生成元は剰余体の次元で数えられる（中山の補題と行列式のトリック）

有限生成の $R$-加群 $M$ が $\mathfrak{m}M=M$ を満たすとします。局所環なら、これだけで $M=0$ が出ます^[3]。

極大イデアルを掛けても縮まないなら、はじめから何もなかった。証明は行列式ひとつで終わります。

主張

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$M$ を有限生成 $R$-加群とします。

$$\mathfrak{m}M=M⟹M=0$$

一般の環では条件が 1 つ増えます。イデアル $I$ が Jacobson 根基、つまりすべての極大イデアルの共通部分に含まれていれば、$IM=M$ から $M=0$ が従う^[1]。

局所環では極大イデアルが 1 つしかないので、Jacobson 根基がそのまま $\mathfrak{m}$ になります。条件は自動的に満たされている。

もっと弱い形もあります。有限生成でありさえすれば、$1+I$ の中に $M$ を消す元が見つかります^[1,2]。

効いているのは $1+I$ の元が単元になるという一点です。ここが崩れると結論も崩れます。

行列式のトリック

証明は Cayley-Hamilton の定理をまねる形で進みます^[2]。

$M$ の生成元を $m_1,\dots ,m_n$ とします。$\mathfrak{m}M=M$ なので、各 $m_i$ が $\mathfrak{m}$ の元を係数にして書けます。

$$m_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{m}_j,a_{ij}\in \mathfrak{m}$$

移項すると ${\sum }_j({\delta }_{ij}-a_{ij})m_j=0$ です。行列 $E-A$ が生成元のベクトルを消している形。

余因子行列を左から掛けます。すると $\det (E-A)$ が各 $m_i$ を単独で消します^[3]。

$$\det (E-A)m_i=0(i=1,\dots ,n)$$

$A$ の成分はすべて $\mathfrak{m}$ に入っているので、行列式を展開した値は $1+a$（$a\in \mathfrak{m}$）の形になります。局所環ではこれが単元です。

単元が $m_i$ を消すなら $m_i=0$。生成元が全部 $0$ なので $M=0$ になります^[3]。

行列のサイズは生成元の個数です。有限生成でなければ行列が組めません。仮定が使われる場所はここになります。

有限生成を外すと成り立たない

$R={\mathbb{Z}}_{(p)}$、$\mathfrak{m}=p{\mathbb{Z}}_{(p)}$ とし、$M=\mathbb{Q}$ をとります。

$\mathbb{Q}$ のどの元も $p$ で割れるので $p\mathbb{Q}=\mathbb{Q}$。それでも $\mathbb{Q}\ne 0$ です。

$\mathbb{Q}$ は ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ 上で有限生成になりません。分母の $p$ の冪に上限がないためです。

$\mathbb{Z}$ の上でも同じことが起きます。$2\mathbb{Z}\ne \mathbb{Z}$ ですが、$\mathbb{Z}$ は局所環ではありません。

$\mathbb{Z}$ の Jacobson 根基は $0$ です。素数が無限にあるので、極大イデアルの共通部分が消えます。$I=2\mathbb{Z}$ は根基に入らないので、仮定を満たしません。

生成元は剰余体で数える

いちばんよく使う形がここから出ます。$k=R/\mathfrak{m}$ とおき、$M$ を $\mathfrak{m}M$ で割ります。

$M/\mathfrak{m}M$ は $k$ 上のベクトル空間です。加群の話が線型代数に落ちる。

$m_1,\dots ,m_n\in M$ の像が $M/\mathfrak{m}M$ を張るとします。$N=R{m}_1+\cdots +R{m}_n$ とおくと $M=N+\mathfrak{m}M$ となり、補題から $M=N$ が出ます^[2]。

つまり剰余体の上で張れば、もとの加群でも張れます。逆は明らかなので、両者は同値。

2 つが一致します。有限生成加群の生成元の個数は、剰余体上の次元で決まる^[4]。

$$\mu (M)={\dim }_{k}M/\mathfrak{m}M$$

$\mu (M)$ と書いたのは最小生成元の個数です。次元が $3$ なら、どうやっても $3$ 個より少なくは生成できません。

例：最小生成元の個数

$R=k[[x,y]]$、$\mathfrak{m}=(x,y)$ とします。$M=\mathfrak{m}$ を加群と見ます。

$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ は $x$ と $y$ の像で張られる $2$ 次元の空間です。だから $\mathfrak{m}$ は $2$ 個で生成でき、$1$ 個では足りません。

$M=(x^2,xy,y^2)$ なら $M/\mathfrak{m}M$ は $3$ 次元。生成元は $3$ 個から減らせない。

数える作業が、毎回ベクトル空間の次元を数える作業に変わります。

全射かどうかも剰余で決まる

$N\to M$ を有限生成加群のあいだの準同型とします。$M$ が有限生成なら、次が同値です^[1]。

像を $N^{\prime }$ と書くと $M=N^{\prime }+\mathfrak{m}M$ になり、補題から $M=N^{\prime }$ が出ます。剰余体の上で調べれば足ります。

単射のほうは同じようにはいきません。剰余に落とすと情報が消えるので、そこから戻せない。

例：局所環上の有限生成射影加群

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$P$ を有限生成射影加群とします。${\dim }_{k}P/\mathfrak{m}P=n$ とおく。

$n$ 個の生成元をとると全射 $R^n\to P$ ができます。$P$ が射影的なので分裂し、$R^n\cong P\oplus Q$ と書けます。

剰余体へ落とすと $k^n\cong k^n\oplus Q/\mathfrak{m}Q$ なので、$Q/\mathfrak{m}Q=0$。$Q$ は有限生成なので補題から $Q=0$ になります。

したがって $P\cong R^n$ です。局所環の上では、有限生成の射影加群が自由加群に限られます^[4]。

例：正則局所環の判定

$(R,\mathfrak{m})$ をネーター局所環、$d=\dim R$ とします。$\mathfrak{m}$ の最小生成元の個数は ${\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ です^[4]。

この値は必ず $d$ 以上になります。ちょうど $d$ に等しいとき、$R$ を正則局所環と呼びます。

幾何では接空間の次元に対応します。$\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$ が余接空間で、その次元が点の次元より大きければ特異点。

$k[x,y]/(y^2-x^3)$ を原点で局所化すると、$\dim R=1$ に対して ${\dim }_k\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=2$ になります。尖点があるためです。

冪零イデアルなら根基の条件が要らない

$I$ が冪零、つまり $I^N=0$ となる $N$ があるとします。このとき $IM=M$ なら $M=0$ です^[1]。

$M=IM=I^{2}M=\cdots =I^{N}M=0$ と代入を繰り返すだけ。有限生成の仮定さえ要りません。

この形は持ち上げの議論でよく使います。$A/N\to A$ の向きに写像を延ばすとき、剰余で全射なら本体でも全射だと言える。

例：整数環の局所化で確かめる

$R={\mathbb{Z}}_{(3)}$ とし、$M=R$ をとります。$\mathfrak{m}=3R$ なので $\mathfrak{m}M=3R\ne R$。仮定を満たさないので何も言えません。

$M=R/9R$ ならどうか。$\mathfrak{m}M=3R/9R$ で、これは $M$ と一致しません。やはり $M\ne 0$ と矛盾しない。

$M=\mathbb{Q}$ にすると $\mathfrak{m}M=M$ になりますが、有限生成ではない。$3$ つの条件のどれを外しても、結論は落ちます。

$M=0$ を導くには、局所性と有限生成の両方が要ります。片方だけでは足りません。

つまずきやすいところ

掛けても縮まないものは、はじめから空だった。局所環という条件が、その言い分を通します。

参考文献