測地線はリーマン多様体における「まっすぐな曲線」であり、2点間の最短経路を局所的に与える。物理学では自由粒子の運動を記述する。
測地線の定義
曲線 が測地線（geodesic）であるとは、速度ベクトルが平行移動で不変であること、すなわち
を満たすことをいう。「加速度がゼロ」という条件である。
測地線方程式
座標 で と書くと、測地線方程式は
となる。これは 個の2階常微分方程式からなる系である。
存在と一意性
初期条件 , を与えると、測地線は局所的に一意に存在する。
常微分方程式の解の存在と一意性定理から従う。
測地線の例
（ユークリッド空間）では なので、測地線は直線 である。
（球面）では測地線は大円である。北極と南極を結ぶ子午線、赤道などがこれにあたる。
パラメータの取り替え
が測地線ならば、（アフィン変換）も測地線である。
一般のパラメータ変換では測地線にならない。測地線のパラメータをアフィンパラメータという。
速さ一定
測地線上では速さ は一定である。
から従う。
指数写像
と に対して、 を初期条件 , の測地線とする。
指数写像 を
で定義する。 は原点の十分小さい近傍である。
指数写像の性質
（ が小さいとき）
は恒等写像
3番目の性質から、 は原点の近傍で微分同相となる。
法座標
の近傍で を用いた座標を法座標（normal coordinates）という。
法座標では となる。 を通る測地線は法座標で直線 と表される。
測地線と距離
2点 を結ぶ曲線のうち、長さを最小にするものは測地線である（局所的に）。
より正確には、十分近い2点を結ぶ最短曲線は測地線であり、長さはリーマン距離 に等しい。
変分原理
長さ汎関数
の停留条件が測地線方程式を与える。エネルギー汎関数
の停留条件も同じ方程式を与える。
測地的完備性
任意の測地線が で定義できるとき、 を測地的に完備という。
コンパクト多様体は測地的に完備である。 から1点を除いた空間は完備でない。
