測地線とその性質

測地線はリーマン多様体における「まっすぐな曲線」であり、2点間の最短経路を局所的に与える。物理学では自由粒子の運動を記述する。

測地線の定義

曲線 $\gamma :I\to M$ が測地線（geodesic）であるとは、速度ベクトルが平行移動で不変であること、すなわち

$${\nabla }_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma }=0$$

を満たすことをいう。「加速度がゼロ」という条件である。

測地線方程式

座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ で $\gamma (t)=(x^1(t),\dots ,x^n(t))$ と書くと、測地線方程式は

$$\frac{d^2{x}^k}{d{t}^2}+\sum _{i,j}{\Gamma }_{ij}^k\frac{d{x}^i}{dt}\frac{d{x}^j}{dt}=0$$

となる。これは $n$ 個の2階常微分方程式からなる系である。

存在と一意性

初期条件 $\gamma (0)=p$, $\dot{\gamma }(0)=v\in T_{p}M$ を与えると、測地線は局所的に一意に存在する。

常微分方程式の解の存在と一意性定理から従う。

測地線の例

${\mathbb{R}}^n$（ユークリッド空間）では ${\Gamma }_{ij}^k=0$ なので、測地線は直線 $\gamma (t)=p+tv$ である。

$S^2$（球面）では測地線は大円である。北極と南極を結ぶ子午線、赤道などがこれにあたる。

パラメータの取り替え

$\gamma (t)$ が測地線ならば、$\gamma (at+b)$（アフィン変換）も測地線である。

一般のパラメータ変換では測地線にならない。測地線のパラメータをアフィンパラメータという。

速さ一定

測地線上では速さ $|\dot{\gamma }|=\sqrt{g(\dot{\gamma },\dot{\gamma })}$ は一定である。

$\frac{d}{dt}g(\dot{\gamma },\dot{\gamma })=2g({\nabla }_{\dot{\gamma }}\dot{\gamma },\dot{\gamma })=0$ から従う。

指数写像

$p\in M$ と $v\in T_{p}M$ に対して、${\gamma }_v(t)$ を初期条件 ${\gamma }_v(0)=p$, ${\dot{\gamma }}_v(0)=v$ の測地線とする。

指数写像 ${\exp }_p:T_{p}M\supset U\to M$ を

$${\exp }_p(v)={\gamma }_v(1)$$

で定義する。$U$ は原点の十分小さい近傍である。

指数写像の性質

3番目の性質から、${\exp }_p$ は原点の近傍で微分同相となる。

法座標

$p$ の近傍で ${\exp }_p$ を用いた座標を法座標（normal coordinates）という。

法座標では ${\Gamma }_{ij}^k(p)=0$ となる。$p$ を通る測地線は法座標で直線 $x^i(t)=t{v}^i$ と表される。

測地線と距離

2点 $p,q$ を結ぶ曲線のうち、長さを最小にするものは測地線である（局所的に）。

より正確には、十分近い2点を結ぶ最短曲線は測地線であり、長さはリーマン距離 $d(p,q)$ に等しい。

変分原理

長さ汎関数

$$L[\gamma ]={\int }_a^b|\dot{\gamma }(t)|dt$$

の停留条件が測地線方程式を与える。エネルギー汎関数

$$E[\gamma ]=\frac{1}{2}{\int }_a^b|\dot{\gamma }(t){|}^{2}dt$$

の停留条件も同じ方程式を与える。

測地的完備性

任意の測地線が $t\in (-\infty ,\infty )$ で定義できるとき、$(M,g)$ を測地的に完備という。

コンパクト多様体は測地的に完備である。${\mathbb{R}}^n$ から1点を除いた空間は完備でない。