有限単純群の分類は20世紀数学の巨大な成果である。すべての有限単純群が特定の4つのクラスに属することが、多くの数学者の協力により証明された。
分類定理の主張
有限単純群は次の4種類のいずれかに分類される。
証明の規模
分類の証明は約500本の論文、総計10000ページ以上に及ぶ。1950年代から1980年代にかけて、100人以上の数学者が関わった。
現在、証明の簡略化と再確認のプロジェクトが進行中である。
素数位数巡回群
（ は素数）は可換単純群であり、無限に存在する。
これらは最も単純な有限単純群である。
交代群
（）は非可換単純群であり、位数は である。
は位数60で非可換単純群として最小。 は Lie 型とも同型になる。
Lie型の群
有限体 上の行列群から構成される単純群である。
（射影特殊線型群）、（射影特殊ユニタリ群）、（射影シンプレクティック群）、（射影直交群）など。
, , , , およびその変種。Lie 代数の例外型に対応。
の定義
である。
かつ のとき単純群となる。
, などの偶発的同型が存在する。
散在型単純群
無限系列に属さない26個の単純群を散在型単純群（sporadic simple group）という。
Mathieu 群 （最初に発見された5つ）から始まり、最大のモンスター群 まで。
モンスター群
モンスター群 は最大の散在型単純群であり、位数は
約 である。
モンスター群は196883次元の表現を持ち、モジュラー関数との不思議な関係（monstrous moonshine）で知られる。
分類の歴史
1832年：Galois が と の単純性を認識
1861年：Mathieu が , を発見
1963年：Feit-Thompson の奇数位数定理（奇数位数の群は可解）
1981年：分類の完成が宣言される
応用
有限単純群の分類は、有限群の構造理論、組み合わせ論（グラフの自己同型群）、符号理論、暗号理論など多くの分野で応用される。
