加群の長さ｜組成列とジョルダン・ヘルダーの定理

$R$ 加群 $M$ の組成列とは、部分加群の列であって、隣り合う商がどれも単純加群になるものです^[1,3]。

$$0=M_0⊊M_1⊊\cdots ⊊M_n=M$$

商 $M_i/M_{i-1}$ を組成因子と呼ぶ^[1]。単純加群とは、$0$ でなく、真の部分加群を持たない加群のこと。

この $n$ が $M$ の長さです^[2]。ベクトル空間の次元を、加群まで広げた量にあたります。

これ以上は割れない、という刻み方

組成列は「もう細かくできないところまで刻んだ列」です^[1]。$M_{i-1}$ が $M_i$ の中で極大な部分加群になっている、と言いかえられる。

途中に部分加群を挟む余地があれば、それはまだ組成列ではない。挟めなくなった状態が単純な商として現れる。

単純加群は、極大イデアル $\mathfrak{m}$ を使って $R/\mathfrak{m}$ と同型になります^[5]。長さがちょうど $1$ の加群、という言い方とも同値です^[5]。

刻み方は一通りではない

$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ には、組成列が $3$ 通りあります^[1]。どの道を通っても長さは $3$ で、出てくる組成因子の顔ぶれも変わりません。

左の道は $0⊊6\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}⊊2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}⊊\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$。

因子は下から $\mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Z}/3$、$\mathbb{Z}/2$ と出ます。

まん中は $3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を経由し、因子は $\mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Z}/3$ の順に出ます。

右は $4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ から始まり、$\mathbb{Z}/3$、$\mathbb{Z}/2$、$\mathbb{Z}/2$ の順に並ぶ。

順番は $3$ 通りに散らばるのに、集めてみれば $\mathbb{Z}/2$ が $2$ つと $\mathbb{Z}/3$ が $1$ つ。これは偶然ではありません。

長さが 1 の加群

長さが $1$ であることと、加群が単純であることは同じです^[5]。さらに、ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $R/\mathfrak{m}$ と同型になることとも同値になる^[5]。

組成因子はすべてこの形をとります^[5]。組成列とは、$M$ を極大イデアルによる剰余体へ分解する手続きだと読めます。

どの剰余体が何回現れるかが、次の定理で決まる量です。

極大な鎖はどれも組成列になる

長さが有限のとき、部分加群の極大な鎖はどれも長さ $\ell (M)$ を持ちます^[5]。途中に挟み込む余地がなくなった時点で、その鎖はもう組成列になっている。

長さを「鎖の長さの上限」と定めても、「組成列の段数」と定めても、同じ値が出ます^[2,5]。

ジョルダン・ヘルダーの定理

組成列を持つ加群では、どの $2$ つの組成列も同値になる^[1,3,4]。長さが等しく、組成因子の多重集合も順序を除いて一致する、という主張です。

$$\{M_i/M_{i-1}\}\cong \{N_j/N_{j-1}\}(\text{並べかえを除いて})$$

この定理があるおかげで、長さが加群の不変量として定まる^[2]。刻み方を選んでも答えが動かない。

証明はシュライアーの細分定理を通す道が標準です^[1]。$2$ つの列に共通の細分をとり、そこから同値性を引き出す。

細分定理の土台はツァッセンハウスの補題です^[1]。$4$ つの部分加群から作った $2$ つの商が同型になる、という補題で、蝶の形の図から蝶の補題とも呼ばれます。

長さの加法性

短完全列があるとき、長さは足し算になります^[2,5]。

$$0\to L\to M\to N\to 0⟹\ell (M)=\ell (L)+\ell (N)$$

$L$ の組成列と $N$ の組成列を継ぎ足せば、$M$ の組成列ができる。段数はそのまま足された数になる。

$L$ と $N$ の一方でも長さが無限なら、$M$ も無限になります^[2]。有限性が $3$ つのあいだで連動する。

長さがベクトル空間の次元公式と同じ形をしているのは、この加法性のためです。

ベクトル空間では次元と一致

体 $k$ 上のベクトル空間では、長さが次元に一致します^[2]。単純な $k$ 加群は $k$ 自身しかないので、組成因子がすべて $1$ 次元になる。

$k$ 代数の上の加群なら、長さは $k$ ベクトル空間としての次元を超えません^[2]。長さは次元より粗い刻み方になる。

有限の長さと 2 つの鎖条件

加群が組成列を持つことと、アルティン加群かつネーター加群であることは同値です^[1,2]。

上へ伸びる鎖も下へ伸びる鎖も止まる、という条件がそろってはじめて刻み切れる。片方だけでは足りない。

長さが有限なら、その加群は有限生成です^[5]。生成元の本数は長さで抑えられる。

アルティン環が自分自身の上で有限の長さを持つのも、この同値から出ます^[2]。

例: 12 で割った剰余群

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の長さは $3$ です^[2]。$12=2^2\cdot 3$ の指数を足した数と一致する。

一般に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の長さは、$n$ の素因数を重複を込めて数えた個数になります^[2]。

部分加群は $12$ の約数と一対一に対応します。組成列は、$1$ から $12$ へ素数を $1$ つずつ掛けて登る道にあたる。

$2,3,2$ の順に掛けるか、$2,2,3$ か、$3,2,2$ か。$3$ 通りの登り方が、そのまま $3$ 通りの組成列です。

素因数分解と組成列が、そのまま対応している。ジョルダン・ヘルダーの一意性が、素因数分解の一意性に重なって見えます。

例: 変数の冪で割った環

$k[x]/(x^n)$ を自分自身の上の加群と見ます。部分加群は $(x^i)$ の像だけで、鎖は $n$ 段で尽きる。

各段の商は $k$ と同型です。組成因子がすべて $k$ で、長さは $n$ になる。

$k$ 上のベクトル空間としての次元も $n$ なので、$2$ つの数が一致します。

例: 整数環には組成列がない

$\mathbb{Z}$ を自分自身の上の加群と見ると、組成列を持ちません^[1]。

$\mathbb{Z}⊋2\mathbb{Z}⊋4\mathbb{Z}⊋\cdots$ が止まらないので、アルティン加群になりません。刻もうとしても底に着かない。

長さは無限と定める^[2]。ネーター加群ではあるので、片方だけでは組成列に届かないと分かります。

群の場合

同じ定義が群にもあります^[3,4]。正規部分群の列で、商がすべて単純群になるものを組成列と呼ぶ。

有限群には必ず組成列があります^[3]。ジョルダン・ヘルダーの定理から、単純群の重複を込めた並びが群ごとに決まる。

有限単純群の分類が重い意味を持つのは、この定理があるためです。組成因子まで下ろせば、単純群の話に帰着する。

$S_3\supset A_3\supset \{e\}$ が短い例です^[4]。因子は $\mathbb{Z}/2$ と $\mathbb{Z}/3$ になる。

よくある誤り

参考文献