Tietze変換

Tietze 変換は群の表示を別の表示に変換する基本操作である。2つの表示が同じ群を定義するかどうかを判定する理論的基盤を与える。

Tietze変換の種類

Tietze 変換には4種類（または2種類の対）がある。

関係式の追加・削除

$⟨S\mid R⟩$ で $r\in F(S)$ が $R$ から導かれる（$R$ の正規閉包に含まれる）なら、

$$⟨S\mid R⟩\cong ⟨S\mid R\cup \{r\}⟩$$

である。冗長な関係式の追加・削除は同型を保つ。

生成元の追加・削除

$⟨S\mid R⟩$ に新しい生成元 $t$ と関係式 $t=w$（$w$ は $S$ 上の語）を追加すると、

$$⟨S\mid R⟩\cong ⟨S\cup \{t\}\mid R\cup \{t=w\}⟩$$

である。$t$ は $w$ の別名にすぎない。

Tietzeの定理

2つの有限表示が同じ群を定義する $\iff$ 一方から他方へ有限回の Tietze 変換で移れる。

Tietze 変換は群の表示の「同値関係」を生成する。

例：表示の変形

$⟨a\mid a^6⟩$ から出発する。

生成元 $b$ と関係式 $b=a^2$ を追加：$⟨a,b\mid a^6,b=a^2⟩$

関係式 $b^3=a^6=e$ を追加：$⟨a,b\mid a^6,b=a^2,b^3⟩$

$a^6=(a^2{)}^3=b^3$ なので $a^6$ を削除：$⟨a,b\mid b=a^2,b^3⟩$

さらに変形して：$⟨a,b\mid a^2=b,b^3⟩\cong ⟨a,b\mid a^2,b^3,ab=ba⟩$（$a^2=b$ から可換性が従う場合）

有限性の保存

Tietze 変換では有限表示性は保存される。有限回の変換で有限表示から無限表示にはならない。

同型問題との関係

Tietze の定理は「2つの表示が同じ群か」という問題に理論的な答えを与える。しかし、必要な Tietze 変換の回数に上限がないため、一般には決定不能問題となる。

表示の単純化

複雑な表示を単純化するのに Tietze 変換が使われる。

冗長な生成元や関係式を削除し、最小限の表示を求める。ただし「最小」の定義は文脈による（生成元の数、関係式の数、総長さなど）。

Reidemeister-Schreier法

$G=⟨S\mid R⟩$ の部分群 $H$ の表示を求める方法として Reidemeister-Schreier 法がある。この過程で Tietze 変換を用いて表示を整理する。

AC移動

表示の関係式に現れる生成元の出現を変形する操作（Andrews-Curtis 移動）は Tietze 変換の特殊な組み合わせである。

Andrews-Curtis 予想（AC予想）は、自明群のある表示が標準的な表示に AC 移動で移れるかという未解決問題である。