有限生成加群の基本性質

有限生成加群は可換環論における中心的な対象である。ベクトル空間が体上の有限次元性をもつのと同様に、環上の加群にも「有限生成」という基本的な有限性条件がある。

定義

$R$ を可換環、$M$ を $R$-加群とする。$M$ が有限生成（finitely generated）であるとは、有限個の元 $m_1,\dots ,m_n\in M$ が存在して

$$M=R{m}_1+R{m}_2+\cdots +R{m}_n$$

となることをいう。このとき $\{m_1,\dots ,m_n\}$ を $M$ の生成系と呼ぶ。

有限生成加群は、全射 $R^n\twoheadrightarrow M$ が存在する加群と言い換えてもよい。

基本性質

有限生成加群は部分加群や商加群に関してよい振る舞いをする。

$M$ が有限生成 $R$-加群で、$N\subset M$ が部分加群のとき、商加群 $M/N$ も有限生成である。$M$ の生成元の像が $M/N$ を生成するからだ。

一方、部分加群が有限生成とは限らない。たとえば $R=k[x_1,x_2,\dots ]$（無限変数多項式環）は 1 で生成される有限生成 $R$-加群だが、イデアル $(x_1,x_2,\dots )$ は有限生成でない。

短完全列との関係

短完全列

$$0\to L\to M\to N\to 0$$

において、$L$ と $N$ がともに有限生成ならば $M$ も有限生成である。$L$ の生成元と、$N$ の生成元の $M$ での持ち上げを合わせれば $M$ の生成系が得られるためだ。

逆に $M$ が有限生成ならば $N$ は有限生成だが、$L$ は必ずしも有限生成でない。これは先述の反例と同じ構造である。

テンソル積と有限生成性

$M$ と $N$ がともに有限生成 $R$-加群ならば、テンソル積 $M{\otimes }_{R}N$ も有限生成である。$M$ の生成元 $\{m_i\}$ と $N$ の生成元 $\{n_j\}$ に対し、$\{m_i\otimes n_j\}$ が $M{\otimes }_{R}N$ を生成する。

有限生成性はスカラー拡大でも保たれる。$R\to S$ を環準同型とし、$M$ が有限生成 $R$-加群ならば、$M{\otimes }_{R}S$ は有限生成 $S$-加群である。

局所化との関係

$S\subset R$ を積閉集合、$M$ を有限生成 $R$-加群とする。このとき $S^{-1}M$ は有限生成 $S^{-1}R$-加群である。$M$ の生成元の像が $S^{-1}M$ を生成するからだ。

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ 上の有限生成加群に対しては中山の補題が適用でき、最小生成元数が ${\dim }_{R/\mathfrak{m}}(M/\mathfrak{m}M)$ で計算できる。