生成系があっても基底はとれない、自由アーベル群と階数

${\mathbb{Z}}^2$ は $(2,2)$、$(3,6)$、$(0,5)$ の 3 本で生成されます^[1]。ところが、この 3 本からどの 2 本を選んでも基底になりません。

ベクトル空間なら、生成系から基底がとり出せます。係数が体でなく $\mathbb{Z}$ になると、その性質が消えます。

自由アーベル群

集合 $S$ の元を基底とし、整数係数の有限和の全体を作ります。これが $S$ 上の自由アーベル群です^[2]。

有限集合なら ${\mathbb{Z}}^n$ と同型で、$n$ を階数といいます。

特徴づけは普遍性です。アーベル群 $A$ と写像 $f:S\to A$ に対し、$f$ を延長する準同型 ${\mathbb{Z}}^S\to A$ がただ 1 つ存在する。

基底の行き先を勝手に決めてよい、という点はベクトル空間と同じです。違いは、部分集合の側に出ます。

階数は決まる

${\mathbb{Z}}^m\cong {\mathbb{Z}}^n$ なら $m=n$ です^[1]。

証明は係数を体に落とすだけ。同型 ${\mathbb{Z}}^m\cong {\mathbb{Z}}^n$ があれば、両辺を $2$ 倍した部分群で割った商どうしも同型になります。

$$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^m\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^n$$

これは ${\mathbb{F}}_2$ 上のベクトル空間としての同型です。次元が一意なので $m=n$ になります^[1]。

一般の可換環でも、極大イデアルで割れば同じ議論が通ります^[1]。可換性は要ります。非可換なら $A^2\cong A$ となる環があるためです^[1]。

基底かどうかは行列式で決まる

${\mathbb{Z}}^n$ の $n$ 本のベクトルが基底になるのは、それらを列に並べた行列の行列式が $\pm 1$ のときに限ります^[1]。

行列式が $\pm 1$ なら逆行列も整数成分になり、標準基底へ戻せます。逆に基底なら、両向きの変換行列がどちらも整数成分で積が単位行列なので、行列式の積が $1$ になる。整数で積が $1$ なら $\pm 1$ です^[1]。

行列式が $2$ だと、張るのは指数 $2$ の部分群にとどまります。ベクトル空間なら「$0$ でなければよい」で済むところが、$\mathbb{Z}$ では $\pm 1$ に絞られる。

生成系から基底がとれない

$\{2,3\}$ は $\mathbb{Z}$ を生成します。$3-2=1$ だからです。それでも $\{2\}$ も $\{3\}$ も基底ではありません^[1]。

階数 $2$ でも同じことが起きます^[1]。$(2,2)$、$(3,6)$、$(0,5)$ の 3 本をとります。

整数結合で標準基底が作れます。

$$\begin{array}{rl}(1,0)& =-4(2,2)+3(3,6)-2(0,5)\\ (0,1)& =12(2,2)-8(3,6)+5(0,5)\end{array}$$

だから 3 本は ${\mathbb{Z}}^2$ を生成します。ところが 2 本ずつの行列式を計算すると

$$\det \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 6\end{array}\right)=6,\det \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 5\end{array}\right)=10,\det \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 6& 5\end{array}\right)=15$$

どれも $\pm 1$ ではありません^[1]。どの 2 本も基底にならない。

3 本の生成系から基底がとり出せず、基底は別に作り直すしかない。ベクトル空間との差がいちばんはっきり出る場面です。

部分群も自由

失うものもあれば、得るものもあります。階数 $n$ の自由アーベル群の部分群は、階数 $n$ 以下の自由アーベル群です^[1]。

証明は $n$ についての帰納法です^[1]。$n=0$ は自明、$n=1$ は $\mathbb{Z}$ の部分群が $\{0\}$ か $a\mathbb{Z}$ で、後者は $\mathbb{Z}$ と同型なので成り立ちます。

${\mathbb{Z}}^{n+1}={\mathbb{Z}}^n\oplus \mathbb{Z}$ と分け、第 1 成分への射影を $\pi$ とします。部分群 $M\subseteq {\mathbb{Z}}^{n+1}$ をとると、$\pi (M)$ は ${\mathbb{Z}}^n$ の部分群なので、帰納法の仮定から階数 $d\le n$ の自由アーベル群です。

$\pi (M)=0$ なら $M\subseteq 0\oplus \mathbb{Z}$ で、階数 $1$ 以下。

$\pi (M)\ne 0$ とします。$\pi (M)$ の基底を $\pi (e_1),\dots ,\pi (e_d)$（$e_i\in M$）と書きます。この $e_i$ たちは $M$ の中で線型独立です。$\sum a_i{e}_i=0$ に $\pi$ を当てれば $\sum a_i\pi (e_i)=0$ となり、係数がすべて $0$ になるためです^[1]。

$m\in M$ に対し $\pi (m)=\sum a_i\pi (e_i)$ と一意に書けるので、$m-\sum a_i{e}_i$ は $\pi$ の核に入ります。これで

$$M\cong {\mathbb{Z}}^d\oplus \ker (\pi {|}_M)$$

が出ます。核は $0\oplus \mathbb{Z}$ の部分群なので階数 $1$ 以下。合わせて $M$ の階数は $d$ か $d+1$ で、どちらも $n+1$ 以下です^[1]。

階数は下がることはあっても、上がりません。$2\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}$ のように、真部分群でも階数が同じことはあります。

自由と、ねじれがないこと

自由アーベル群にはねじれ元がありません。$n(a_1,\dots ,a_k)=0$ なら各成分で $n{a}_i=0$ となり、$\mathbb{Z}$ にねじれがないので $a_i=0$ です。

逆は成り立ちません。ねじれがなくても基底を持つとは限らない^[1]。有理数の加法群がその例です。

有限生成という条件を足すと逆も成り立ちます^[2]。$\mathbb{Z}$ が単項イデアル整域であることが効いています。

一般のアーベル群の階数

自由でないアーベル群にも階数が定まります^[2]。線型独立な元の最大個数として決めます。

$\mathbb{Z}$ 上で線型独立とは、$\sum n_i{a}_i=0$ が $n_i$ をすべて $0$ に強いること。ねじれ元は $na=0$ を満たすので、単独で従属になります。

だからねじれ群の階数は $0$ です。$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の階数は $1$、$\mathbb{Q}$ の階数は $1$ になります。

有限指数の部分群では階数が変わりません。$H\subseteq {\mathbb{Z}}^n$ の指数が有限なら、$H$ の階数も $n$ です。指数が有限であることは、${\mathbb{Z}}^n/H$ がねじれ群であることと同じだからです。

自由アーベル群は、ベクトル空間から「割り算」をとり上げた形をしています。基底の存在という性質は残り、生成系から基底を選べるという性質だけが落ちる。その落差が、行列式が $\pm 1$ に限られるという一点に集まっています。

参考