共変微分と接続

共変微分はベクトル場を微分する操作であり、接続によって定まる。リーマン幾何学において曲率や測地線を定義する基礎となる。

方向微分の問題

関数 $f$ のベクトル場 $X$ による微分 $X(f)$ は自然に定義できる。しかしベクトル場 $Y$ の $X$ による微分を定義しようとすると問題が生じる。

$Y={\sum }_i{Y}^i{\partial }_i$ を座標で微分すると ${\sum }_{i}X(Y^i){\partial }_i$ となるが、これは座標の取り方に依存する。座標変換で基底 ${\partial }_i$ も変わるためである。

接続の定義

接続（connection）または共変微分（covariant derivative）とは、ベクトル場の組 $(X,Y)$ に対してベクトル場 ${\nabla }_{X}Y$ を対応させる演算で、次を満たすものである。

Christoffel 記号

座標近傍で接続は Christoffel 記号 ${\Gamma }_{ij}^k$ によって表される。

$${\nabla }_{{\partial }_i}{\partial }_j=\sum _k{\Gamma }_{ij}^k{\partial }_k$$

一般のベクトル場 $Y={\sum }_j{Y}^j{\partial }_j$ に対して

$${\nabla }_{{\partial }_i}Y=\sum _k\left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}+\sum _j{\Gamma }_{ij}^k{Y}^j\right){\partial }_k$$

となる。

Levi-Civita 接続

リーマン多様体 $(M,g)$ には、次の2条件を満たす唯一の接続が存在する。

これを Levi-Civita 接続という。

Levi-Civita 接続の公式

Levi-Civita 接続は Koszul の公式で与えられる。

$$2g({\nabla }_{X}Y,Z)=X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X)$$

この公式から接続の一意性と存在が従う。

Christoffel 記号の公式

Levi-Civita 接続の Christoffel 記号は

$${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum _l{g}^{kl}\left(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)$$

で与えられる。$g^{kl}$ は $g_{ij}$ の逆行列の成分である。

平行移動

曲線 $\gamma :[0,1]\to M$ に沿ったベクトル場 $V(t)$ が平行であるとは

$${\nabla }_{\dot{\gamma }(t)}V=0$$

を満たすことをいう。初期値 $V(0)\in T_{\gamma (0)}M$ を与えると、平行なベクトル場が一意に存在する。

これにより $\gamma$ に沿った平行移動 $P_{\gamma }:T_{\gamma (0)}M\to T_{\gamma (1)}M$ が定まる。

平行移動と計量

Levi-Civita 接続では、平行移動は内積を保つ。すなわち

$$g(P_{\gamma }V,P_{\gamma }W)=g(V,W)$$

が成り立つ。平行移動は各接空間の間の等長写像を与える。

テンソル場への拡張

共変微分はテンソル場に自然に拡張される。$(r,s)$-型テンソル場 $T$ に対して $\nabla T$ は $(r,s+1)$-型テンソル場となる。

関数（$(0,0)$-型）に対しては $\nabla f=df$ である。

曲線に沿った共変微分

曲線 $\gamma (t)$ に沿ったベクトル場 $V(t)$ の共変微分は

$$\frac{DV}{dt}={\nabla }_{\dot{\gamma }}V$$

と書く。座標では

$$\frac{DV}{dt}=\sum _k\left(\frac{d{V}^k}{dt}+\sum _{i,j}{\Gamma }_{ij}^k{\dot{\gamma }}^i{V}^j\right){\partial }_k$$

となる。