 項は積分区間が 1 点につぶれて $0$ になる。

次に $t$ で微分して $t=0$ を入れる。第 1 項は $\frac{-c{f}^{\prime }+c{f}^{\prime }}{2}=0$、第 2 項は微積分の基本定理から $\frac{cg(x)+cg(x)}{2c}=g(x)$ になる。

初期条件が 2 本とも再現できれば、係数の $\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2c}$ を書きまちがえていない。

因数分解して 2 本の 1 階に分け、特性線に沿って情報を運ぶ。波動方程式の性質は、ほとんどがこの見方から出てくる。

参考文献