生成系があっても基底はとれない、自由アーベル群と階数

$Z^{2}$ は $(2, 2)$ 、 $(3, 6)$ 、 $(0, 5)$ の 3 本で生成されます^[1]。ところが、この 3 本からどの 2 本を選んでも基底になりません。

ベクトル空間なら、生成系から基底がとり出せます。係数が体でなく $Z$ になると、その性質が消えます。

自由アーベル群

集合 $S$ の元を基底とし、整数係数の有限和の全体を作ります。これが $S$ 上の自由アーベル群です^[2]。

有限集合なら $Z^{n}$ と同型で、 $n$ を階数といいます。

特徴づけは普遍性です。アーベル群 $A$ と写像 $f : S \to A$ に対し、 $f$ を延長する準同型 $Z^{S} \to A$ がただ 1 つ存在する。

基底の行き先を勝手に決めてよい、という点はベクトル空間と同じです。違いは、部分集合の側に出ます。

階数は決まる

$Z^{m} ≅ Z^{n}$ なら $m = n$ です^[1]。

証明は係数を体に落とすだけ。同型 $Z^{m} ≅ Z^{n}$ があれば、両辺を $2$ 倍した部分群で割った商どうしも同型になります。

$(Z /2 Z)^{m} ≅ (Z /2 Z)^{n}$

これは $F_{2}$ 上のベクトル空間としての同型です。次元が一意なので $m = n$ になります^[1]。

一般の可換環でも、極大イデアルで割れば同じ議論が通ります^[1]。可換性は要ります。非可換なら $A^{2} ≅ A$ となる環があるためです^[1]。

基底かどうかは行列式で決まる

$Z^{n}$ の $n$ 本のベクトルが基底になるのは、それらを列に並べた行列の行列式が $\pm 1$ のときに限ります^[1]。

行列式が $\pm 1$ なら逆行列も整数成分になり、標準基底へ戻せます。逆に基底なら、両向きの変換行列がどちらも整数成分で積が単位行列なので、行列式の積が $1$ になる。整数で積が $1$ なら $\pm 1$ です^[1]。

行列式が $2$ だと、張るのは指数 $2$ の部分群にとどまります。ベクトル空間なら「 $0$ でなければよい」で済むところが、 $Z$ では $\pm 1$ に絞られる。

生成系から基底がとれない

${2, 3}$ は $Z$ を生成します。 $3 - 2 = 1$ だからです。それでも ${2}$ も ${3}$ も基底ではありません^[1]。

階数 $2$ でも同じことが起きます^[1]。 $(2, 2)$ 、 $(3, 6)$ 、 $(0, 5)$ の 3 本をとります。

整数結合で標準基底が作れます。

$(1, 0) (0, 1) = - 4 (2, 2) + 3 (3, 6) - 2 (0, 5) = 12 (2, 2) - 8 (3, 6) + 5 (0, 5)$

だから 3 本は $Z^{2}$ を生成します。ところが 2 本ずつの行列式を計算すると

$det (2236) = 6, det (2205) = 10, det (3605) = 15$

どれも $\pm 1$ ではありません^[1]。どの 2 本も基底にならない。

3 本の生成系から基底がとり出せず、基底は別に作り直すしかない。ベクトル空間との差がいちばんはっきり出る場面です。

部分群も自由

失うものもあれば、得るものもあります。階数 $n$ の自由アーベル群の部分群は、階数 $n$ 以下の自由アーベル群です^[1]。

証明は $n$ についての帰納法です^[1]。 $n = 0$ は自明、 $n = 1$ は $Z$ の部分群が ${0}$ か $a Z$ で、後者は $Z$ と同型なので成り立ちます。

$Z^{n + 1} = Z^{n} \oplus Z$ と分け、第 1 成分への射影を $π$ とします。部分群 $M \subseteq Z^{n + 1}$ をとると、 $π (M)$ は $Z^{n}$ の部分群なので、帰納法の仮定から階数 $d \leq n$ の自由アーベル群です。

$π (M) = 0$ なら $M \subseteq 0 \oplus Z$ で、階数 $1$ 以下。

$π (M) \neq = 0$ とします。 $π (M)$ の基底を $π (e_{1}), \dots, π (e_{d})$ （ $e_{i} \in M$ ）と書きます。この $e_{i}$ たちは $M$ の中で線型独立です。 $\sum a_{i} e_{i} = 0$ に $π$ を当てれば $\sum a_{i} π (e_{i}) = 0$ となり、係数がすべて $0$ になるためです^[1]。

$m \in M$ に対し $π (m) = \sum a_{i} π (e_{i})$ と一意に書けるので、 $m - \sum a_{i} e_{i}$ は $π$ の核に入ります。これで

$M ≅ Z^{d} \oplus ker (π ∣_{M})$

が出ます。核は $0 \oplus Z$ の部分群なので階数 $1$ 以下。合わせて $M$ の階数は $d$ か $d + 1$ で、どちらも $n + 1$ 以下です^[1]。

階数は下がることはあっても、上がりません。 $2 Z \subset Z$ のように、真部分群でも階数が同じことはあります。

自由と、ねじれがないこと

自由アーベル群にはねじれ元がありません。 $n (a_{1}, \dots, a_{k}) = 0$ なら各成分で $n a_{i} = 0$ となり、 $Z$ にねじれがないので $a_{i} = 0$ です。

逆は成り立ちません。ねじれがなくても基底を持つとは限らない^[1]。有理数の加法群がその例です。

有限生成という条件を足すと逆も成り立ちます^[2]。 $Z$ が単項イデアル整域であることが効いています。

ベクトル空間

生成系から基底がとれる。次元より小さい生成系はない

自由アーベル群

生成系から基底がとれるとは限らない。部分群はつねに自由になる

一般のアーベル群の階数

自由でないアーベル群にも階数が定まります^[2]。線型独立な元の最大個数として決めます。

$Z$ 上で線型独立とは、 $\sum n_{i} a_{i} = 0$ が $n_{i}$ をすべて $0$ に強いること。ねじれ元は $na = 0$ を満たすので、単独で従属になります。

だからねじれ群の階数は $0$ です。 $Z \times Z /6 Z$ の階数は $1$ 、 $Q$ の階数は $1$ になります。

有限指数の部分群では階数が変わりません。 $H \subseteq Z^{n}$ の指数が有限なら、 $H$ の階数も $n$ です。指数が有限であることは、 $Z^{n} / H$ がねじれ群であることと同じだからです。

$Z^{2}$ の中で $(3, 1)$ と $(5, 2)$ は基底になりますか。

行列式が $1$ なので基底になる
成分に $1$ より大きい数があるので基底にならない
2 本では足りないので基底にならない

__RESULT__

行列式は $3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ です。 $Z^{n}$ の $n$ 本のベクトルが基底になるのは、列に並べた行列の行列式が $\pm 1$ のときに限るので、この 2 本は基底になります。逆行列も整数成分になり、標準基底へ戻せます。

自由アーベル群は、ベクトル空間から「割り算」をとり上げた形をしています。基底の存在という性質は残り、生成系から基底を選べるという性質だけが落ちる。その落差が、行列式が $\pm 1$ に限られるという一点に集まっています。

参考

Keith Conrad, *Modules over a PID*, University of Connecticut

Pierre Lorenzon, *Structure des groupes abéliens de type fini*, Université Paris-Saclay

平面の格子は $(2,2)$、$(3,6)$、$(0,5)$ の 3 本で生成されますが、どの 2 本を選んでも基底になりません。ベクトル空間なら生成系から基底がとれるのに、係数が整数になるとその性質が落ちます。$n$ 本のベクトルが基底になるのは行列式が $1$ か $-1$ のときだけで、$0$ でなければよい、では足りない。階数が一意に決まることを $2$ で割った商から示し、階数 $n$ の自由アーベル群の部分群が階数 $n$ 以下の自由アーベル群になることを帰納法で証明しました。ねじれがないことと自由であることの差、一般のアーベル群の階数まで。