部分多様体は多様体の中に埋め込まれた多様体である。埋め込みとはめ込みは、多様体の間の写像の正則性を記述する。
部分多様体の定義
次元多様体 の部分集合 が 次元部分多様体（submanifold）であるとは、各点 の近傍で が 個の座標で記述できることをいう。
より正確には、 の座標近傍 で
となるものが存在する。
部分多様体の例
内の球面 は 次元部分多様体である。
内の円 は 次元部分多様体である。
は の開部分多様体である。
はめ込みの定義
滑らかな写像 がはめ込み（immersion）であるとは、各点 で微分 が単射となることをいう。
はめ込みは局所的に「次元を落とさない」写像である。
はめ込みの例
, を考える。 であり、 で だが、 で となる。これははめ込みではない。
は から へのはめ込みである（周期的なので単射ではない）。
埋め込みの定義
滑らかな写像 が埋め込み（embedding）であるとは、 がはめ込みであり、 が位相空間として同相であることをいう。
微分が各点で単射。局所的に「きれいに」入る。自己交差を許す。
はめ込みかつ像への同相。大域的にも「きれいに」入る。自己交差なし。
埋め込みの例
包含写像 は埋め込みである。
から への写像 ははめ込みだが埋め込みではない（像は だが、 と は同相でない）。
8の字曲線
, は8の字型の曲線を描く。
これははめ込みである（）が、像が原点で自己交差するため、埋め込みではない。
閉はめ込み
はめ込み で、 が固有写像（コンパクト集合の逆像がコンパクト）であり、 が単射ならば、 は埋め込みである。
特に、 がコンパクトで が単射なはめ込みならば埋め込みとなる。
接空間と部分多様体
が部分多様体で、包含 が埋め込みのとき、
と同一視できる。 は の部分空間である。
法束
埋め込み に対して、各点 での法空間は
である。リーマン多様体では内積を用いて とも定義できる。
法空間を集めた法束 はベクトル束をなす。
Whitney の埋め込み定理
任意の 次元多様体は に埋め込める。また にはめ込める。
は最良であり、 は に埋め込めない（はめ込みは可能）。
