自由アーベル群と階数

自由アーベル群は「関係式のない可換群」であり、整数係数ベクトル空間に相当する。階数は自由アーベル群の「次元」を表す不変量である。

自由アーベル群の定義

集合 $S$ 上の自由アーベル群 $Z^{(S)}$ は、 $S$ の元を基底とする形式和

$s \in S \sum n_{s} s (n_{s} \in Z, 有限個を除いて n_{s} = 0)$

全体からなる群である。演算は成分ごとの加法で定義される。

自由群 $F (S)$ は非可換だが、自由アーベル群 $Z^{(S)}$ はその可換化である。

$Z^{(S)} ≅ F (S) / [F (S), F (S)]$

$∣ S ∣ = n$ のとき $Z^{(S)} ≅ Z^{n}$ と書く。

自由アーベル群は次の普遍性で特徴づけられる。

包含 $ι : S ↪ Z^{(S)}$ が存在し、任意のアーベル群 $A$ と写像 $f : S \to A$ に対して、 $\tilde{f} \circ ι = f$ となる群準同型 $\tilde{f} : Z^{(S)} \to A$ が一意に存在する。

自由アーベル群 $F ≅ Z^{n}$ の階数（rank）は $n$ である。

階数は基底の元の個数であり、 $Q$ 上のベクトル空間 $F \otimes_{Z} Q$ の次元に等しい。

$Z^{m} ≅ Z^{n}$ ならば $m = n$ である。

$Q^{m} ≅ Q^{n} \Rightarrow m = n$ であり、 $Z^{m} \otimes Q ≅ Q^{m}$ なので従う。

自由アーベル群の部分群は自由アーベル群である。

$Z^{n}$ の部分群は $Z^{m}$ （ $m \leq n$ ）と同型である。これは体上のベクトル空間と異なる性質である（ $Q$ の部分空間は ${0}$ か $Q$ のみ）。

$Z^{n}$ の部分群 $H$ に対して、 $Z^{n}$ の基底 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ と正整数 $d_{1}, \dots, d_{m}$ （ $d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{m}$ ）が存在して

$H = Z d_{1} e_{1} \oplus \dots \oplus Z d_{m} e_{m}$

と表せる。 $d_{i}$ は $H$ の単因子と呼ばれる。

$Z^{n}$ の部分群 $H$ に対して、 $Z^{n} / H$ は有限生成アーベル群である。

$H ≅ Z^{m}$ のとき、 $Z^{n} / H ≅ Z^{n - m} \times (有限群)$ となる。

$Z$ は階数1の自由アーベル群である。

$Z [x]$ （整数係数多項式の加法群）は可算無限階数の自由アーベル群であり、 ${1, x, x^{2}, \dots}$ が基底となる。

有限生成アーベル群 $G$ は

$G ≅ Z^{r} \times Z / d_{1} Z \times \dots \times Z / d_{k} Z$

と分解される。 $r$ は $G$ の階数、 $d_{1} ∣ \dots ∣ d_{k}$ は $G$ のねじれ部分の単因子である。

位相空間のホモロジー群は一般に有限生成アーベル群であり、その階数がベッチ数となる。

$H_{1} (T^{2}) ≅ Z^{2}$ は階数2（ベッチ数 $b_{1} = 2$ ）、 $H_{1} (RP^{2}) ≅ Z /2 Z$ は階数0でねじれを持つ。