加群の長さと組成列

加群の長さは、加群の「大きさ」を測る不変量の一つである。有限次元ベクトル空間の次元を一般化した概念といえる。

組成列の定義

$R$-加群 $M$ の組成列（composition series）とは、部分加群の列

$$0=M_0⊊M_1⊊\cdots ⊊M_n=M$$

であって、各商 $M_i/M_{i-1}$ が単純加群（非ゼロで真の部分加群を持たない加群）となるものをいう。商 $M_i/M_{i-1}$ を組成因子と呼ぶ。

組成列が存在するとき、その長さ $n$ は列の取り方によらず一定である。これが Jordan-Hölder の定理の主張だ。

加群の長さ

組成列をもつ加群 $M$ に対し、その組成列の長さを $M$ の長さ（length）といい、$\ell (M)$ または ${\ell }_R(M)$ と書く。組成列をもたない加群の長さは無限大と定める。

長さの性質

長さは加法的な不変量である。短完全列

$$0\to L\to M\to N\to 0$$

があるとき、$\ell (M)=\ell (L)+\ell (N)$ が成り立つ。これはベクトル空間の次元公式 $\dim M=\dim L+\dim N$ の一般化にほかならない。

体 $k$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ の場合、${\ell }_k(V)={\dim }_{k}V$ である。各組成因子が 1 次元部分空間の商、すなわち $k$ 自身と同型になるためだ。

Jordan-Hölder の定理

$M$ が組成列をもつとする。このとき、任意の 2 つの組成列は同じ長さをもち、組成因子の多重集合（重複を許した集合）は順序を除いて一致する。

この定理により、加群の長さは well-defined な不変量となる。証明には Schreier の細分定理や帰納法を用いるのが標準的なアプローチだ。

例

$\mathbb{Z}$-加群 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を考える。組成列として

$$0⊊6\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}⊊2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}⊊\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$

がとれる。組成因子は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ であり、長さは 3 である。別の組成列をとっても、同じ組成因子が（順序を変えて）現れる。