有限単純群の分類（概観）

有限単純群の分類は20世紀数学の巨大な成果である。すべての有限単純群が特定の4つのクラスに属することが、多くの数学者の協力により証明された。

分類定理の主張

有限単純群は次の4種類のいずれかに分類される。

素数位数の巡回群

Z / p Z

交代群

A_{n}

（

n \geq 5

）

Lie型の群（有限体上の代数群）

26個の散在型単純群

証明の規模

分類の証明は約500本の論文、総計10000ページ以上に及ぶ。1950年代から1980年代にかけて、100人以上の数学者が関わった。

現在、証明の簡略化と再確認のプロジェクトが進行中である。

素数位数巡回群

$Z / p Z$ （ $p$ は素数）は可換単純群であり、無限に存在する。

これらは最も単純な有限単純群である。

交代群

$A_{n}$ （ $n \geq 5$ ）は非可換単純群であり、位数は $n! /2$ である。

$A_{5}$ は位数60で非可換単純群として最小。 $A_{6} ≅ PS L_{2} (9)$ は Lie 型とも同型になる。

Lie型の群

有限体 $F_{q}$ 上の行列群から構成される単純群である。

古典群

$PS L_{n} (q)$ （射影特殊線型群）、 $PS U_{n} (q)$ （射影特殊ユニタリ群）、 $PS p_{2 n} (q)$ （射影シンプレクティック群）、 $P Ω_{n} (q)$ （射影直交群）など。

例外型Lie群

$G_{2} (q)$ , $F_{4} (q)$ , $E_{6} (q)$ , $E_{7} (q)$ , $E_{8} (q)$ およびその変種。Lie 代数の例外型に対応。

$PS L_{n} (q)$ の定義

$PS L_{n} (q) = S L_{n} (F_{q}) / Z (S L_{n} (F_{q}))$ である。

$n \geq 2$ かつ $(n, q) \neq = (2, 2), (2, 3)$ のとき単純群となる。

$PS L_{2} (4) ≅ PS L_{2} (5) ≅ A_{5}$ , $PS L_{2} (7) ≅ PS L_{3} (2)$ などの偶発的同型が存在する。

散在型単純群

無限系列に属さない26個の単純群を散在型単純群（sporadic simple group）という。

Mathieu 群 $M_{11}, M_{12}, M_{22}, M_{23}, M_{24}$ （最初に発見された5つ）から始まり、最大のモンスター群 $M$ まで。

モンスター群

モンスター群 $M$ は最大の散在型単純群であり、位数は

$∣ M ∣ = 2^{46} \cdot 3^{20} \cdot 5^{9} \cdot 7^{6} \cdot 1 1^{2} \cdot 1 3^{3} \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 59 \cdot 71$

約 $8 \times 1 0^{53}$ である。

モンスター群は196883次元の表現を持ち、モジュラー関数との不思議な関係（monstrous moonshine）で知られる。

分類の歴史

1832年：Galois が $A_{n}$ と $PS L_{2} (p)$ の単純性を認識

1861年：Mathieu が $M_{12}$ , $M_{24}$ を発見

1963年：Feit-Thompson の奇数位数定理（奇数位数の群は可解）

1981年：分類の完成が宣言される

応用

有限単純群の分類は、有限群の構造理論、組み合わせ論（グラフの自己同型群）、符号理論、暗号理論など多くの分野で応用される。