部分多様体と埋め込み

部分多様体は多様体の中に埋め込まれた多様体である。埋め込みとはめ込みは、多様体の間の写像の正則性を記述する。

部分多様体の定義

$n$ 次元多様体 $M$ の部分集合 $S$ が $k$ 次元部分多様体（submanifold）であるとは、各点 $p\in S$ の近傍で $S$ が $k$ 個の座標で記述できることをいう。

より正確には、$p$ の座標近傍 $(U,\phi )$ で

$$S\cap U=\{q\in U:{\phi }^{k+1}(q)=\cdots ={\phi }^n(q)=0\}$$

となるものが存在する。

部分多様体の例

${\mathbb{R}}^3$ 内の球面 $S^2=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}$ は $2$ 次元部分多様体である。

${\mathbb{R}}^2$ 内の円 $S^1=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$ は $1$ 次元部分多様体である。

$G{L}_n(\mathbb{R})$ は $M_n(\mathbb{R})\cong {\mathbb{R}}^{n^2}$ の開部分多様体である。

はめ込みの定義

滑らかな写像 $f:M\to N$ がはめ込み（immersion）であるとは、各点 $p\in M$ で微分 $d{f}_p:T_{p}M\to T_{f(p)}N$ が単射となることをいう。

はめ込みは局所的に「次元を落とさない」写像である。

はめ込みの例

$\gamma :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$, $\gamma (t)=(t^2,t^3)$ を考える。${\gamma }^{\prime }(t)=(2t,3t^2)$ であり、$t\ne 0$ で ${\gamma }^{\prime }(t)\ne 0$ だが、$t=0$ で ${\gamma }^{\prime }(0)=0$ となる。これははめ込みではない。

$\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ は $\mathbb{R}$ から $S^1$ へのはめ込みである（周期的なので単射ではない）。

埋め込みの定義

滑らかな写像 $f:M\to N$ が埋め込み（embedding）であるとは、$f$ がはめ込みであり、$f:M\to f(M)$ が位相空間として同相であることをいう。

埋め込みの例

包含写像 $\iota :S^1\hookrightarrow {\mathbb{R}}^2$ は埋め込みである。

$\mathbb{R}$ から ${\mathbb{R}}^2$ への写像 $t\mapsto (\cos t,\sin t)$ ははめ込みだが埋め込みではない（像は $S^1$ だが、$\mathbb{R}$ と $S^1$ は同相でない）。

8の字曲線

$\gamma :(-\pi ,\pi )\to {\mathbb{R}}^2$, $\gamma (t)=(\sin t,\sin t\cos t)$ は8の字型の曲線を描く。

これははめ込みである（${\gamma }^{\prime }(t)\ne 0$）が、像が原点で自己交差するため、埋め込みではない。

閉はめ込み

はめ込み $f:M\to N$ で、$f$ が固有写像（コンパクト集合の逆像がコンパクト）であり、$f$ が単射ならば、$f$ は埋め込みである。

特に、$M$ がコンパクトで $f$ が単射なはめ込みならば埋め込みとなる。

接空間と部分多様体

$S\subset M$ が部分多様体で、包含 $\iota :S\hookrightarrow M$ が埋め込みのとき、

$$T_{p}S\cong d{\iota }_p(T_{p}S)\subset T_{p}M$$

と同一視できる。$T_{p}S$ は $T_{p}M$ の部分空間である。

法束

埋め込み $S\subset M$ に対して、各点 $p\in S$ での法空間は

$$N_{p}S=T_{p}M/T_{p}S$$

である。リーマン多様体では内積を用いて $N_{p}S=(T_{p}S{)}^{\perp }$ とも定義できる。

法空間を集めた法束 $NS\to S$ はベクトル束をなす。

Whitney の埋め込み定理

任意の $n$ 次元多様体は ${\mathbb{R}}^{2n}$ に埋め込める。また ${\mathbb{R}}^{2n+1}$ にはめ込める。

$2n$ は最良であり、${\mathbb{RP}}^2$ は ${\mathbb{R}}^3$ に埋め込めない（はめ込みは可能）。