ゼータ関数と解析的類数公式（代数的整数論）

ゼータ関数は数体の算術的情報を解析的に捉える道具です。その $s = 1$ での振る舞いが類数公式を与え、数論と解析学を結びつけます。

リーマンゼータ関数

リーマンゼータ関数は

$ζ (s) = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{s}} = p \prod \frac{1}{1 - p ^{- s}}$

で定義されます。 $\mathrm{Re}(s) > 1$ で絶対収束し、 $s = 1$ に1位の極を持ちます。

オイラー積表示は素数全体をわたる積であり、ゼータ関数が素数の分布と深く関係することを示しています。

デデキントゼータ関数

数体 $K$ に対し、デデキントゼータ関数を

$ζ_{K} (s) = I \subseteq O_{K} \sum \frac{1}{N ( I ) ^{s}} = p \prod \frac{1}{1 - N ( p ) ^{- s}}$

で定義します。和は非零イデアル全体、積は素イデアル全体をわたります。

$K = Q$ のとき $ζ_{K} (s) = ζ (s)$ となり、リーマンゼータ関数の一般化です。

ζ (s)

$Z$ の素数に関する積

ζ_{K} (s)

$O_{K}$ の素イデアルに関する積

関数等式

$ζ_{K} (s)$ は全複素平面に有理型関数として解析接続され、関数等式

$Λ_{K} (s) = Λ_{K} (1 - s)$

を満たします。ここで $Λ_{K} (s)$ はガンマ因子を含む完備化ゼータ関数です。

$ζ_{K} (s)$ は $s = 1$ に1位の極を持ち、それ以外は $s = 0$ と負の整数に零点を持ちます（自明な零点）。リーマン予想の一般化として、非自明な零点はすべて $Re (s) = 1/2$ 上にあると予想されています。

解析的類数公式

$ζ_{K} (s)$ の $s = 1$ での留数が類数と関係します。

$s \to 1 lim (s - 1) ζ_{K} (s) = \frac{2 ^{r_{1}} ( 2 π ) ^{r_{2}} h _{K} R _{K}}{w _{K} ∣ d _{K} ∣}$

登場する量

$r_{1}$ は実埋め込み数、 $r_{2}$ は複素埋め込み対数、 $h_{K}$ は類数、 $R_{K}$ はレギュレーター、 $w_{K}$ は単位根数、 $d_{K}$ は判別式。

意味

類数とレギュレーターの積が解析的に計算可能。

この公式により、複雑な代数的対象である類数が、ゼータ関数という解析的対象を通じて捉えられます。

ディリクレ $L$ 関数との関係

二次体 $K = Q (d)$ のとき、

$ζ_{K} (s) = ζ (s) L (s, χ_{d})$

と分解します。 $χ_{d}$ は判別式に付随するディリクレ指標です。

$ζ (s)$ の $s = 1$ での極と $L (1, χ_{d}) \neq = 0$ を組み合わせると、二次体の類数公式

$h_{K} = \frac{w _{K} ∣ d _{K} ∣}{2 π} L (1, χ_{d}) （虚二次体）$

が得られます。

ディリクレの算術級数定理

$L (1, χ) \neq = 0$ （ $χ$ は非自明指標）という事実から、ディリクレの算術級数定理が従います。

等差数列 $a, a + m, a + 2 m, \dots$ （ $g cd (a, m) = 1$ ）に無限に多くの素数が含まれることが証明されます。

$ζ_{K} (s)$ の解析的性質

$s = 1$ での留数の計算

類数公式

素数の分布に関する定理

一般化と展望

ゼータ関数の考え方は様々な方向に一般化されています。

ヘッケ $L$ 関数はディリクレ $L$ 関数の一般化であり、アルティン $L$ 関数はガロア表現に付随する $L$ 関数です。これらはラングランズ・プログラムにおいて保型 $L$ 関数と対応すると予想されています。

類数公式は BSD 予想（楕円曲線の $L$ 関数と有理点の関係）のモデルとなり、数論の深い構造を示唆しています。