オイラー積が素イデアルを数える〜ゼータ関数は素数分布まで届く

数体 $K$ の素イデアルを全部集めて、次の積を作ります^[1]。

$${\zeta }_K(s)=\prod _{\mathfrak{p}}{\left(1-\frac{1}{N{\mathfrak{p}}^s}\right)}^{-1}$$

これを展開すると、$0$ でないイデアル全体を渡る和になる^[1]。積と和が一致すること自体が、素イデアル分解の一意性の言い換えです。

積を開くとイデアルが並ぶ

各因子を等比級数に開くと $1+N{\mathfrak{p}}^{-s}+N{\mathfrak{p}}^{-2s}+\cdots$ です。素イデアルごとに指数を $1$ つ選ぶ、という操作になります。

選び方の全体が $\prod {\mathfrak{p}}_i^{e_i}$ の全体、つまりイデアル全体と $1$ 対 $1$ に対応する。だから次の等式が成り立ちます^[1][2]。

$${\zeta }_K(s)=\sum _{\mathfrak{a}}\frac{1}{N{\mathfrak{a}}^s}$$

$K=\mathbb{Q}$ なら $N((n))=|n|$ なので、リーマンゼータ関数に戻ります。

平面全体へ広がる

$\mathrm{Re}(s)>1$ で絶対収束し、その外へは有理型関数として解析接続されます。$s=1$ を除いて正則で、そこに $1$ 位の極を持つ^[1]。

ガンマ因子を掛けた完備化を ${\xi }_K(s)$ とすると、関数等式が成り立ちます^[1]。

$${\xi }_K(s)={\xi }_K(1-s),{\xi }_K(s)={\left(\frac{|\Delta |}{4^{r_2}{\pi }^n}\right)}^s\Gamma {\left(\frac{s}{2}\right)}^{r_1}\Gamma (s{)}^{r_2}{\zeta }_K(s)$$

判別式が指数の底に現れます。$s$ と $1-s$ を結ぶ対称性の中心が $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ で、非自明な零点がすべてこの直線上にあるという予想が一般リーマン予想です。

極の位置に算術が乗っている

$s=1$ での留数には、類数、レギュレーター、単数根の個数、判別式がまとめて入ります^[1][2]。

$$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi {)}^{r_2}{h}_K{R}_K}{w_K\sqrt{|d_K|}}$$

極が $1$ 位であることには、それだけで意味があります。ノルムが $x$ 以下のイデアルの個数が $x$ に比例して増える、という事実と同じ内容だからです。比例定数が上の留数になる。

例：ガウス整数環で係数を数える

$K=\mathbb{Q}(i)$ をとります。${\zeta }_K(s)=\sum a_n{n}^{-s}$ と書いたとき、$a_n$ はノルム $n$ のイデアルの個数です。

$a_n={\sum }_{d\mid n}{\chi }_{-4}(d)$ が成り立ちます。${\chi }_{-4}$ は $d$ が $4$ で割って $1$ 余れば $+1$、$3$ 余れば $-1$、偶数なら $0$ という指標です。

この $a_n$ の形は、次の分解を意味しています。

$${\zeta }_{\mathbb{Q}(i)}(s)=\zeta (s)L(s,{\chi }_{-4})$$

${\sum }_n\left({\sum }_{d\mid n}\chi (d)\right)n^{-s}$ が $\left({\sum }_m{m}^{-s}\right)\left({\sum }_d\chi (d)d^{-s}\right)$ と等しいことから出ます。

留数でも確かめられます。$L(1,{\chi }_{-4})=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi }{4}$。いっぽう公式の右辺は $r_1=0$、$r_2=1$、$h=1$、$R=1$、$w=4$、$|d|=4$ なので $\frac{2\pi }{4\cdot 2}=\frac{\pi }{4}$ です。

高さが $0$ の場所は $4$ で割って $3$ 余る素数とその奇数乗です。ガウス整数環での素数の分かれ方が、そのまま係数の並びに出ています。

一般の分解

円分体でも同じ形の分解が起こります。$K=\mathbb{Q}({\zeta }_m)$ なら、法が $m$ を割る原始指標すべてにわたる積になる^[2]。

$${\zeta }_K(s)=\prod _{\chi }L(s,\chi )$$

アーベル拡大なら、この分解が一般に成り立ちます^[1]。ゼータ関数が $L$ 関数の積に割れるかどうかが、拡大がアーベルかどうかと結びついている。

素数の分布へ返ってくる

$\chi$ が自明でなければ $L(1,\chi )\ne 0$ です。ここからディリクレの定理が出ます。

初項と公差が互いに素な等差数列には、素数が無限に含まれる^[3]。しかもディリクレは、素数が剰余類の上に一様に分布することまで示しました^[3]。$\phi (k)$ 個の類に、密度 $\frac{1}{\phi (k)}$ ずつ入ります^[3]。

ガロア拡大へ持ち上げたものがチェボタレフの密度定理です。フロベニウス元の共役類ごとに、素イデアルが群の中の割合どおりに現れる^[4]。

特殊値も算術を持つ

$s$ が整数のときの値にも意味があります。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ は円周率で書け、負の整数での値は有理数になります。

総実な数体では、${\zeta }_K(1-n)$ が有理数になることが知られています。$K$ の算術的な情報が、解析関数の飛び飛びの値として姿を現す。

類数公式も特殊値の話の一部です。極の位置での挙動と、整数点での値。この $2$ 種類の情報が、ゼータ関数から算術を引き出す $2$ つの窓になっています。

素イデアルを $1$ つずつ数える装置を作ったら、そこから類数も単数も素数の分布も出てきました。数える順番を変えただけで、これだけの情報が引き出せます。

参考文献