中山の補題とその応用

中山の補題（Nakayama’s lemma）は可換環論における最も重要な技術的道具の一つである。局所環上の有限生成加群を扱う際に威力を発揮する。

中山の補題

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$M$ を有限生成 $R$-加群とする。このとき、$\mathfrak{m}M=M$ ならば $M=0$ である。

より一般に、$R$ を可換環、$I$ を $R$ のイデアルで Jacobson 根基に含まれるもの、$M$ を有限生成 $R$-加群とすると、$IM=M$ ならば $M=0$ が成り立つ。

証明の概略

$M$ が有限生成なので、生成元 $m_1,\dots ,m_n$ をとれる。$\mathfrak{m}M=M$ より、各 $m_i$ は

$$m_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{m}_j(a_{ij}\in \mathfrak{m})$$

と書ける。これを整理すると $(I-A)\mathbf{m}=0$ という形になる。ここで $A=(a_{ij})$ であり、$I-A$ の行列式は $1+(\mathfrak{m}\text{の元})$ の形をしている。

局所環では $1+\mathfrak{m}$ の元は単元なので、$\det (I-A)$ は単元となる。したがって $I-A$ は可逆であり、$\mathbf{m}=0$、すなわち各 $m_i=0$ が従う。

系と応用

中山の補題からいくつかの重要な系が導かれる。

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$M$ を有限生成 $R$-加群、$k=R/\mathfrak{m}$ を剰余体とする。$M/\mathfrak{m}M$ は $k$-ベクトル空間であり、その次元は $M$ の最小生成元の個数に等しい。

この系は実用上きわめて便利だ。加群の生成元を調べるには、剰余体上のベクトル空間に「落として」考えればよい。

具体例

$R={\mathbb{Z}}_{(p)}$（$p$ における $\mathbb{Z}$ の局所化）、$\mathfrak{m}=(p)$ とする。$M=R$ は $1$ で生成される自由 $R$-加群だ。$M/\mathfrak{m}M\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ は 1 次元 ${\mathbb{F}}_p$-ベクトル空間であり、$M$ の最小生成元数が 1 であることと整合する。

一方、$\mathbb{Z}$ 自身（局所環でない）では状況が異なる。$2\mathbb{Z}\ne \mathbb{Z}$ だが、$2\mathbb{Z}$ は $2$ で生成される。中山の補題は局所環や Jacobson 根基の条件があって初めて機能する道具なのである。