生成元と関係式で群を切り出す「表示」の読み方と落とし穴

$⟨x,y\mid xy=1,y{x}^2=1⟩$ が定める群は、単位元 1 個だけです^[2]。

生成元が 2 個あって関係式も 2 本しかないのに、群は自明になる。表示を見ただけでは、それが定める群がどれくらい大きいかは分かりません。

自由群

出発点は、関係式をひとつも課さない群です。

集合 $X$ をとり、$X$ の元と逆元の記号を並べた有限列を語といいます。$x{x}^{-1}$ や $x^{-1}x$ が隣り合う箇所を消していき、これ以上消せなくなった語が簡約語です。

簡約語の全体に連結と簡約で積を入れたものが、$X$ 上の自由群 $F(X)$ です^[3]。単位元は空語、逆元は順序を逆にして各記号を反転したもの。

自由群を特徴づけるのは、次の普遍性です^[2]。

任意の群 $G$ と任意の写像 $f:X\to G$ に対し、$f$ を延長する準同型 $F(X)\to G$ がただ 1 つ存在する。

延長のしかたは決まっています。$f^{\ast }(x_1^{{\epsilon }_1}\cdots x_k^{{\epsilon }_k})=f(x_1{)}^{{\epsilon }_1}\cdots f(x_k{)}^{{\epsilon }_k}$ と置くほかない。簡約が積と両立するので、これで準同型になります。

生成元の行き先を勝手に決めてよい。これが「自由」の意味です。

グラフに閉じた道がないことが、関係式がないことに対応します。ある語が単位元を表すなら、出発点へ戻る道があるはずで、木にはそれがない。

表示

$R\subseteq F(X)$ をとり、$R$ を含む最小の正規部分群を $⟨⟨R⟩⟩$ と書きます^[2]。

$$⟨X\mid R⟩:=F(X)/⟨⟨R⟩⟩$$

$X$ の元を生成元、$R$ の元を関係子といいます。$u=v$ という形の関係式は、関係子 $u{v}^{-1}$ と同じことです^[1]。

生成元が有限集合なら有限生成、関係子も有限集合なら有限表示といいます^[1]。

どんな群にも表示があります^[2]。有限群 $G$ なら、生成元として全部の元をとり、関係式として乗積表の全部の等式 $a_i{a}_j=a_k$ をとればよい。$n$ 元の群で $n^2$ 本の関係式です^[1]。

もちろんこれは何も教えてくれない表示です。表示が役に立つのは、生成元と関係式が少なく、そこから群の性質が読めるときに限ります。

代入して確かめる

表示から他の群への準同型は、生成元の行き先を決めるだけで作れます^[2]。

$⟨X\mid R⟩$ と群 $G$、写像 $f:X\to G$ があり、$R$ の各関係子を $f$ で置き換えたものが $G$ で $1$ になるとします。このとき $f$ は準同型 $⟨X\mid R⟩\to G$ にただ 1 通りに延長されます^[2]。

証明は自由群の普遍性からすぐ出ます。まず $f$ は $f^{\ast }:F(X)\to G$ に延びる。仮定から $f^{\ast }(R)=\{1\}$ で、核は正規部分群だから $⟨⟨R⟩⟩\subseteq \ker f^{\ast }$。よって $f^{\ast }$ は商 $⟨X\mid R⟩$ 上に落ちます。一意性は、$X$ の像が全体を生成することからです^[2]。

この判定法は von Dyck に遡ります。群を生成元と関係式で書くという発想そのものが、1882 年の彼の論文から来ています^[3]。

使い方は決まっています。相手の群の中に関係式を満たす元を見つければ、それだけで全射が作れる。

上と下からはさむ

表示された群を同定する標準の手順です。二面体群でやってみます。

$$D=⟨r,s\mid r^n,s^2,sr{s}^{-1}r⟩$$

まず上から。3 本目の関係式は $sr{s}^{-1}=r^{-1}$、つまり $sr=r^{-1}s$ です。$s$ の左にある $r$ を右へ送れるので、どんな語も $s$ を右端に寄せられる。

$r^n=1$ と $s^2=1$ を使うと、すべての元が $r^i{s}^j$（$0\le i<n$、$j\in \{0,1\}$）の形になります。したがって $|D|\le 2n$。

次に下から。正 $n$ 角形の対称群の中で、$\rho$ を $2\pi /n$ の回転、$\sigma$ を 1 本の対称軸に関する鏡映とします。

$${\rho }^n=1,{\sigma }^2=1,\sigma \rho {\sigma }^{-1}={\rho }^{-1}$$

3 本とも成り立つので、代入判定法から準同型 $D\to D_n$ があり、$\rho$ と $\sigma$ が $D_n$ を生成するので全射です。よって $|D|\ge |D_n|=2n$。

はさんで $|D|=2n$、全射かつ位数が等しいので同型になります。

上だけでは足りません。関係式から標準形が出ても、異なる標準形が同じ元になっていないという保証はない。下からの全射がその保証を与えます。

見た目にだまされる

冒頭の表示を確かめます。$\varphi :F(\{x,y\})\to ⟨x,y\mid xy,y{x}^2⟩$ を商写像とします^[2]。

$\varphi (xy)=1$ から $\varphi (y)=\varphi (x{)}^{-1}$。これを 2 本目に入れると

$$1=\varphi (y{x}^2)=\varphi (x{)}^{-1}\varphi (x{)}^2=\varphi (x)$$

$\varphi (x)=1$、したがって $\varphi (y)=1$。生成元がどちらも単位元なので、群は自明です^[2]。

もうひとつ。$G=⟨a,b\mid ababa⟩$ を見ます^[1]。

関係子の巡回置換は関係子の共役なので、$baaba$ も $G$ で $1$ です。これに $(ababa{)}^{-1}$ を掛けます。

$$\begin{array}{rl}1& =(baaba)(ababa{)}^{-1}\\ & =baaba\cdot a^{-1}{b}^{-1}{a}^{-1}{b}^{-1}{a}^{-1}\\ & =ba{b}^{-1}{a}^{-1}\end{array}$$

$ba{b}^{-1}{a}^{-1}=1$、つまり $ab=ba$ です^[1]。関係式を 1 本しか書いていないのに、群は可換になりました。

可換だと分かれば加法で書けます。$ababa=1$ は $3a+2b=0$ のこと。$G$ は ${\mathbb{Z}}^2$ を $(3,2)$ で生成される部分群で割ったものです。

$(3,2)$ と $(1,1)$ の行列式は $3\cdot 1-2\cdot 1=1$ なので、この 2 本は ${\mathbb{Z}}^2$ の基底です。片方で割れば残るのは $\mathbb{Z}$ ひとつ。

$$G\cong \mathbb{Z},\text{生成元は }ab$$

実際 $a=(ab{)}^{-2}$、$b=(ab{)}^3$ と書けます。確かめると $ab=(ab{)}^{-2}(ab{)}^3=ab$ で、$a^3{b}^2=(ab{)}^{-6}(ab{)}^6=1$ です。

見た目は 2 生成 1 関係式、中身は無限巡回群でした^[1]。

関係式を足すと商になる

$G=⟨S\mid D⟩$ に関係子の集合 $E$ を足すと、$⟨S\mid D\cup E⟩$ は $G$ の商群になります^[1]。商写像は $S$ の元を自分自身へ送るだけ。

逆も成り立ちます。$\theta :G\to H$ が全射なら、$\theta$ の核に入る語の集合を $E$ にとることで $H\cong ⟨S\mid D\cup E⟩$ と書ける^[1]。

$G$ の商群は、関係式を足すことで全部出てくる。表示の言葉で商が扱えるということです。

いちばん使うのがアーベル化です。すべての交換子 $[a_i,a_j]$ を関係式に足せば、$G/[G,G]$ の表示になります^[1]。

三葉結び目の群 $⟨a,b\mid aba=bab⟩$ でやってみます。$ab=ba$ を足すと関係式は $a^{2}b=a{b}^2$、つまり $a=b$。残るのは $\mathbb{Z}$ です。

アーベル化は計算しやすい代わりに、情報を落とします。上の $⟨a,b\mid ababa⟩$ では落ちる情報がなかったので、アーベル化がそのまま答えになりました。

有限生成と有限表示は違う

生成元が有限個でも、関係式が有限個で済むとは限りません。

有限表示群の中に、有限生成だが有限表示でない部分群が存在します^[1]。判定には Baumslag の定理が使えて、融合積や HNN 拡大で融合する部分群が有限生成でないとき、全体は有限表示になりません^[1]。

有限生成であることは元の個数の条件、有限表示であることは関係の複雑さの条件です。前者から後者は出ない。

表示が有限でも安心はできない

Baumslag と Solitar の群を見ます^[1]。

$$G=⟨a,t\mid t^{-1}{a}^{2}t=a^3⟩$$

生成元 2 個、関係式 1 本の有限表示です。この群は自分自身への全射準同型で同型でないものを持ちます^[1]。

$\psi (t)=t$、$\psi (a)=a^2$ と定めます。関係式を確かめると $\psi (t^{-1}{a}^{2}t)=t^{-1}{a}^{4}t=a^6=\psi (a^3)$ なので、代入判定法から準同型になる。

全射も出ます。関係式から $a=t^{-1}{a}^{2}t{a}^{-2}$ と書けるので、$a$ は $\psi$ の像に入ります。$t$ も入るので $\psi$ は全射です。

ところが $[t^{-1}at,a]$ は $G$ で単位元ではありません^[1]。一方で

$$\psi ([t^{-1}at,a])=[t^{-1}{a}^{2}t,a^2]=[a^3,a^2]=1$$

核に自明でない元がいるので、$\psi$ は同型ではない^[1]。有限表示でも、自分自身への全射が同型になるとは限らないということです。

表示を書くことと、その群を知ることは別の作業です。前者は数行、後者は上と下からの評価が要ります。

表示は群の設計図ではなく、群を切り出す型です。型を書くのは簡単で、切り出された形を確かめるほうに手間がかかる。冒頭の 2 生成 2 関係式が自明群だった、というのがその落差をいちばん短く示しています。

出典