群の表示（生成元と関係式）

群の表示は生成元と関係式によって群を記述する方法である。有限表示群は組み合わせ的群論の主要な研究対象である。

表示の定義

群 $G$ の表示（presentation）は $G=⟨S\mid R⟩$ の形で書かれる。$S$ は生成元の集合、$R$ は関係式（$F(S)$ の元）の集合である。

$G\cong F(S)/N$ であり、$N$ は $R$ の元で生成される $F(S)$ の正規閉包（$R$ を含む最小の正規部分群）である。

表示の例

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=⟨a\mid a^n⟩$ である。生成元 $a$ に関係式 $a^n=e$ を課す。

$\mathbb{Z}=⟨a\mid ⟩$ である。関係式なし。

${\mathbb{Z}}^2=⟨a,b\mid ab=ba⟩=⟨a,b\mid ab{a}^{-1}{b}^{-1}⟩$ である。

有限表示群

$S$ と $R$ がともに有限のとき、$G$ を有限表示群（finitely presented group）という。

有限表示群は計算可能性の観点から重要であり、多くの「自然な」群は有限表示群である。

二面体群の表示

$D_n=⟨r,s\mid r^n,s^2,srs=r^{-1}⟩$ である。

$r$ は $2\pi /n$ の回転、$s$ は鏡映を表す。関係式 $srs=r^{-1}$ は鏡映が回転の向きを反転させることを意味する。

対称群の表示

$S_n=⟨s_1,\dots ,s_{n-1}\mid s_i^2,(s_i{s}_j{)}^2(|i-j|\ge 2),(s_i{s}_{i+1}{)}^3⟩$

$s_i=(ii+1)$ は隣接互換である。これは Coxeter 表示と呼ばれる。

自由積

$G=⟨S_1\mid R_1⟩$, $H=⟨S_2\mid R_2⟩$ の自由積は

$$G\ast H=⟨S_1\cup S_2\mid R_1\cup R_2⟩$$

である。$G$ と $H$ の元を自由に交互に並べた群。

融合積

共通部分群 $A$ を持つ $G$ と $H$ の融合積（amalgamated free product）は

$$G{\ast }_{A}H=⟨S_1\cup S_2\mid R_1\cup R_2\cup \{a=\phi (a):a\in A\}⟩$$

である。$A$ の元を同一視する。van Kampen の定理に現れる。

HNN拡大

群 $G$ と部分群 $A,B\le G$、同型 $\phi :A\to B$ に対して、HNN 拡大は

$$G{\ast }_{\phi }=⟨G,t\mid t^{-1}at=\phi (a),a\in A⟩$$

である。新しい元 $t$ が $A$ と $B$ を共役にする。

表示の非一意性

同じ群が異なる表示を持ちうる。

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=⟨a\mid a^6⟩=⟨a,b\mid a^2,b^3,ab=ba⟩$

表示から群の性質を読み取ることは一般に難しい。

Dehn関数

有限表示群 $G=⟨S\mid R⟩$ において、$F(S)$ で自明な語（$N$ に属する語）を関係式で書き換えて空語にするのに必要な操作回数の最大値を、語の長さの関数として見たものが Dehn 関数である。

Dehn 関数は群の計算複雑性を測る指標であり、幾何学的群論で重要である。