リッチ曲率とスカラー曲率はリーマン曲率テンソルから得られる縮約であり、曲率の平均的な情報を表す。一般相対性理論で中心的な役割を果...

曲率テンソルは空間の曲がり具合を測るテンソル場である。平行移動の経路依存性として幾何学的に解釈できる。 曲率テンソルの定義 リー...

測地線はリーマン多様体における「まっすぐな曲線」であり、2点間の最短経路を局所的に与える。物理学では自由粒子の運動を記述する。 ...

共変微分はベクトル場を微分する操作であり、接続によって定まる。リーマン幾何学において曲率や測地線を定義する基礎となる。 方向微分...

1の分割は多様体上で局所的な構成を大域化するための基本的な道具である。積分、接続、計量などの大域的構成に不可欠である。 1の分割...

正則値定理は、滑らかな写像の逆像が部分多様体となるための条件を与える。多くの重要な多様体がこの方法で構成される。 臨界点と正則点...

部分多様体は多様体の中に埋め込まれた多様体である。埋め込みとはめ込みは、多様体の間の写像の正則性を記述する。 部分多様体の定義 ...

内部積とリー微分はベクトル場と微分形式の関係を記述する演算である。Cartanの公式でこれらは結びつく。 内部積の定義 ベクトル...

微分形式は余接ベクトルを一般化した概念であり、積分や外微分と自然に結びつく。多様体上の解析の基本言語である。 微分形式の定義 $...

Schur乗数は群の第2ホモロジー群であり、射影表現や普遍中心拡大と深く関わる。Issai Schur が表現論の研究で導入した...

群の拡大とは、ある群を別の群で「膨らませる」操作である。$H^2$ は与えられた核と商を持つ拡大を分類する。 群の拡大の定義 群...

群のコホモロジーは、群の作用を持つ加群から定まるコホモロジー理論である。群の拡大や表現論と深く関わる。 動機：群の作用と不変元 ...

リー群は群であると同時に滑らかな多様体でもあり、群演算が滑らかな写像となる対象である。連続的な対称性を記述する。 リー群の定義 ...

ユニタリ群は複素内積（エルミート内積）を保つ線型変換のなす群である。量子力学において状態空間の対称性を記述する。 ユニタリ群の定...

直交群は内積を保つ線型変換のなす群であり、回転や鏡映といった幾何学的変換を記述する。 直交群の定義 $n$ 次直交群 $O(n)...

一般線型群と特殊線型群は行列のなす群であり、線型代数と群論を結びつける基本的な対象である。 一般線型群の定義 体 $K$ 上の ...

有限生成アーベル群のねじれ部分は有限位数の元全体からなる部分群である。ねじれ部分は群の「有限な部分」を捉え、自由部分と直和に分離...

自由アーベル群は「関係式のない可換群」であり、整数係数ベクトル空間に相当する。階数は自由アーベル群の「次元」を表す不変量である。...

散在型単純群は有限単純群の分類において無限系列に属さない26個の「例外的な」群である。モンスター群を頂点とする階層構造を持ち、数...

有限単純群の分類は20世紀数学の巨大な成果である。すべての有限単純群が特定の4つのクラスに属することが、多くの数学者の協力により...

単純群は非自明な正規部分群を持たない群であり、群論における「原子」のような存在である。有限群はすべて単純群から構成される。 単純...

群の表示に関する決定問題の多くは一般には解けない（決定不能）ことが知られている。これは群論と計算理論の深い関係を示している。 語...

Tietze 変換は群の表示を別の表示に変換する基本操作である。2つの表示が同じ群を定義するかどうかを判定する理論的基盤を与える...

群の表示は生成元と関係式によって群を記述する方法である。有限表示群は組み合わせ的群論の主要な研究対象である。 表示の定義 群 $...